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1. [2025周口段考]某中学要添置某种教学仪器.
方案一:到商店购买,每件需要8元；
方案二:学校自己制作,每件需要4元,但另外需要制作工具的租用费120元.
设需要仪器$x$件,方案一的费用为$y_1$元,方案二的费用为$y_2$元. 若学校计划添置仪器60件,则采用方案
方案一:到商店购买,每件需要8元；
方案二:学校自己制作,每件需要4元,但另外需要制作工具的租用费120元.
设需要仪器$x$件,方案一的费用为$y_1$元,方案二的费用为$y_2$元. 若学校计划添置仪器60件,则采用方案
二
费用更便宜.答案
由题意可知,$y_1 = 8x$,$y_2 = 4x + 120$. 设两种方案所需的费用之差为$y$,则$y = y_1 - y_2 = 8x - (4x + 120) = 4x - 120$. 当$x = 60$时,$y = 4 × 60 - 120 = 120 ＞ 0$,即$y_1 ＞ y_2$,所以当需要的仪器为60件时,选择方案二费用更便宜.
解析
【分析】
要判断添置60件仪器时哪个方案更便宜，首先需要根据两个方案的费用规则，分别写出费用与仪器件数x的函数关系式；再将x=60代入关系式，通过比较两个方案的费用大小即可得出结论，也可以通过计算两个费用的差值，根据差值的正负判断费用高低。
【解析】
根据题意，先写出两个方案的费用表达式：
方案一的费用：$y_1 = 8x$
方案二的费用：$y_2 = 4x + 120$
我们通过差值法判断费用高低：
设两种方案的费用差为$y = y_1 - y_2$，则：
$y = 8x - (4x + 120) = 4x - 120$
当$x=60$时，$y = 4×60 - 120 = 120 ＞ 0$，即$y_1 ＞ y_2$，所以方案二费用更低。
【答案】
二
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 代数式求值
3. 方案选择问题
【点评】
本题是一次函数实际应用中的基础类题型，核心考查学生结合实际场景列函数关系式、代入数值计算以及大小比较的能力，解题的关键是准确梳理两个方案的费用构成，避免漏算固定租用费这类常量费用。
【难度系数】
0.8
要判断添置60件仪器时哪个方案更便宜，首先需要根据两个方案的费用规则，分别写出费用与仪器件数x的函数关系式；再将x=60代入关系式，通过比较两个方案的费用大小即可得出结论，也可以通过计算两个费用的差值，根据差值的正负判断费用高低。
【解析】
根据题意，先写出两个方案的费用表达式：
方案一的费用：$y_1 = 8x$
方案二的费用：$y_2 = 4x + 120$
我们通过差值法判断费用高低：
设两种方案的费用差为$y = y_1 - y_2$，则：
$y = 8x - (4x + 120) = 4x - 120$
当$x=60$时，$y = 4×60 - 120 = 120 ＞ 0$，即$y_1 ＞ y_2$，所以方案二费用更低。
【答案】
二
【知识点】
1. 一次函数的实际应用
2. 代数式求值
3. 方案选择问题
【点评】
本题是一次函数实际应用中的基础类题型，核心考查学生结合实际场景列函数关系式、代入数值计算以及大小比较的能力，解题的关键是准确梳理两个方案的费用构成，避免漏算固定租用费这类常量费用。
【难度系数】
0.8
2. 在“美丽安徽,清洁乡村”活动中,李家村村主任提出两种购买垃圾桶的方案,方案1:买分类垃圾桶,需要费用3 000元,以后每月的垃圾处理费用为250元. 方案2:买不分类垃圾桶,需要费用1 000元,以后每月的垃圾处理费用为500元.设方案1购买垃圾桶的费用和每月的垃圾处理费用共$y_1$元,方案2购买垃圾桶的费用和每月的垃圾处理费用共$y_2$元,交费时间为$x$个月.
(1)分别写出$y_1,y_2$与$x$之间的函数表达式.
(2)在同一平面直角坐标系(如图)内,画出函数$y_1,y_2$的图象.
(3)在垃圾桶使用寿命较长且相同的情况下,根据图象直接写出哪种方案省钱.
(1)分别写出$y_1,y_2$与$x$之间的函数表达式.
(2)在同一平面直角坐标系(如图)内,画出函数$y_1,y_2$的图象.
(3)在垃圾桶使用寿命较长且相同的情况下,根据图象直接写出哪种方案省钱.
答案
解:(1)$y_1 = 250x + 3\ 000$,$y_2 = 500x + 1\ 000$.
(2)函数$y_1$,$y_2$的图象如图所示.
(3)由(2)中图象,得当$x ＞ 8$时,$y_1 ＜ y_2$,方案1省钱;
当$x = 8$时,$y_1 = y_2$,两种方案花费一样;
当$0 ＜ x ＜ 8$时,$y_2 ＜ y_1$,方案2省钱.
解析
【分析】
(1) 求函数表达式时，总费用=购买垃圾桶的固定费用+每月垃圾处理费×交费月数，分别代入两个方案的固定费用和月处理费，即可写出$ y_1 $、$ y_2 $与$ x $的关系式。
(2) 一次函数的图象是直线，画图象时只需确定直线上两个点的坐标，描点后连线即可：对于$ y_1 $可选取x=0、x=12对应的两个点，对于$ y_2 $也可选取x=0、x=12对应的两个点，分别连线即可得到两个函数的图象。
(3) 判断哪种方案省钱，本质是比较相同x下$ y_1 $和$ y_2 $的大小：图象位置更低的函数值更小、更省钱。首先找两个函数图象的交点，交点处两个方案费用相等，再分别判断交点左右两侧哪条直线位置更低，即可分情况得到省钱的方案。
【解析】
(1) 方案1的总费用为初始购置费加x个月的垃圾处理费，因此$ y_1 = 250x + 3000 $（x为正整数）；
方案2的总费用为初始购置费加x个月的垃圾处理费，因此$ y_2 = 500x + 1000 $（x为正整数）。
(2) 对于$ y_1=250x+3000 $，取x=0得y=3000，取x=12得y=6000，描点(0,3000)、(12,6000)后连线得到$ y_1 $的图象；对于$ y_2=500x+1000 $，取x=0得y=1000，取x=12得y=7000，描点(0,1000)、(12,7000)后连线得到$ y_2 $的图象：
(3) 令$ y_1=y_2 $，即$ 250x+3000=500x+1000 $，解得x=8，此时两个方案费用相同。
结合图象分析：当$ 0 ＜ x ＜ 8 $时，$ y_2 $的图象在$ y_1 $下方，即$ y_2 ＜ y_1 $；当$ x ＞ 8 $时，$ y_1 $的图象在$ y_2 $下方，即$ y_1 ＜ y_2 $。
【答案】
(1)$ y_1 = 250x + 3\ 000 $，$ y_2 = 500x + 1\ 000 $。
(2)函数$ y_1 $，$ y_2 $的图象如图所示。
(3)当$ x ＞ 8 $时，方案1省钱；当$ x = 8 $时，两种方案花费一样；当$ 0 ＜ x ＜ 8 $时，方案2省钱。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数图象绘制，一次函数方案选择
【点评】
本题结合生活垃圾分类的实际情境考查一次函数的应用，需要掌握一次函数的基本性质，会通过函数解析式或图象比较函数值大小，进而选择最优方案，题目贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数表达式时，总费用=购买垃圾桶的固定费用+每月垃圾处理费×交费月数，分别代入两个方案的固定费用和月处理费，即可写出$ y_1 $、$ y_2 $与$ x $的关系式。
(2) 一次函数的图象是直线，画图象时只需确定直线上两个点的坐标，描点后连线即可：对于$ y_1 $可选取x=0、x=12对应的两个点，对于$ y_2 $也可选取x=0、x=12对应的两个点，分别连线即可得到两个函数的图象。
(3) 判断哪种方案省钱，本质是比较相同x下$ y_1 $和$ y_2 $的大小：图象位置更低的函数值更小、更省钱。首先找两个函数图象的交点，交点处两个方案费用相等，再分别判断交点左右两侧哪条直线位置更低，即可分情况得到省钱的方案。
【解析】
(1) 方案1的总费用为初始购置费加x个月的垃圾处理费，因此$ y_1 = 250x + 3000 $（x为正整数）；
方案2的总费用为初始购置费加x个月的垃圾处理费，因此$ y_2 = 500x + 1000 $（x为正整数）。
(2) 对于$ y_1=250x+3000 $，取x=0得y=3000，取x=12得y=6000，描点(0,3000)、(12,6000)后连线得到$ y_1 $的图象；对于$ y_2=500x+1000 $，取x=0得y=1000，取x=12得y=7000，描点(0,1000)、(12,7000)后连线得到$ y_2 $的图象：
(3) 令$ y_1=y_2 $，即$ 250x+3000=500x+1000 $，解得x=8，此时两个方案费用相同。
结合图象分析：当$ 0 ＜ x ＜ 8 $时，$ y_2 $的图象在$ y_1 $下方，即$ y_2 ＜ y_1 $；当$ x ＞ 8 $时，$ y_1 $的图象在$ y_2 $下方，即$ y_1 ＜ y_2 $。
【答案】
(1)$ y_1 = 250x + 3\ 000 $，$ y_2 = 500x + 1\ 000 $。
(2)函数$ y_1 $，$ y_2 $的图象如图所示。
(3)当$ x ＞ 8 $时，方案1省钱；当$ x = 8 $时，两种方案花费一样；当$ 0 ＜ x ＜ 8 $时，方案2省钱。
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数图象绘制，一次函数方案选择
【点评】
本题结合生活垃圾分类的实际情境考查一次函数的应用，需要掌握一次函数的基本性质，会通过函数解析式或图象比较函数值大小，进而选择最优方案，题目贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.7
3. [2025深圳南山区期末]如图，$l_1$反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，$l_2$反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利。根据图中信息判断该产品盈利时的销售量为（
A.小于4件
B.大于4件
C.等于4件
D.不小于4件
B
）A.小于4件
B.大于4件
C.等于4件
D.不小于4件
答案
B 当该产品销售收入大于销售成本,即$l_1$的函数图象在$l_2$的函数图象上方时,对应的$x$的取值范围是$x ＞ 4$,即销售量大于4件.
解析
【分析】
解题时首先要明确两条直线对应的实际意义：$l_1$代表销售收入随销售量的变化，$l_2$代表销售成本随销售量的变化。盈利的条件是销售收入大于销售成本，对应到函数图象中就是同一横坐标$x$下，$l_1$的纵坐标值大于$l_2$的纵坐标值，也就是$l_1$的图象位于$l_2$图象的上方。接下来找到两条直线的交点，交点处两者数值相等，再判断交点哪一侧满足$l_1$在$l_2$上方，即可得到盈利时销售量的范围。
【解析】
由图可知：$l_1$的纵坐标表示销售收入，$l_2$的纵坐标表示销售成本。
盈利需满足销售收入＞销售成本，即相同销售量$x$时，$l_1$对应的$y$值大于$l_2$对应的$y$值，反映在图象上为$l_1$的图象在$l_2$图象的上方。
两条直线的交点横坐标为$x=4$，此时销售收入等于销售成本，刚好不赚不亏；当$x＞4$时，$l_1$在$l_2$上方，满足销售收入大于销售成本，即销售量大于4件时产品盈利。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象应用，一次函数实际问题
【点评】
本题结合盈利问题考查一次函数的实际应用，解题核心是将实际的数量大小关系转化为函数图象的上下位置关系，结合交点坐标即可快速得出结论，是一次函数实际应用类的基础典型题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两条直线对应的实际意义：$l_1$代表销售收入随销售量的变化，$l_2$代表销售成本随销售量的变化。盈利的条件是销售收入大于销售成本，对应到函数图象中就是同一横坐标$x$下，$l_1$的纵坐标值大于$l_2$的纵坐标值，也就是$l_1$的图象位于$l_2$图象的上方。接下来找到两条直线的交点，交点处两者数值相等，再判断交点哪一侧满足$l_1$在$l_2$上方，即可得到盈利时销售量的范围。
【解析】
由图可知：$l_1$的纵坐标表示销售收入，$l_2$的纵坐标表示销售成本。
盈利需满足销售收入＞销售成本，即相同销售量$x$时，$l_1$对应的$y$值大于$l_2$对应的$y$值，反映在图象上为$l_1$的图象在$l_2$图象的上方。
两条直线的交点横坐标为$x=4$，此时销售收入等于销售成本，刚好不赚不亏；当$x＞4$时，$l_1$在$l_2$上方，满足销售收入大于销售成本，即销售量大于4件时产品盈利。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象应用，一次函数实际问题
【点评】
本题结合盈利问题考查一次函数的实际应用，解题核心是将实际的数量大小关系转化为函数图象的上下位置关系，结合交点坐标即可快速得出结论，是一次函数实际应用类的基础典型题。
【难度系数】
0.8
4. [2026安庆外国语学校期中]在智能制造浪潮下,机器人产业发展迅猛.某机器人制造公司为满足生产需求,从供应商处采购两种关键零部件,分别是高精度传感器和高性能伺服电机,它们的采购成本及组装后的产品售价数据如下表:
| 零部件类别 | 高精度传感器 | 高性能伺服电机 |
| --- | --- | --- |
| 采购成本/(元/件) |
800 | 600 |
| 组装后产品售价/(元/件) | 1200 | 900 |
(1)该公司首次投入20 000元采购高精度传感器和高性能伺服电机共30件,请问两种零部件分别采购了多少件?
(2)首次采购零部件组装的机器人销售一空后,公司打算再次采购这两种零部件共250件(采购成本和产品售价保持不变),且第二次采购的总成本不超过180 000元,那么公司此次应制定怎样的采购方案,才能够获得最大销售利润?最大销售利润是多少?
| 零部件类别 | 高精度传感器 | 高性能伺服电机 |
| --- | --- | --- |
| 采购成本/(元/件) |
800 | 600 || 组装后产品售价/(元/件) | 1200 | 900 |
(1)该公司首次投入20 000元采购高精度传感器和高性能伺服电机共30件,请问两种零部件分别采购了多少件?
(2)首次采购零部件组装的机器人销售一空后,公司打算再次采购这两种零部件共250件(采购成本和产品售价保持不变),且第二次采购的总成本不超过180 000元,那么公司此次应制定怎样的采购方案,才能够获得最大销售利润?最大销售利润是多少?
答案
解:(1)设采购高精度传感器$a$件,采购高性能伺服电机$b$件.
根据题意,得$\begin{cases} a + b = 30, \\ 800a + 600b = 20\ 000, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 10, \\ b = 20. \end{cases}$
答:采购高精度传感器10件,采购高性能伺服电机20件.
(2)设第二次采购高精度传感器$x$件,则采购高性能伺服电机$(250 - x)$件.
根据题意,得$800x + 600(250 - x) ≤ 180\ 000$,解得$x ≤ 150$.
设销售利润为$W$元,则$W = (1\ 200 - 800)x + (900 - 600)(250 - x) = 100x + 75\ 000$.
因为$100 ＞ 0$,所以$W$随$x$的增大而增大.
因为$0 ＜ x ≤ 150$,所以当$x = 150$时,$W$值最大,$W_{\mathrm{最大}} = 100 × 150 + 75\ 000 = 90\ 000$,
$250 - 150 = 100$(件).
答:第二次采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件才能够获得最大销售利润,最大销售利润是90 000元.
根据题意,得$\begin{cases} a + b = 30, \\ 800a + 600b = 20\ 000, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = 10, \\ b = 20. \end{cases}$
答:采购高精度传感器10件,采购高性能伺服电机20件.
(2)设第二次采购高精度传感器$x$件,则采购高性能伺服电机$(250 - x)$件.
根据题意,得$800x + 600(250 - x) ≤ 180\ 000$,解得$x ≤ 150$.
设销售利润为$W$元,则$W = (1\ 200 - 800)x + (900 - 600)(250 - x) = 100x + 75\ 000$.
因为$100 ＞ 0$,所以$W$随$x$的增大而增大.
因为$0 ＜ x ≤ 150$,所以当$x = 150$时,$W$值最大,$W_{\mathrm{最大}} = 100 × 150 + 75\ 000 = 90\ 000$,
$250 - 150 = 100$(件).
答:第二次采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件才能够获得最大销售利润,最大销售利润是90 000元.
解析
【分析】
(1)第一问包含两个未知量：高精度传感器采购量、高性能伺服电机采购量，同时存在两个明确等量关系：①两种零部件总采购量为30件；②两种零部件总采购成本为20000元，因此可通过设两个未知数列二元一次方程组求解。
(2)第二问为最优方案问题，首先根据“第二次采购的总成本不超过180000元”的限制条件，列一元一次不等式求出高精度传感器采购量的取值范围；再根据“总利润=单件利润×销售数量”列出总利润关于采购量的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在取值范围内找到使利润最大的采购量，即可得到最优方案和最大利润。
【解析】
(1)设采购高精度传感器$a$件，采购高性能伺服电机$b$件。
根据题意，得$\begin{cases} a + b = 30, \\ 800a + 600b = 20\ 000, \end{cases}$
由$a+b=30$得$b=30-a$，代入第二个方程得$800a+600(30-a)=20000$，
化简得$200a=2000$，解得$a=10$，则$b=30-10=20$。
(2)设第二次采购高精度传感器$x$件，则采购高性能伺服电机$(250 - x)$件。
根据采购总成本限制列不等式：$800x + 600(250 - x) ≤ 180\ 000$，
化简得$200x≤30000$，解得$x ≤ 150$。
设销售总利润为$W$元，单件高精度传感器利润为$1200-800=400$元，单件高性能伺服电机利润为$900-600=300$元，因此：
$W = 400x + 300(250 - x) = 100x + 75\ 000$
因为$100 ＞ 0$，所以$W$随$x$的增大而增大，结合$x$的取值范围$0≤x≤150$，
当$x = 150$时，$W$取得最大值，$W_{\mathrm{最大}} = 100 × 150 + 75\ 000 = 90\ 000$，
此时高性能伺服电机采购量为$250 - 150 = 100$（件）。
【答案】
(1)采购高精度传感器10件，高性能伺服电机20件；
(2)采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件时可获得最大销售利润，最大销售利润为90000元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；一次函数实际应用
【点评】
本题结合智能制造的实际场景，综合考查了方程、不等式与一次函数的应用，解题核心是准确梳理题目中的等量关系、不等关系，结合一次函数的增减性求解最优方案，能有效锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)第一问包含两个未知量：高精度传感器采购量、高性能伺服电机采购量，同时存在两个明确等量关系：①两种零部件总采购量为30件；②两种零部件总采购成本为20000元，因此可通过设两个未知数列二元一次方程组求解。
(2)第二问为最优方案问题，首先根据“第二次采购的总成本不超过180000元”的限制条件，列一元一次不等式求出高精度传感器采购量的取值范围；再根据“总利润=单件利润×销售数量”列出总利润关于采购量的一次函数表达式，结合一次函数的增减性，在取值范围内找到使利润最大的采购量，即可得到最优方案和最大利润。
【解析】
(1)设采购高精度传感器$a$件，采购高性能伺服电机$b$件。
根据题意，得$\begin{cases} a + b = 30, \\ 800a + 600b = 20\ 000, \end{cases}$
由$a+b=30$得$b=30-a$，代入第二个方程得$800a+600(30-a)=20000$，
化简得$200a=2000$，解得$a=10$，则$b=30-10=20$。
(2)设第二次采购高精度传感器$x$件，则采购高性能伺服电机$(250 - x)$件。
根据采购总成本限制列不等式：$800x + 600(250 - x) ≤ 180\ 000$，
化简得$200x≤30000$，解得$x ≤ 150$。
设销售总利润为$W$元，单件高精度传感器利润为$1200-800=400$元，单件高性能伺服电机利润为$900-600=300$元，因此：
$W = 400x + 300(250 - x) = 100x + 75\ 000$
因为$100 ＞ 0$，所以$W$随$x$的增大而增大，结合$x$的取值范围$0≤x≤150$，
当$x = 150$时，$W$取得最大值，$W_{\mathrm{最大}} = 100 × 150 + 75\ 000 = 90\ 000$，
此时高性能伺服电机采购量为$250 - 150 = 100$（件）。
【答案】
(1)采购高精度传感器10件，高性能伺服电机20件；
(2)采购高精度传感器150件、高性能伺服电机100件时可获得最大销售利润，最大销售利润为90000元。
【知识点】
二元一次方程组应用；一元一次不等式应用；一次函数实际应用
【点评】
本题结合智能制造的实际场景，综合考查了方程、不等式与一次函数的应用，解题核心是准确梳理题目中的等量关系、不等关系，结合一次函数的增减性求解最优方案，能有效锻炼学生利用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
