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5. [2026安庆期中]一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，则可享受如下优惠.
例如，若购买A类会员年卡，一年内游泳20次，则消费$50 + 25 × 20 = 550$(元). 若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45 ~ 55次之间，则最省钱的方式为 (
A.购买A类会员年卡
B.购买B类会员年卡
C.购买C类会员年卡
D.不购买会员年卡
例如，若购买A类会员年卡，一年内游泳20次，则消费$50 + 25 × 20 = 550$(元). 若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45 ~ 55次之间，则最省钱的方式为 (
C
)A.购买A类会员年卡
B.购买B类会员年卡
C.购买C类会员年卡
D.不购买会员年卡
答案
C 设一年内在该游泳馆游泳的次数为$x$次,消费的钱数为$y$元,若不购会员卡,则$y_1 = 30x$,若购买会员卡A或B或C,依次可得$y_2 = 50 + 25x$,$y_3 = 200 + 20x$,$y_4 = 400 + 15x$. 绘制函数图象如图所示,可知当$x$介于45 ~ 55之间时,$y_4$的值最小,即最省钱的方式为购买C类会员年卡.
解析
【分析】
这是一道消费方案最优选择的问题，解题思路如下：第一步，先明确每种消费方式的费用构成，分别建立总消费金额和游泳次数的一次函数关系式；第二步，既可以通过计算不同函数的交点确定各方案更划算的次数区间，也可以直接选取45~55区间内的任意次数代入计算各方案的费用，比较大小后即可得到最省钱的方式，还可结合一次函数图像直观判断函数值大小。
【解析】
设一年内在该游泳馆游泳的次数为$x$次，消费总金额为$y$元，分别写出四种消费方式的函数表达式：
1. 不购买会员年卡：每次收费30元，因此$y_1=30x$；
2. 购买A类会员年卡：先付办卡费50元，每次游泳收费25元，因此$y_A=50+25x$；
3. 购买B类会员年卡：先付办卡费200元，每次游泳收费20元，因此$y_B=200+20x$；
4. 购买C类会员年卡：先付办卡费400元，每次游泳收费15元，因此$y_C=400+15x$。
我们可以通过求交点确定划算区间：
令B类和C类费用相等，即$200+20x=400+15x$，解得$x=40$，说明当游泳次数大于40次时，C类的费用低于B类。
题目中游泳次数介于45~55次之间，大于40次，因此该区间内C类会员年卡消费最低，结合函数图像也可直观看出，当$x$在45~55之间时，代表C类消费的$y_4$值最小。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、最优方案选择、一次函数的性质
【点评】
本题结合生活中的消费场景考查一次函数的实际应用，解题核心是建立不同方案的函数模型，通过比较函数值大小得到最优方案，能够帮助学生体会数学在实际生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
这是一道消费方案最优选择的问题，解题思路如下：第一步，先明确每种消费方式的费用构成，分别建立总消费金额和游泳次数的一次函数关系式；第二步，既可以通过计算不同函数的交点确定各方案更划算的次数区间，也可以直接选取45~55区间内的任意次数代入计算各方案的费用，比较大小后即可得到最省钱的方式，还可结合一次函数图像直观判断函数值大小。
【解析】
设一年内在该游泳馆游泳的次数为$x$次，消费总金额为$y$元，分别写出四种消费方式的函数表达式：
1. 不购买会员年卡：每次收费30元，因此$y_1=30x$；
2. 购买A类会员年卡：先付办卡费50元，每次游泳收费25元，因此$y_A=50+25x$；
3. 购买B类会员年卡：先付办卡费200元，每次游泳收费20元，因此$y_B=200+20x$；
4. 购买C类会员年卡：先付办卡费400元，每次游泳收费15元，因此$y_C=400+15x$。
我们可以通过求交点确定划算区间：
令B类和C类费用相等，即$200+20x=400+15x$，解得$x=40$，说明当游泳次数大于40次时，C类的费用低于B类。
题目中游泳次数介于45~55次之间，大于40次，因此该区间内C类会员年卡消费最低，结合函数图像也可直观看出，当$x$在45~55之间时，代表C类消费的$y_4$值最小。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、最优方案选择、一次函数的性质
【点评】
本题结合生活中的消费场景考查一次函数的实际应用，解题核心是建立不同方案的函数模型，通过比较函数值大小得到最优方案，能够帮助学生体会数学在实际生活中的实用价值。
【难度系数】
0.7
6. [2025合肥庐阳区期末]为进一步推动绿色生态文明建设,走可持续发展之路,某工厂在生产过程中同步进行污水处理,有两种处理方案.
方案1:污水纳入污水处理厂统一处理,每生产1件产品需付7元的排污费.
方案2:积极响应“无废城市”号召,使用专业设备,通过有效方法,对污水进行循环利用.每生产1件产品需付1元的设备原料费,并且设备损耗费为每月b元.
若工厂每月生产x件产品,产品的成本价(不含污水处理费)为25元/件,出厂价为50元/件,方案1、方案2的月利润y(元)与x(件)之间的函数关系如图所示.结合图象回答问题:
(1)填空:a=
(2)当工厂每月生产300件产品时,两种方案的月利润相差多少元?
(3)当两种方案的月利润相差1500元时,求x的值.
方案1:污水纳入污水处理厂统一处理,每生产1件产品需付7元的排污费.
方案2:积极响应“无废城市”号召,使用专业设备,通过有效方法,对污水进行循环利用.每生产1件产品需付1元的设备原料费,并且设备损耗费为每月b元.
若工厂每月生产x件产品,产品的成本价(不含污水处理费)为25元/件,出厂价为50元/件,方案1、方案2的月利润y(元)与x(件)之间的函数关系如图所示.结合图象回答问题:
(1)填空:a=
500
,b=3 000
.(2)当工厂每月生产300件产品时,两种方案的月利润相差多少元?
(3)当两种方案的月利润相差1500元时,求x的值.
答案
解:(1)500 3 000
根据题意,方案1的月利润$y_1$(元)与$x$(件)之间的函数表达式为$y_1 = (50 - 25 - 7)x = 18x$,方案2的月利润$y_2$(元)与$x$(件)之间的函数表达式为$y_2 = (50 - 25 - 1)x - b = 24x - b$. 将$(a,9\ 000)$分别代入$y_1 = 18x$和$y_2 = 24x - b$,得$\begin{cases} 18a = 9\ 000, \\ 24a - b = 9\ 000, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 500, \\ b = 3\ 000. \end{cases}$
(2)由(1)可知,$y_1 = 18x$,$y_2 = 24x - 3\ 000$.
当$x = 300$时,$y_1 = 18 × 300 = 5\ 400$,$y_2 = 24 × 300 - 3\ 000 = 4\ 200$,$5\ 400 - 4\ 200 = 1\ 200$(元).
答:两种方案的月利润相差1 200元.
(3)根据题意,得$|y_2 - y_1| = 1\ 500$,
即$|24x - 3\ 000 - 18x| = 1\ 500$.
解得$x = 250$或750.
答:$x$的值为250或750.
根据题意,方案1的月利润$y_1$(元)与$x$(件)之间的函数表达式为$y_1 = (50 - 25 - 7)x = 18x$,方案2的月利润$y_2$(元)与$x$(件)之间的函数表达式为$y_2 = (50 - 25 - 1)x - b = 24x - b$. 将$(a,9\ 000)$分别代入$y_1 = 18x$和$y_2 = 24x - b$,得$\begin{cases} 18a = 9\ 000, \\ 24a - b = 9\ 000, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 500, \\ b = 3\ 000. \end{cases}$
(2)由(1)可知,$y_1 = 18x$,$y_2 = 24x - 3\ 000$.
当$x = 300$时,$y_1 = 18 × 300 = 5\ 400$,$y_2 = 24 × 300 - 3\ 000 = 4\ 200$,$5\ 400 - 4\ 200 = 1\ 200$(元).
答:两种方案的月利润相差1 200元.
(3)根据题意,得$|y_2 - y_1| = 1\ 500$,
即$|24x - 3\ 000 - 18x| = 1\ 500$.
解得$x = 250$或750.
答:$x$的值为250或750.
解析
【分析】
解题时首先明确月利润的计算逻辑：月利润=（出厂价-不含污水处理的成本价-对应方案的单件费用）×生产数量-方案的固定成本。第(1)问：先分别推导两个方案的利润函数表达式，结合图象交点$(a,9000)$的含义（x=a时两个方案月利润均为9000元），将点代入解析式联立方程组即可求出a、b的值。第(2)问：把x=300分别代入两个已得的利润函数，计算利润后作差即可得到差额。第(3)问：利润相差1500元即两个利润的差的绝对值为1500，列绝对值方程求解，注意去绝对值时分情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 推导两个方案的利润函数：
方案1：单件利润为$50-25-7=18$元，无固定成本，因此月利润$y_1=18x$；
方案2：单件利润为$50-25-1=24$元，每月固定设备损耗为b元，因此月利润$y_2=24x-b$。
由图象可知两函数交点为$(a,9000)$，代入得方程组：
$\begin{cases}18a=9000 \\24a - b=9000 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=500 \\b=3000 \end{cases}$。
(2) 由(1)得$y_1=18x$，$y_2=24x-3000$，当$x=300$时：
$y_1=18×300=5400$（元），
$y_2=24×300-3000=4200$（元），
利润差额为$5400-4200=1200$（元）。
(3) 由题意得$|y_1-y_2|=1500$，代入函数得：
$|18x-(24x-3000)|=1500$，即$|3000-6x|=1500$，
分两种情况：
① $3000-6x=1500$，解得$x=250$；
② $3000-6x=-1500$，解得$x=750$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{500}$，$\boldsymbol{3000}$
(2) $\boldsymbol{1200}$元
(3) $\boldsymbol{250}$或$\boldsymbol{750}$
【知识点】
一次函数的实际应用、待定系数法求解析式、绝对值方程求解
【点评】
本题结合环保热点考查一次函数在实际利润问题中的应用，解题核心是梳理清楚成本、售价、利润的数量关系，列出对应函数解析式，第三问需注意“利润差”是绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确月利润的计算逻辑：月利润=（出厂价-不含污水处理的成本价-对应方案的单件费用）×生产数量-方案的固定成本。第(1)问：先分别推导两个方案的利润函数表达式，结合图象交点$(a,9000)$的含义（x=a时两个方案月利润均为9000元），将点代入解析式联立方程组即可求出a、b的值。第(2)问：把x=300分别代入两个已得的利润函数，计算利润后作差即可得到差额。第(3)问：利润相差1500元即两个利润的差的绝对值为1500，列绝对值方程求解，注意去绝对值时分情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 推导两个方案的利润函数：
方案1：单件利润为$50-25-7=18$元，无固定成本，因此月利润$y_1=18x$；
方案2：单件利润为$50-25-1=24$元，每月固定设备损耗为b元，因此月利润$y_2=24x-b$。
由图象可知两函数交点为$(a,9000)$，代入得方程组：
$\begin{cases}18a=9000 \\24a - b=9000 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=500 \\b=3000 \end{cases}$。
(2) 由(1)得$y_1=18x$，$y_2=24x-3000$，当$x=300$时：
$y_1=18×300=5400$（元），
$y_2=24×300-3000=4200$（元），
利润差额为$5400-4200=1200$（元）。
(3) 由题意得$|y_1-y_2|=1500$，代入函数得：
$|18x-(24x-3000)|=1500$，即$|3000-6x|=1500$，
分两种情况：
① $3000-6x=1500$，解得$x=250$；
② $3000-6x=-1500$，解得$x=750$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{500}$，$\boldsymbol{3000}$
(2) $\boldsymbol{1200}$元
(3) $\boldsymbol{250}$或$\boldsymbol{750}$
【知识点】
一次函数的实际应用、待定系数法求解析式、绝对值方程求解
【点评】
本题结合环保热点考查一次函数在实际利润问题中的应用，解题核心是梳理清楚成本、售价、利润的数量关系，列出对应函数解析式，第三问需注意“利润差”是绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. [2025六安期中]综合与实践.
【问题背景】
某市2025年初中学业体育水平考试的总分值拟提高到80分,考试项目增加5项,其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球.某校为更好地开展排球课程,计划购买一批排球,该市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案.
甲商店:若购买超过20个,则超过部分每个按标价的八折出售.
乙商店:若购买超过15个,则超过部分每个按标价的九五折再优惠10元出售.
【问题研究】
若用x表示购买排球的数量,y表示购买排球的总价,其函数图象如图所示.
【问题解决】
(1)每个排球的标价是多少元?
(2)当x＞20时,甲商店应付的总价$y_甲$与数量x之间的函数表达式为
(3)求点C的坐标,并根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算.
【问题背景】
某市2025年初中学业体育水平考试的总分值拟提高到80分,考试项目增加5项,其中技能类考试项目除篮球和足球外增加了排球.某校为更好地开展排球课程,计划购买一批排球,该市两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案.
甲商店:若购买超过20个,则超过部分每个按标价的八折出售.
乙商店:若购买超过15个,则超过部分每个按标价的九五折再优惠10元出售.
【问题研究】
若用x表示购买排球的数量,y表示购买排球的总价,其函数图象如图所示.
【问题解决】
(1)每个排球的标价是多少元?
(2)当x＞20时,甲商店应付的总价$y_甲$与数量x之间的函数表达式为
$y_甲=80x + 400$
;当x＞15时,乙商店应付的总价$y_乙$与数量x之间的函数表达式为$y_乙=85x + 225$
.(3)求点C的坐标,并根据图象直接写出选择哪家商店购买排球更合算.
答案
解:(1)由题中图象,可知甲商店标价为$2\ 000 ÷ 20 = 100$(元/个),
乙商店标价为$1\ 500 ÷ 15 = 100$(元/个),
两个商店排球的标价是一样的,所以每个排球的标价是100元.
(2)$y_甲 = 80x + 400$ $y_乙 = 85x + 225$
当$x ＞ 20$时,$y_甲 = 100 × 20 + 100 × 0.8(x - 20) = 80x + 400$,所以$y_甲$与数量$x$之间的函数表达式为$y_甲 = 80x + 400$. 当$x ＞ 15$时,$y_乙 = 100 × 15 + (100 × 0.95 - 10) × (x - 15) = 85x + 225$,所以$y_乙$与数量$x$之间的函数表达式为$y_乙 = 85x + 225$.
(3)因为点$C$是两个函数图象的交点,
所以$\begin{cases} y = 80x + 400, \\ y = 85x + 225, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 35, \\ y = 3\ 200, \end{cases}$
所以点$C$的坐标为$(35,3\ 200)$.
由图象可知,当$0 ≤ x ≤ 15$或$x = 35$时,在甲、乙两家商店购买排球所付的钱数相同;
当$15 ＜ x ＜ 35$时,选择乙商店更合算;
当$x ＞ 35$时,选择甲商店更合算.
乙商店标价为$1\ 500 ÷ 15 = 100$(元/个),
两个商店排球的标价是一样的,所以每个排球的标价是100元.
(2)$y_甲 = 80x + 400$ $y_乙 = 85x + 225$
当$x ＞ 20$时,$y_甲 = 100 × 20 + 100 × 0.8(x - 20) = 80x + 400$,所以$y_甲$与数量$x$之间的函数表达式为$y_甲 = 80x + 400$. 当$x ＞ 15$时,$y_乙 = 100 × 15 + (100 × 0.95 - 10) × (x - 15) = 85x + 225$,所以$y_乙$与数量$x$之间的函数表达式为$y_乙 = 85x + 225$.
(3)因为点$C$是两个函数图象的交点,
所以$\begin{cases} y = 80x + 400, \\ y = 85x + 225, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 35, \\ y = 3\ 200, \end{cases}$
所以点$C$的坐标为$(35,3\ 200)$.
由图象可知,当$0 ≤ x ≤ 15$或$x = 35$时,在甲、乙两家商店购买排球所付的钱数相同;
当$15 ＜ x ＜ 35$时,选择乙商店更合算;
当$x ＞ 35$时,选择甲商店更合算.
解析
【分析】
(1) 求排球标价时，观察图象可知购买数量未达到两家商店优惠门槛时，总价与数量成正比，直接用对应总价除以数量即可得到标价；
(2) 求x＞20时甲的总价函数：先计算20个的原价总费用，再计算超出20个部分的单价（标价打八折），两部分费用相加后化简即可；求x＞15时乙的总价函数：先计算15个的原价总费用，再计算超出15个部分的单价（标价九五折再减10元），两部分费用相加化简即可；
(3) 点C是两个函数图象的交点，即此处两家总价相等，联立两个函数解析式求解即可得到C点坐标；再结合图象分三种情况讨论，即可得到不同购买数量下的最优购买方案。
【解析】
(1) 由图象可知，购买20个排球时在甲商店总价为2000元，此时未达到甲的优惠门槛，因此甲商店排球标价为$2000÷20=100$（元/个）；
购买15个排球时在乙商店总价为1500元，此时未达到乙的优惠门槛，因此乙商店排球标价为$1500÷15=100$（元/个）；
两家商店排球标价相同，故每个排球标价为100元。
(2) 当$x＞20$时，甲商店总价分为两部分：20个按原价付款，超出$(x-20)$个按标价八折付款，因此：
$y_甲=100×20 + 100×0.8(x-20)=2000+80x-1600=80x+400$；
当$x＞15$时，乙商店总价分为两部分：15个按原价付款，超出$(x-15)$个按“标价九五折再减10元”付款，超出部分单价为$100×0.95-10=85$元/个，因此：
$y_乙=100×15 + 85(x-15)=1500+85x-1275=85x+225$。
(3) 点C是$y_甲$和$y_乙$的图象交点，即此时两家总价相等，联立解析式：
$\begin{cases} y=80x+400 \\ y=85x+225 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=35 \\ y=3200 \end{cases}$，即C点坐标为$(35,3200)$。
结合图象分析：
① 当$0≤ x≤15$或$x=35$时，两家商店总价相同，任选一家即可；
② 当$15＜x＜35$时，乙商店总价更低，选乙商店更合算；
③ 当$x＞35$时，甲商店总价更低，选甲商店更合算。
【答案】
(1) 每个排球的标价是100元；
(2) $y_甲=80x+400$；$y_乙=85x+225$；
(3) 点C的坐标为$(35,3200)$；当$0≤ x≤15$或$x=35$时两家费用相同，当$15＜x＜35$时选择乙商店更合算，当$x＞35$时选择甲商店更合算。
【知识点】
一次函数的应用，求一次函数解析式，方案优选
【点评】
本题结合购物优惠的生活场景，考查一次函数在实际问题中的应用，需要学生准确理解优惠规则，正确列出函数关系式，通过联立方程求函数交点，结合图象分析最优方案，能有效锻炼学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求排球标价时，观察图象可知购买数量未达到两家商店优惠门槛时，总价与数量成正比，直接用对应总价除以数量即可得到标价；
(2) 求x＞20时甲的总价函数：先计算20个的原价总费用，再计算超出20个部分的单价（标价打八折），两部分费用相加后化简即可；求x＞15时乙的总价函数：先计算15个的原价总费用，再计算超出15个部分的单价（标价九五折再减10元），两部分费用相加化简即可；
(3) 点C是两个函数图象的交点，即此处两家总价相等，联立两个函数解析式求解即可得到C点坐标；再结合图象分三种情况讨论，即可得到不同购买数量下的最优购买方案。
【解析】
(1) 由图象可知，购买20个排球时在甲商店总价为2000元，此时未达到甲的优惠门槛，因此甲商店排球标价为$2000÷20=100$（元/个）；
购买15个排球时在乙商店总价为1500元，此时未达到乙的优惠门槛，因此乙商店排球标价为$1500÷15=100$（元/个）；
两家商店排球标价相同，故每个排球标价为100元。
(2) 当$x＞20$时，甲商店总价分为两部分：20个按原价付款，超出$(x-20)$个按标价八折付款，因此：
$y_甲=100×20 + 100×0.8(x-20)=2000+80x-1600=80x+400$；
当$x＞15$时，乙商店总价分为两部分：15个按原价付款，超出$(x-15)$个按“标价九五折再减10元”付款，超出部分单价为$100×0.95-10=85$元/个，因此：
$y_乙=100×15 + 85(x-15)=1500+85x-1275=85x+225$。
(3) 点C是$y_甲$和$y_乙$的图象交点，即此时两家总价相等，联立解析式：
$\begin{cases} y=80x+400 \\ y=85x+225 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=35 \\ y=3200 \end{cases}$，即C点坐标为$(35,3200)$。
结合图象分析：
① 当$0≤ x≤15$或$x=35$时，两家商店总价相同，任选一家即可；
② 当$15＜x＜35$时，乙商店总价更低，选乙商店更合算；
③ 当$x＞35$时，甲商店总价更低，选甲商店更合算。
【答案】
(1) 每个排球的标价是100元；
(2) $y_甲=80x+400$；$y_乙=85x+225$；
(3) 点C的坐标为$(35,3200)$；当$0≤ x≤15$或$x=35$时两家费用相同，当$15＜x＜35$时选择乙商店更合算，当$x＞35$时选择甲商店更合算。
【知识点】
一次函数的应用，求一次函数解析式，方案优选
【点评】
本题结合购物优惠的生活场景，考查一次函数在实际问题中的应用，需要学生准确理解优惠规则，正确列出函数关系式，通过联立方程求函数交点，结合图象分析最优方案，能有效锻炼学生的数学建模能力和分析解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
