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一、选择题
1. 下列命题是真命题的有 （
①实数与数轴上的点一一对应；②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④若$∠ 1=40°$，$∠ 2$的两边与$∠ 1$的两边分别平行，则$∠ 2=40°$；⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
A.①③
B.①②③④⑤
C.①②③④
D.①③④
1. 下列命题是真命题的有 （
A
）①实数与数轴上的点一一对应；②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离；③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④若$∠ 1=40°$，$∠ 2$的两边与$∠ 1$的两边分别平行，则$∠ 2=40°$；⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
A.①③
B.①②③④⑤
C.①②③④
D.①③④
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查基础数学概念的真假判断，解题时需逐一核对每个命题对应的定义、定理，重点关注各定理成立的前提条件，避免因忽略限制条件导致判断错误。首先回忆每个命题涉及的知识点，逐个判定真假后，选出所有真命题对应的选项即可。
【解析】
我们逐个判断5个命题的真假：
①实数与数轴上的点一一对应，该表述符合实数的性质，是真命题；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才是这一点到这条直线的距离，②混淆了“垂线段”和“垂线段的长度”的概念，是假命题；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该表述符合垂直的性质，前提明确，是真命题；
④若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，已知∠1=40°，则∠2=40°或140°，④仅认为∠2=40°，表述错误，是假命题；
⑤只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，⑤缺少“两直线平行”的前提，是假命题。
综上，真命题为①③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
实数与数轴的对应关系；点到直线的距离；平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念类综合题，易错点在于容易遗漏定理的适用前提，或是混淆相近概念，学习相关内容时要准确记忆概念、定理的完整表述，关注细节避免失分。
【难度系数】
0.7
本题考查基础数学概念的真假判断，解题时需逐一核对每个命题对应的定义、定理，重点关注各定理成立的前提条件，避免因忽略限制条件导致判断错误。首先回忆每个命题涉及的知识点，逐个判定真假后，选出所有真命题对应的选项即可。
【解析】
我们逐个判断5个命题的真假：
①实数与数轴上的点一一对应，该表述符合实数的性质，是真命题；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才是这一点到这条直线的距离，②混淆了“垂线段”和“垂线段的长度”的概念，是假命题；
③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该表述符合垂直的性质，前提明确，是真命题；
④若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，已知∠1=40°，则∠2=40°或140°，④仅认为∠2=40°，表述错误，是假命题；
⑤只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，⑤缺少“两直线平行”的前提，是假命题。
综上，真命题为①③，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
实数与数轴的对应关系；点到直线的距离；平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念类综合题，易错点在于容易遗漏定理的适用前提，或是混淆相近概念，学习相关内容时要准确记忆概念、定理的完整表述，关注细节避免失分。
【难度系数】
0.7
2.小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为 （
A.25
B.50
C.75
D.100
B
）A.25
B.50
C.75
D.100
答案
2.B
解析
【分析】
解题时我们可以用平移法来找到五个小长方形周长和与大长方形周长的关系。首先明确图中只有五个小长方形，其余部分是不规则图形。接下来把五个小长方形的所有水平方向的边分别向大长方形的上下两条边平移，所有竖直方向的边分别向大长方形的左右两条边平移，会发现这些边刚好能完整组成大长方形的四条边，说明五个小长方形的周长之和与大长方形的周长相等，直接就能得出结果。
【解析】
我们通过平移法分析边的关系：
将五个小长方形的全部水平边分别向上、向下平移到大长方形的上下边缘处，全部竖直边分别向左、向右平移到大长方形的左右边缘处，可发现这些边恰好可以完整组成大长方形的四条边，即五个小长方形的周长之和等于大长方形的周长。
已知五个小长方形的周长之和为50，因此大长方形的周长为50。
【答案】
B
【知识点】
平移法巧算周长，长方形周长计算
【点评】
本题是巧算周长的典型题型，不需要计算小长方形的具体边长，只需要通过平移边的方法就能快速找到两者周长的关系，解题的关键是准确理解平移后边长的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以用平移法来找到五个小长方形周长和与大长方形周长的关系。首先明确图中只有五个小长方形，其余部分是不规则图形。接下来把五个小长方形的所有水平方向的边分别向大长方形的上下两条边平移，所有竖直方向的边分别向大长方形的左右两条边平移，会发现这些边刚好能完整组成大长方形的四条边，说明五个小长方形的周长之和与大长方形的周长相等，直接就能得出结果。
【解析】
我们通过平移法分析边的关系：
将五个小长方形的全部水平边分别向上、向下平移到大长方形的上下边缘处，全部竖直边分别向左、向右平移到大长方形的左右边缘处，可发现这些边恰好可以完整组成大长方形的四条边，即五个小长方形的周长之和等于大长方形的周长。
已知五个小长方形的周长之和为50，因此大长方形的周长为50。
【答案】
B
【知识点】
平移法巧算周长，长方形周长计算
【点评】
本题是巧算周长的典型题型，不需要计算小长方形的具体边长，只需要通过平移边的方法就能快速找到两者周长的关系，解题的关键是准确理解平移后边长的对应关系。
【难度系数】
0.7
3.如图，三角形ABC的周长为12 cm，若将三角形ABC沿射线BC方向平移3 cm后得到三角形DEF，AC与DE相交于点G，连接AD，则三角形ADG与三角形ECG的周长和为（
A.15 cm
B.13 cm
C.12 cm
D.9 cm
C
）A.15 cm
B.13 cm
C.12 cm
D.9 cm
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移后对应点的连线长度等于平移距离，对应边长度相等。我们可以先分别写出两个三角形的周长表达式，再将它们相加，对公共部分的线段进行合并，再利用平移的性质把线段替换成△ABC的边，最后结合△ABC的周长即可求出结果，不需要单独计算每一条小线段的长度，用整体思想求解更简便。
【解析】
解：
∵将△ABC沿射线BC方向平移3 cm得到△DEF，
∴AD=BE=3 cm，AB=DE，
△ADG的周长为$AD + AG + DG$，△ECG的周长为$EC + CG + EG$，
则两个三角形的周长和为：
$AD + AG + DG + EC + CG + EG$
$= AD + (AG + CG) + (DG + EG) + EC$
$= AD + AC + DE + EC$
把$DE=AB$，$AD=3$代入，且$EC = BC - BE = BC - 3$，代入得：
$= 3 + AC + AB + BC - 3$
$= AB + AC + BC$
∵△ABC的周长为12 cm，即$AB+AC+BC=12\ \mathrm{cm}$，
∴△ADG与△ECG的周长和为12 cm。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质；周长的计算
【点评】
本题解题核心是利用平移的性质做线段等量替换，通过将两个三角形的周长进行拆分重组，转化为已知周长的三角形的边长和，避免了逐个求解小线段长度的繁琐，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平移的性质：平移后对应点的连线长度等于平移距离，对应边长度相等。我们可以先分别写出两个三角形的周长表达式，再将它们相加，对公共部分的线段进行合并，再利用平移的性质把线段替换成△ABC的边，最后结合△ABC的周长即可求出结果，不需要单独计算每一条小线段的长度，用整体思想求解更简便。
【解析】
解：
∵将△ABC沿射线BC方向平移3 cm得到△DEF，
∴AD=BE=3 cm，AB=DE，
△ADG的周长为$AD + AG + DG$，△ECG的周长为$EC + CG + EG$，
则两个三角形的周长和为：
$AD + AG + DG + EC + CG + EG$
$= AD + (AG + CG) + (DG + EG) + EC$
$= AD + AC + DE + EC$
把$DE=AB$，$AD=3$代入，且$EC = BC - BE = BC - 3$，代入得：
$= 3 + AC + AB + BC - 3$
$= AB + AC + BC$
∵△ABC的周长为12 cm，即$AB+AC+BC=12\ \mathrm{cm}$，
∴△ADG与△ECG的周长和为12 cm。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质；周长的计算
【点评】
本题解题核心是利用平移的性质做线段等量替换，通过将两个三角形的周长进行拆分重组，转化为已知周长的三角形的边长和，避免了逐个求解小线段长度的繁琐，考查了整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
4.如图,直径为4 cm的圆$O_1$向右平移5 cm得到圆$O_2$,则图中阴影部分的面积为（
A.$20\ cm^2$
B.$10\ cm^2$
C.$25\ cm^2$
D.$16\ cm^2$
A
）A.$20\ cm^2$
B.$10\ cm^2$
C.$25\ cm^2$
D.$16\ cm^2$
答案
4.A
解析
【分析】
首先回忆平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和面积，因此圆$O_1$和平移得到的圆$O_2$面积完全相等。观察图形可以发现，左侧空白的半圆和右侧圆$O_2$内的半圆面积相等，我们可以用割补法，把右侧的阴影半圆补到左侧空白的半圆位置，此时不规则的阴影部分就转化为规则的长方形，只需要计算长方形的面积就能得到阴影部分的面积。
【解析】
根据平移的性质可得，圆$O_1$和圆$O_2$的面积相等，因此左侧空白半圆与右侧圆$O_2$中的半圆面积相等。
使用割补法，将右侧圆内的阴影半圆补到左侧空白半圆处，阴影部分转化为长5cm、宽4cm的长方形。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，代入数据计算：
$S=5×4=20\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、割补法求面积、长方形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用平移的性质找到面积相等的部分，通过割补将不规则图形转化为熟悉的规则图形计算，大大降低了解题难度，无需进行复杂的圆面积相关计算。
【难度系数】
0.85
首先回忆平移的性质：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小和面积，因此圆$O_1$和平移得到的圆$O_2$面积完全相等。观察图形可以发现，左侧空白的半圆和右侧圆$O_2$内的半圆面积相等，我们可以用割补法，把右侧的阴影半圆补到左侧空白的半圆位置，此时不规则的阴影部分就转化为规则的长方形，只需要计算长方形的面积就能得到阴影部分的面积。
【解析】
根据平移的性质可得，圆$O_1$和圆$O_2$的面积相等，因此左侧空白半圆与右侧圆$O_2$中的半圆面积相等。
使用割补法，将右侧圆内的阴影半圆补到左侧空白半圆处，阴影部分转化为长5cm、宽4cm的长方形。
根据长方形面积公式$S=长×宽$，代入数据计算：
$S=5×4=20\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、割补法求面积、长方形面积计算
【点评】
本题考查不规则图形面积的求解，核心是利用平移的性质找到面积相等的部分，通过割补将不规则图形转化为熟悉的规则图形计算，大大降低了解题难度，无需进行复杂的圆面积相关计算。
【难度系数】
0.85
1.如图，将△ABC沿射线BC方向移动，使点B移动到点C，得到△DCE，连接AE，若△ABC的面积为2，则△ACE的面积为
2
。答案
1.2
解析
【分析】
解题时先回忆平移的性质：图形平移后对应线段长度相等，由此可推出BC=CE；再观察△ABC和△ACE的位置关系，二者以BC、CE为底时，高都是点A到直线BE的垂线段长度，即高相等。根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，就可以直接得到△ACE的面积和△ABC的面积相等。
【解析】
解：
∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，
∴平移距离等于BC的长度，即$BC=CE$，
△ABC和△ACE分别以BC、CE为底时，高均为点A到直线BE的距离，即两个三角形的高相等，
∴△ABC和△ACE是等底同高的三角形，二者面积相等，
已知$S_{△ ABC}=2$，因此$S_{△ ACE}=S_{△ ABC}=2$。
【答案】
2
【知识点】
平移的性质，三角形面积计算，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础题，核心是利用平移性质得到两个三角形的底相等，再判断出高相同，结合等底同高三角形面积相等的结论就能快速得到答案，解题时注意结合图形分析两个三角形的底和高的关系即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆平移的性质：图形平移后对应线段长度相等，由此可推出BC=CE；再观察△ABC和△ACE的位置关系，二者以BC、CE为底时，高都是点A到直线BE的垂线段长度，即高相等。根据三角形面积公式，等底同高的三角形面积相等，就可以直接得到△ACE的面积和△ABC的面积相等。
【解析】
解：
∵△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，
∴平移距离等于BC的长度，即$BC=CE$，
△ABC和△ACE分别以BC、CE为底时，高均为点A到直线BE的距离，即两个三角形的高相等，
∴△ABC和△ACE是等底同高的三角形，二者面积相等，
已知$S_{△ ABC}=2$，因此$S_{△ ACE}=S_{△ ABC}=2$。
【答案】
2
【知识点】
平移的性质，三角形面积计算，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础题，核心是利用平移性质得到两个三角形的底相等，再判断出高相同，结合等底同高三角形面积相等的结论就能快速得到答案，解题时注意结合图形分析两个三角形的底和高的关系即可。
【难度系数】
0.8
