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[2024 吉林中考]某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究,第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识;第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容,请你阅读相关信息,并解答“建立模型”中的问题.
【背景调查】
图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图2所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm,凳面的宽度为y mm,记录如下:
【分析数据】
如图3,小组根据表中x,y的数值,在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题:
(1)观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上?如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式;如果不在同一条直线上,说明理由.
(2)当凳面宽度为213 mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少?
【背景调查】
图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”,是中国传统家具,其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究,木工一般用铅笔画出凳面的对称轴,以对称轴为基准向两边各取相同的长度,确定榫眼的位置,如图2所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm,凳面的宽度为y mm,记录如下:
【分析数据】
如图3,小组根据表中x,y的数值,在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题:
(1)观察上述各点的分布规律,它们是否在同一条直线上?如果在同一条直线上,求出这条直线所对应的函数表达式;如果不在同一条直线上,说明理由.
(2)当凳面宽度为213 mm时,以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少?
答案
解:(1)在同一条直线上。
设这条直线所对应的函数表达式为$y=kx+b$。
将$(16.5,115.5),(19.8,132)$分别代入，得$\begin{cases}16.5k+b=115.5,\\19.8k+b=132,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=5,\\b=33,\end{cases}$
故这条直线所对应的函数表达式为$y=5x+33$。
(2)对于$y=5x+33$，当$y=213$时，$5x+33=213$，解得$x=36$。
故当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36 mm。
设这条直线所对应的函数表达式为$y=kx+b$。
将$(16.5,115.5),(19.8,132)$分别代入，得$\begin{cases}16.5k+b=115.5,\\19.8k+b=132,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=5,\\b=33,\end{cases}$
故这条直线所对应的函数表达式为$y=5x+33$。
(2)对于$y=5x+33$，当$y=213$时，$5x+33=213$，解得$x=36$。
故当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36 mm。
解析
【分析】
(1) 先观察坐标系中各点的分布，呈现明显的直线型特征，可判断点在同一条直线上。求解函数表达式采用待定系数法：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，选取两组对应的x、y数值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，再验证其余点符合解析式即可确认表达式正确。
(2) 已知凳面宽度即y值为213mm，求对应的x值，只需将y=213代入第一问求出的函数表达式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 观察各点分布规律，可知它们在同一条直线上。
设这条直线所对应的函数表达式为$y=kx+b$。
将$(16.5,115.5),(19.8,132)$分别代入，得$\begin{cases}16.5k+b=115.5,\\19.8k+b=132,\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去b，得$3.3k=16.5$，解得$k=5$。
将$k=5$代入$16.5k+b=115.5$，得$82.5+b=115.5$，解得$b=33$。
验证其余数据点均满足该解析式，故这条直线对应的函数表达式为$y=5x+33$。
(2) 当凳面宽度$y=213\ \mathrm{mm}$时，代入$y=5x+33$得：
$5x+33=213$
移项计算得$5x=180$，解得$x=36$。
【答案】
(1) 在同一条直线上，函数表达式为$\boldsymbol{y=5x+33}$；
(2) $\boldsymbol{36\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象特征
【点评】
本题以中国传统四脚八叉凳为命题背景，将数学知识与传统文化、生活实际结合，考查一次函数的核心应用能力，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式，以及函数值与自变量的互算方法，兼顾了对学生建模能力和文化素养的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 先观察坐标系中各点的分布，呈现明显的直线型特征，可判断点在同一条直线上。求解函数表达式采用待定系数法：先设一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，选取两组对应的x、y数值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，再验证其余点符合解析式即可确认表达式正确。
(2) 已知凳面宽度即y值为213mm，求对应的x值，只需将y=213代入第一问求出的函数表达式，解一元一次方程即可得到结果。
【解析】
(1) 观察各点分布规律，可知它们在同一条直线上。
设这条直线所对应的函数表达式为$y=kx+b$。
将$(16.5,115.5),(19.8,132)$分别代入，得$\begin{cases}16.5k+b=115.5,\\19.8k+b=132,\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去b，得$3.3k=16.5$，解得$k=5$。
将$k=5$代入$16.5k+b=115.5$，得$82.5+b=115.5$，解得$b=33$。
验证其余数据点均满足该解析式，故这条直线对应的函数表达式为$y=5x+33$。
(2) 当凳面宽度$y=213\ \mathrm{mm}$时，代入$y=5x+33$得：
$5x+33=213$
移项计算得$5x=180$，解得$x=36$。
【答案】
(1) 在同一条直线上，函数表达式为$\boldsymbol{y=5x+33}$；
(2) $\boldsymbol{36\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数图象特征
【点评】
本题以中国传统四脚八叉凳为命题背景，将数学知识与传统文化、生活实际结合，考查一次函数的核心应用能力，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式，以及函数值与自变量的互算方法，兼顾了对学生建模能力和文化素养的考查。
【难度系数】
0.8
