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1. 跨学科·化学 [2025山西中考]氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得.实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(单位:g)与分解的水的质量x(单位:g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为 (
A.$y=\frac{9}{x}$
B.$y=9x$
C.$y=\frac{1}{9}x$
D.$y=\frac{1}{9x}$
C
)A.$y=\frac{9}{x}$
B.$y=9x$
C.$y=\frac{1}{9}x$
D.$y=\frac{1}{9x}$
答案
1 C 观察题表，可知$y$是$x$的正比例函数，设关系式为$y=kx$，代入$(4.5,0.5)$，得$4.5k=0.5$，解得$k=\dfrac{1}{9}$，故$y$与$x$之间的函数关系式为$y=\dfrac{1}{9}x$。
解析
【分析】
首先观察表格中x和y的变化规律：分解的水的质量x增大时，生成氢气的质量y也随之增大，计算每组x与y的比值可发现比值固定，因此可判断y是x的正比例函数。接下来用待定系数法求函数解析式：先设正比例函数的一般形式，再代入表格中任意一组数据求出比例系数，最后验证其他组数据符合所求解析式即可得到答案。
【解析】
观察表格数据可知，y与x的比值为定值，因此y是x的正比例函数，设函数关系式为$y=kx$（$k\ne0$）。
将$x=4.5$，$y=0.5$代入解析式得：
$0.5=4.5k$
解得$k=\frac{0.5}{4.5}=\frac{1}{9}$
将表格其余各组数据代入$y=\frac{1}{9}x$验证，均成立，因此函数关系式为$y=\frac{1}{9}x$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的判定；待定系数法求解析式；函数的实际应用
【点评】
本题结合电解水的化学情境考查正比例函数的应用，解题核心是根据数据特征判断函数类型，再用待定系数法求解，同时可通过多组数据验证结果的正确性，注重跨学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8
首先观察表格中x和y的变化规律：分解的水的质量x增大时，生成氢气的质量y也随之增大，计算每组x与y的比值可发现比值固定，因此可判断y是x的正比例函数。接下来用待定系数法求函数解析式：先设正比例函数的一般形式，再代入表格中任意一组数据求出比例系数，最后验证其他组数据符合所求解析式即可得到答案。
【解析】
观察表格数据可知，y与x的比值为定值，因此y是x的正比例函数，设函数关系式为$y=kx$（$k\ne0$）。
将$x=4.5$，$y=0.5$代入解析式得：
$0.5=4.5k$
解得$k=\frac{0.5}{4.5}=\frac{1}{9}$
将表格其余各组数据代入$y=\frac{1}{9}x$验证，均成立，因此函数关系式为$y=\frac{1}{9}x$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的判定；待定系数法求解析式；函数的实际应用
【点评】
本题结合电解水的化学情境考查正比例函数的应用，解题核心是根据数据特征判断函数类型，再用待定系数法求解，同时可通过多组数据验证结果的正确性，注重跨学科知识的融合应用。
【难度系数】
0.8
2. [2024长沙中考]对于一次函数$y=2x-1$，下列结论正确的是（
A.它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$
B.$y$随$x$的增大而减小
C.当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$
D.它的图象经过第一、二、三象限
A
）A.它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$
B.$y$随$x$的增大而减小
C.当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$
D.它的图象经过第一、二、三象限
答案
2 A 令$x=0$，得$y=2x-1=-1$，则一次函数$y=2x-1$的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$，故选项A符合题意；因为$k=2＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大，令$y=0$，得$x=\dfrac{1}{2}$，所以当$x＞\dfrac{1}{2}$时，$y＞0$，故选项B,C不符合题意；因为$k=2＞0,b=-1＜0$，所以一次函数$y=2x-1$的图象经过第一、三、四象限，故选项D不符合题意。
解析
【分析】
本题考查一次函数的基础性质，需逐个分析选项判断正误：①判断与y轴交点时，令x=0代入函数解析式计算y值即可；②判断增减性看一次项系数k的符号，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小；③判断y的正负时，先求出y=0对应的x值，再结合增减性分析；④判断图象经过的象限，结合k和常数项b的符号共同判断：k＞0过一、三象限，k＜0过二、四象限，b＞0交y轴正半轴，b＜0交y轴负半轴。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：令x=0，代入$y=2x-1$得$y=2×0-1=-1$，因此一次函数图象与y轴交于点$(0,-1)$，该选项符合题意。
2. 分析选项B：一次函数的一次项系数$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，该选项不符合题意。
3. 分析选项C：令$y=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，结合$k＞0$的增减性可知，当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＞0$，该选项不符合题意。
4. 分析选项D：由$k=2＞0$可知图象过第一、三象限，由$b=-1＜0$可知图象交y轴负半轴，因此图象经过第一、三、四象限，该选项不符合题意。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的图象与象限；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，覆盖了一次函数核心的性质考点，熟练掌握系数k、b对一次函数图象、增减性的影响，是快速解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85
本题考查一次函数的基础性质，需逐个分析选项判断正误：①判断与y轴交点时，令x=0代入函数解析式计算y值即可；②判断增减性看一次项系数k的符号，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小；③判断y的正负时，先求出y=0对应的x值，再结合增减性分析；④判断图象经过的象限，结合k和常数项b的符号共同判断：k＞0过一、三象限，k＜0过二、四象限，b＞0交y轴正半轴，b＜0交y轴负半轴。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：令x=0，代入$y=2x-1$得$y=2×0-1=-1$，因此一次函数图象与y轴交于点$(0,-1)$，该选项符合题意。
2. 分析选项B：一次函数的一次项系数$k=2＞0$，因此$y$随$x$的增大而增大，该选项不符合题意。
3. 分析选项C：令$y=0$，即$2x-1=0$，解得$x=\frac{1}{2}$，结合$k＞0$的增减性可知，当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＞0$，该选项不符合题意。
4. 分析选项D：由$k=2＞0$可知图象过第一、三象限，由$b=-1＜0$可知图象交y轴负半轴，因此图象经过第一、三、四象限，该选项不符合题意。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；一次函数的图象与象限；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是一次函数的基础考查题，覆盖了一次函数核心的性质考点，熟练掌握系数k、b对一次函数图象、增减性的影响，是快速解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.85
3. ▶一题多解[2025安徽中考]已知一次函数$y=kx+b(k≠0)$的图象经过点$M(1,2)$，且$y$随$x$的增大而增大.若点$N$在该函数的图象上，则点$N$的坐标可以是（
A.$(-2,2)$
B.$(2,1)$
C.$(-1,3)$
D.$(3,4)$
D
）A.$(-2,2)$
B.$(2,1)$
C.$(-1,3)$
D.$(3,4)$
答案
3 D 因为$y$随$x$的增大而增大，所以当$x＞1$时，$y＞2$；当$x＜1$时，$y＜2$，由此可判断点$N$的坐标可以是$(3,4)$。
根据$y$随$x$的增大而增大，可知$k＞0$。若一次函数$y=kx+b$的图象经过点$M(1,2)$和$(-2,2)$，则可得$\begin{cases}k+b=2,\\-2k+b=2,\end{cases}$解得$k=0$，故选项A不符合题意；若一次函数$y=kx+b$的图象经过点$M(1,2)$和$(2,1)$，则可得$\begin{cases}k+b=2,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$k=-1$，故选项B不符合题意；若一次函数$y=kx+b$的图象经过点$M(1,2)$和$(-1,3)$，则可得$\begin{cases}k+b=2,\\-k+b=3,\end{cases}$解得$k=-\dfrac{1}{2}$，故选项C不符合题意；若一次函数$y=kx+b$的图象经过点$M(1,2)$和$(3,4)$，则可得$\begin{cases}k+b=2,\\3k+b=4,\end{cases}$解得$k=1$，故选项D符合题意。
根据$y$随$x$的增大而增大，可知$k＞0$。若一次函数$y=kx+b$的图象经过点$M(1,2)$和$(-2,2)$，则可得$\begin{cases}k+b=2,\\-2k+b=2,\end{cases}$解得$k=0$，故选项A不符合题意；若一次函数$y=kx+b$的图象经过点$M(1,2)$和$(2,1)$，则可得$\begin{cases}k+b=2,\\2k+b=1,\end{cases}$解得$k=-1$，故选项B不符合题意；若一次函数$y=kx+b$的图象经过点$M(1,2)$和$(-1,3)$，则可得$\begin{cases}k+b=2,\\-k+b=3,\end{cases}$解得$k=-\dfrac{1}{2}$，故选项C不符合题意；若一次函数$y=kx+b$的图象经过点$M(1,2)$和$(3,4)$，则可得$\begin{cases}k+b=2,\\3k+b=4,\end{cases}$解得$k=1$，故选项D符合题意。
解析
【分析】
解题可从两个思路入手：思路1：先根据一次函数的增减性确定k＞0，结合函数过点M(1,2)，可得当x＞1时对应函数值y＞2，当x＜1时对应函数值y＜2，据此直接比对各选项的横纵坐标即可判断；思路2：将各选项的点坐标和M(1,2)分别代入一次函数解析式，联立方程组求解k的值，若k＞0则符合题意，反之不符合。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性判断
已知一次函数y随x的增大而增大，因此k＞0。
又因为函数图象过点M(1,2)，可得规律：当x＞1时，y＞2；当x＜1时，y＜2。
逐一分析选项：
A. x=-2＜1，但y=2不小于2，不符合规律，排除；
B. x=2＞1，但y=1＜2，不符合规律，排除；
C. x=-1＜1，但y=3＞2，不符合规律，排除；
D. x=3＞1，且y=4＞2，符合规律。
方法二：待定系数法验证k的符号
已知函数过M(1,2)，代入得$k+b=2$。
A选项：若点$(-2,2)$在图象上，代入得$-2k+b=2$，联立$\begin{cases}k+b=2\\-2k+b=2\end{cases}$，解得$k=0$，不符合$k≠0$且$k＞0$的要求，排除；
B选项：若点$(2,1)$在图象上，代入得$2k+b=1$，联立$\begin{cases}k+b=2\\2k+b=1\end{cases}$，解得$k=-1＜0$，排除；
C选项：若点$(-1,3)$在图象上，代入得$-k+b=3$，联立$\begin{cases}k+b=2\\-k+b=3\end{cases}$，解得$k=-\dfrac{1}{2}＜0$，排除；
D选项：若点$(3,4)$在图象上，代入得$3k+b=4$，联立$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=4\end{cases}$，解得$k=1＞0$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性；待定系数法求解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，可灵活选择增减性直接判断或代入验证的方法解题，其中利用增减性判断可有效提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可从两个思路入手：思路1：先根据一次函数的增减性确定k＞0，结合函数过点M(1,2)，可得当x＞1时对应函数值y＞2，当x＜1时对应函数值y＜2，据此直接比对各选项的横纵坐标即可判断；思路2：将各选项的点坐标和M(1,2)分别代入一次函数解析式，联立方程组求解k的值，若k＞0则符合题意，反之不符合。
【解析】
方法一：利用一次函数增减性判断
已知一次函数y随x的增大而增大，因此k＞0。
又因为函数图象过点M(1,2)，可得规律：当x＞1时，y＞2；当x＜1时，y＜2。
逐一分析选项：
A. x=-2＜1，但y=2不小于2，不符合规律，排除；
B. x=2＞1，但y=1＜2，不符合规律，排除；
C. x=-1＜1，但y=3＞2，不符合规律，排除；
D. x=3＞1，且y=4＞2，符合规律。
方法二：待定系数法验证k的符号
已知函数过M(1,2)，代入得$k+b=2$。
A选项：若点$(-2,2)$在图象上，代入得$-2k+b=2$，联立$\begin{cases}k+b=2\\-2k+b=2\end{cases}$，解得$k=0$，不符合$k≠0$且$k＞0$的要求，排除；
B选项：若点$(2,1)$在图象上，代入得$2k+b=1$，联立$\begin{cases}k+b=2\\2k+b=1\end{cases}$，解得$k=-1＜0$，排除；
C选项：若点$(-1,3)$在图象上，代入得$-k+b=3$，联立$\begin{cases}k+b=2\\-k+b=3\end{cases}$，解得$k=-\dfrac{1}{2}＜0$，排除；
D选项：若点$(3,4)$在图象上，代入得$3k+b=4$，联立$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=4\end{cases}$，解得$k=1＞0$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的增减性；待定系数法求解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础应用题，可灵活选择增减性直接判断或代入验证的方法解题，其中利用增减性判断可有效提高解题效率。
【难度系数】
0.8
4. [2022安徽中考]在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+a^2$与$y=a^2x+a$的图象可能是（
D
）答案
4 D 因为$y=ax+a^2$与$y=a^2x+a$，所以当$x=1$时，两函数值都是$a^2+a$，所以两直线的交点的横坐标为1。若$a＞0$，则一次函数$y=ax+a^2$与$y=a^2x+a$都是$y$随$x$的增大而增大，且都交于$y$轴的正半轴，图象都经过第一、二、三象限；若$a＜0$，则一次函数$y=ax+a^2$的图象经过第一、二、四象限，$y=a^2x+a$的图象经过第一、三、四象限，且两直线的交点的横坐标为1。综上所述，只有选项D符合题意。
解析
【分析】
解题时先通过代入特殊值x=1确定两个一次函数图象交点的横坐标，再结合一次函数y=kx+b中k（决定图象倾斜方向与增减性）、b（决定与y轴的交点位置）的意义，分a＞0和a＜0两种情况分析两个函数图象经过的象限，用排除法逐一筛选错误选项即可得到答案。
【解析】
步骤1：确定两直线交点的横坐标
将x=1分别代入两个一次函数：
对于$y=ax+a^2$，当x=1时，$y=a×1+a^2=a+a^2$；
对于$y=a^2x+a$，当x=1时，$y=a^2×1+a=a^2+a$；
因此两函数在x=1处函数值相等，说明两条直线交点的横坐标为1，观察选项A、B的交点横坐标均小于1，故排除A、B。
步骤2：分情况讨论a的取值，判断函数图象特征
①若$a＞0$：
$y=ax+a^2$中，$k=a＞0$，$b=a^2＞0$，图象经过第一、二、三象限，y随x增大而增大，与y轴交于正半轴；
$y=a^2x+a$中，$k=a^2＞0$，$b=a＞0$，图象也经过第一、二、三象限，与y轴交于正半轴。
观察选项C，其中一条直线与y轴交于负半轴，不符合$a＞0$的情况，排除C。
②若$a＜0$：
$y=ax+a^2$中，$k=a＜0$，$b=a^2＞0$，图象经过第一、二、四象限；
$y=a^2x+a$中，$k=a^2＞0$，$b=a＜0$，图象经过第一、三、四象限。
该情况与选项D的图象特征完全吻合。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数交点的判定
【点评】
本题是一次函数图象的典型判断类题型，解题核心是抓住参数对一次函数图象的影响，结合特殊点先缩小选项范围，再通过分类讨论验证剩余选项，方法具有普适性，能有效考查对一次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时先通过代入特殊值x=1确定两个一次函数图象交点的横坐标，再结合一次函数y=kx+b中k（决定图象倾斜方向与增减性）、b（决定与y轴的交点位置）的意义，分a＞0和a＜0两种情况分析两个函数图象经过的象限，用排除法逐一筛选错误选项即可得到答案。
【解析】
步骤1：确定两直线交点的横坐标
将x=1分别代入两个一次函数：
对于$y=ax+a^2$，当x=1时，$y=a×1+a^2=a+a^2$；
对于$y=a^2x+a$，当x=1时，$y=a^2×1+a=a^2+a$；
因此两函数在x=1处函数值相等，说明两条直线交点的横坐标为1，观察选项A、B的交点横坐标均小于1，故排除A、B。
步骤2：分情况讨论a的取值，判断函数图象特征
①若$a＞0$：
$y=ax+a^2$中，$k=a＞0$，$b=a^2＞0$，图象经过第一、二、三象限，y随x增大而增大，与y轴交于正半轴；
$y=a^2x+a$中，$k=a^2＞0$，$b=a＞0$，图象也经过第一、二、三象限，与y轴交于正半轴。
观察选项C，其中一条直线与y轴交于负半轴，不符合$a＞0$的情况，排除C。
②若$a＜0$：
$y=ax+a^2$中，$k=a＜0$，$b=a^2＞0$，图象经过第一、二、四象限；
$y=a^2x+a$中，$k=a^2＞0$，$b=a＜0$，图象经过第一、三、四象限。
该情况与选项D的图象特征完全吻合。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数交点的判定
【点评】
本题是一次函数图象的典型判断类题型，解题核心是抓住参数对一次函数图象的影响，结合特殊点先缩小选项范围，再通过分类讨论验证剩余选项，方法具有普适性，能有效考查对一次函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
5. [2025广州中考]如图，在平面直角坐标系中，点$A(-3,1)$，点$B(-1,1)$，若将直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后与线段$AB$有交点，则$d$的取值范围是（
A.$-3≤ d≤ -1$
B.$1≤ d≤ 3$
C.$-4≤ d≤ -2$
D.$2≤ d≤ 4$
D
）A.$-3≤ d≤ -1$
B.$1≤ d≤ 3$
C.$-4≤ d≤ -2$
D.$2≤ d≤ 4$
答案
5 D 把直线$y=x$向上平移$d$个单位长度后得到直线$y=x+d$。若直线$y=x+d$过点$A(-3,1)$，则$-3+d=1$，解得$d=4$；若直线$y=x+d$过$B(-1,1)$，则$-1+d=1$，解得$d=2$。数形结合，可知若直线$y=x+d$与线段$AB$有交点，则$2≤ d≤4$。
解析
【分析】
解题时首先利用一次函数平移的“上加下减”规律，写出平移后直线的解析式；线段AB的两个端点是平移后直线与线段AB有交点的临界位置，因此只需将A、B两点的坐标分别代入平移后的解析式，求出对应的d的临界值，再结合图象判断d的取值范围即可。
【解析】
1. 求平移后直线的解析式：根据一次函数平移“向上平移时常数项加平移长度”的规律，将直线$y=x$向上平移$d$个单位后，所得直线的解析式为$y=x+d$。
2. 计算临界状态下的$d$值：
① 当平移后的直线经过点$A(-3,1)$时，把$x=-3$、$y=1$代入$y=x+d$，得：
$1=-3+d$，解得$d=4$。
② 当平移后的直线经过点$B(-1,1)$时，把$x=-1$、$y=1$代入$y=x+d$，得：
$1=-1+d$，解得$d=2$。
3. 结合图象确定取值范围：平移后直线的斜率固定为1，当$d$在2到4之间时，直线与线段$AB$有交点，因此$d$的取值范围是$2≤d≤4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数交点问题；待定系数法
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查数形结合思想的应用，抓住线段端点作为临界值代入计算是解题的突破口，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一次函数平移的“上加下减”规律，写出平移后直线的解析式；线段AB的两个端点是平移后直线与线段AB有交点的临界位置，因此只需将A、B两点的坐标分别代入平移后的解析式，求出对应的d的临界值，再结合图象判断d的取值范围即可。
【解析】
1. 求平移后直线的解析式：根据一次函数平移“向上平移时常数项加平移长度”的规律，将直线$y=x$向上平移$d$个单位后，所得直线的解析式为$y=x+d$。
2. 计算临界状态下的$d$值：
① 当平移后的直线经过点$A(-3,1)$时，把$x=-3$、$y=1$代入$y=x+d$，得：
$1=-3+d$，解得$d=4$。
② 当平移后的直线经过点$B(-1,1)$时，把$x=-1$、$y=1$代入$y=x+d$，得：
$1=-1+d$，解得$d=2$。
3. 结合图象确定取值范围：平移后直线的斜率固定为1，当$d$在2到4之间时，直线与线段$AB$有交点，因此$d$的取值范围是$2≤d≤4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数平移规律；一次函数交点问题；待定系数法
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查数形结合思想的应用，抓住线段端点作为临界值代入计算是解题的突破口，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
6. [2025宁夏中考]如图，直线$ l_1:y = k_1x + b_1 $与直线$ l_2:y = k_2x + b_2 $交于点A，则关于x，y的方程组$\begin{cases}y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
6 $\begin{cases}x=4,\\y=6\end{cases}$ 由图象知直线$y=k_1x+b_1$与$y=k_2x+b_2$相交于点$A(4,6)$，所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}y=k_1x+b_1, \\ y=k_2x+b_2\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=4,\\y=6\end{cases}$。
解析
【分析】
解题的核心是掌握二元一次方程组与一次函数的对应关系：二元一次方程组的解是同时满足两个方程的x、y的值，对应到函数图象上，就是同时在两条直线上的点，也就是两条直线的交点坐标。所以我们首先从图象中读取两条直线交点A的坐标，坐标的x值就是方程组解中x的值，y值就是方程组解中y的值。观察图象可得点A的横坐标为4，纵坐标为6，因此可直接得到方程组的解。
【解析】
由图象可知，直线$l_1:y = k_1x + b_1$与直线$l_2:y = k_2x + b_2$的交点A的坐标为$(4,6)$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=4, \\ y=6\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=4, \\ y=6\end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系、函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题，直接考查一次函数和二元一次方程组的关联，熟记“两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解”是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题的核心是掌握二元一次方程组与一次函数的对应关系：二元一次方程组的解是同时满足两个方程的x、y的值，对应到函数图象上，就是同时在两条直线上的点，也就是两条直线的交点坐标。所以我们首先从图象中读取两条直线交点A的坐标，坐标的x值就是方程组解中x的值，y值就是方程组解中y的值。观察图象可得点A的横坐标为4，纵坐标为6，因此可直接得到方程组的解。
【解析】
由图象可知，直线$l_1:y = k_1x + b_1$与直线$l_2:y = k_2x + b_2$的交点A的坐标为$(4,6)$。
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，因此该方程组的解为$\begin{cases}x=4, \\ y=6\end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases}x=4, \\ y=6\end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系、函数图象交点的意义
【点评】
本题属于基础题，直接考查一次函数和二元一次方程组的关联，熟记“两个一次函数的交点坐标即为对应二元一次方程组的解”是解题的关键。
【难度系数】
0.9
7. [2024 凉山州中考]如图，一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(3,6)$，$B(0,3)$两点，交$x$轴于点$C$，则三角形$AOC$的面积为
$9$
。答案
7 9 因为一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(3,6),B(0,3)$两点，所以$\begin{cases}3k+b=6,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=1,\\b=3,\end{cases}$所以一次函数的表达式为$y=x+3$。当$y=0$时，$x=-3$，所以$C(-3,0)$，所以$OC=3$，所以$S_{\mathrm{三角形}AOC}=\dfrac{1}{2}× y_A× OC=\dfrac{1}{2}×6×3=9$。
解析
【分析】
要计算△AOC的面积，首先需明确△AOC的底为OC（C在x轴上，OC长度为C点横坐标的绝对值），高为点A到x轴的距离（即A点的纵坐标）。因此解题步骤为：首先利用已知的A、B两点坐标，通过待定系数法求出一次函数的解析式；再求出一次函数与x轴的交点C的坐标，得到OC的长度；最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求一次函数解析式：
将A(3,6)、B(0,3)代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 6 \\ b = 3\end{cases}$
将$b=3$代入$3k+b=6$，解得$k=1$，因此一次函数的表达式为$y=x+3$。
2. 求点C坐标：
点C是一次函数与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，令$y=0$，则$0=x+3$，解得$x=-3$，即C点坐标为$(-3,0)$，因此$OC=|-3|=3$。
3. 计算△AOC的面积：
△AOC以OC为底，高为点A的纵坐标6，根据三角形面积公式：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × y_A=\frac{1}{2} × 3 × 6=9$
【答案】
9
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数与几何结合的基础题型，解题核心是先求出一次函数解析式，进而得到交点C的坐标，准确识别三角形的底和高后代入公式计算即可，主要考察学生对一次函数基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
要计算△AOC的面积，首先需明确△AOC的底为OC（C在x轴上，OC长度为C点横坐标的绝对值），高为点A到x轴的距离（即A点的纵坐标）。因此解题步骤为：首先利用已知的A、B两点坐标，通过待定系数法求出一次函数的解析式；再求出一次函数与x轴的交点C的坐标，得到OC的长度；最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求一次函数解析式：
将A(3,6)、B(0,3)代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}3k + b = 6 \\ b = 3\end{cases}$
将$b=3$代入$3k+b=6$，解得$k=1$，因此一次函数的表达式为$y=x+3$。
2. 求点C坐标：
点C是一次函数与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，令$y=0$，则$0=x+3$，解得$x=-3$，即C点坐标为$(-3,0)$，因此$OC=|-3|=3$。
3. 计算△AOC的面积：
△AOC以OC为底，高为点A的纵坐标6，根据三角形面积公式：
$S_{△ AOC}=\frac{1}{2} × OC × y_A=\frac{1}{2} × 3 × 6=9$
【答案】
9
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数与坐标轴交点；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数与几何结合的基础题型，解题核心是先求出一次函数解析式，进而得到交点C的坐标，准确识别三角形的底和高后代入公式计算即可，主要考察学生对一次函数基础知识点的应用能力。
【难度系数】
0.7
8. [2025绥化中考]自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流. 某科技公司计划投入一笔资金用来购买A,B两种型号的芯片. 已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1300元.
(1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元.
(2)若该公司计划购买A,B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍. 当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？
(3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶. 如图，$y_甲$(单位:km)、$y_乙$(单位:km)分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x(单位:h)之间的函数关系. 请根据图象信息解答下列问题:
①甲车的速度是
②当甲、乙两车相距30 km时，直接写出x的值:
(1)求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元.
(2)若该公司计划购买A,B两种型号的芯片共8000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍. 当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？
(3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶. 如图，$y_甲$(单位:km)、$y_乙$(单位:km)分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x(单位:h)之间的函数关系. 请根据图象信息解答下列问题:
①甲车的速度是
$80$
km/h.②当甲、乙两车相距30 km时，直接写出x的值:
$1.5或4.5或6.5$
.答案
8 解:(1)设购买1颗A型芯片需要$m$元，购买1颗B型芯片需要$n$元。
根据题意，得$\begin{cases}m+2n=750,\\2m+3n=1\ 300,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=350,\\n=200.\end{cases}$
答:购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元。
(2)设购买A型芯片$a$颗，则购买B型芯片$(8\ 000-a)$颗。
根据题意，得$a≥3(8\ 000-a)$，解得$a≥6\ 000$。
设所需资金$W$元，则$W=350a+200(8\ 000-a)=150a+1\ 600\ 000$。
因为$150＞0$，所以$W$随$a$的增大而增大。
因为$a≥6\ 000$，所以当$a=6\ 000$时$W$值最小，$W_{\mathrm{最小}}=150×6\ 000+1\ 600\ 000=2\ 500\ 000$(元)。
答:当购买A型芯片6 000颗时，所需资金最少，最少资金是2 500 000元。
(3)①80
乙车的速度为$(480-60)÷7=60(\mathrm{km/h})$，当$x=3$时，$y_{\mathrm{乙}}=60+60×3=240$，则甲车的速度为$240÷3=80(\mathrm{km/h})$。
②1.5或4.5或6.5
对于$y_{\mathrm{甲}}=80x$，当$80x=480$时，解得$x=6$，所以$y_{\mathrm{甲}}$与$x$之间的函数关系式为$y_{\mathrm{甲}}=80x(0≤ x≤6)$，$y_{\mathrm{乙}}$与$x$之间的函数关系式为$y_{\mathrm{乙}}=60x+60(0≤ x≤7)$。当$0≤ x≤6$时，当甲、乙两车相距30 km时，得$|y_{\mathrm{乙}}-y_{\mathrm{甲}}|=30$，即$|60x+60-80x|=30$，解得$x=1.5$或$x=4.5$。当$6＜x≤7$时，当甲、乙两车相距30 km时，得$480-y_{\mathrm{乙}}=30$，即$480-(60x+60)=30$，解得$x=6.5$。所以当甲、乙两车相距30 km时，$x$的值为1.5或4.5或6.5。
根据题意，得$\begin{cases}m+2n=750,\\2m+3n=1\ 300,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=350,\\n=200.\end{cases}$
答:购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元。
(2)设购买A型芯片$a$颗，则购买B型芯片$(8\ 000-a)$颗。
根据题意，得$a≥3(8\ 000-a)$，解得$a≥6\ 000$。
设所需资金$W$元，则$W=350a+200(8\ 000-a)=150a+1\ 600\ 000$。
因为$150＞0$，所以$W$随$a$的增大而增大。
因为$a≥6\ 000$，所以当$a=6\ 000$时$W$值最小，$W_{\mathrm{最小}}=150×6\ 000+1\ 600\ 000=2\ 500\ 000$(元)。
答:当购买A型芯片6 000颗时，所需资金最少，最少资金是2 500 000元。
(3)①80
乙车的速度为$(480-60)÷7=60(\mathrm{km/h})$，当$x=3$时，$y_{\mathrm{乙}}=60+60×3=240$，则甲车的速度为$240÷3=80(\mathrm{km/h})$。
②1.5或4.5或6.5
对于$y_{\mathrm{甲}}=80x$，当$80x=480$时，解得$x=6$，所以$y_{\mathrm{甲}}$与$x$之间的函数关系式为$y_{\mathrm{甲}}=80x(0≤ x≤6)$，$y_{\mathrm{乙}}$与$x$之间的函数关系式为$y_{\mathrm{乙}}=60x+60(0≤ x≤7)$。当$0≤ x≤6$时，当甲、乙两车相距30 km时，得$|y_{\mathrm{乙}}-y_{\mathrm{甲}}|=30$，即$|60x+60-80x|=30$，解得$x=1.5$或$x=4.5$。当$6＜x≤7$时，当甲、乙两车相距30 km时，得$480-y_{\mathrm{乙}}=30$，即$480-(60x+60)=30$，解得$x=6.5$。所以当甲、乙两车相距30 km时，$x$的值为1.5或4.5或6.5。
解析
【分析】
(1) 第一问为二元一次方程组实际应用，先设A、B型芯片单价分别为m元、n元，根据题干给出的两种购买方案的总费用找到两个等量关系，列方程组求解即可得到两种芯片的单价。
(2) 第二问是一次函数最值结合不等式的应用，先设购买A型芯片a颗，表示出B型芯片数量，再根据“A型芯片数量不少于B型的3倍”列不等式求出a的取值范围；接着设总资金为W元，根据总费用的构成写出W关于a的函数关系式，结合一次函数增减性，在a的取值范围内取最小值即可得到最少资金。
(3) 第三问是一次函数行程图象问题：①求甲车速度，先根据乙的图象求出乙的速度，再利用x=3时两车相遇（路程相等）算出此时路程，除以甲的行驶时间3h即可得到甲的速度；②求两车相距30km时的x值，先分别写出甲乙路程关于x的函数解析式，注意甲到达终点后停止行驶，分两种情况讨论：甲未到终点时，两车路程差的绝对值为30，列方程求解；甲到达终点后，甲路程固定为480km，用480减乙的路程等于30，列方程求解，最后汇总所有符合条件的x值即可。
【解析】
(1) 设购买1颗A型芯片需要$m$元，购买1颗B型芯片需要$n$元。
根据题意，得$\begin{cases}m+2n=750,\\2m+3n=1300,\end{cases}$
将第一个方程乘2得$2m+4n=1500$，减去第二个方程得$n=200$，代入第一个方程解得$m=350$，即$\begin{cases}m=350,\\n=200.\end{cases}$
(2) 设购买A型芯片$a$颗，则购买B型芯片$(8000-a)$颗。
根据题意，得$a≥3(8000-a)$，
解不等式得$4a≥24000$，即$a≥6000$。
设所需资金为$W$元，则$W=350a+200(8000-a)=150a+1600000$。
$\because 150＞0$，$\therefore W$随$a$的增大而增大，
$\therefore$当$a=6000$时，$W$取得最小值，$W_{\mathrm{最小}}=150×6000+1600000=2500000$元。
(3) ① 由图象可知，乙车在甲车行驶7h后路程为480km，且甲车出发时乙车已行驶60km，
$\therefore$乙车速度为$(480-60)÷7=60\mathrm{km/h}$。
当$x=3$时两车相遇，此时乙车路程为$60+60×3=240\mathrm{km}$，即甲车3h行驶240km，
$\therefore$甲车速度为$240÷3=80\mathrm{km/h}$。
② 先求两车函数解析式：
甲车到达N地时间为$480÷80=6\mathrm{h}$，故$y_\mathrm{甲}=80x\ (0≤ x≤6)$；
乙车解析式为$y_\mathrm{乙}=60x+60\ (0≤ x≤7)$。
分情况讨论：
＜1＞ 当$0≤ x≤6$时，两车均行驶，相距30km即$|y_\mathrm{乙}-y_\mathrm{甲}|=30$，代入得$|60-20x|=30$，解得$x=1.5$或$x=4.5$，均符合范围。
＜2＞ 当$6＜x≤7$时，甲车已到终点，路程固定为480km，此时$480-y_\mathrm{乙}=30$，代入解得$x=6.5$，符合范围。
综上，$x$的值为1.5或4.5或6.5。
【答案】
(1) 购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元；
(2) 当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元；
(3) ① $\boxed{80}$；② $\boxed{1.5}$或$\boxed{4.5}$或$\boxed{6.5}$
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数实际应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合科技发展的实际背景出题，涵盖了初中代数核心的方程、不等式、一次函数知识点，既考查基础运算能力，也考查从图象提取信息、分类讨论的逻辑思维能力，第三问需要注意甲车到达终点后停止运动的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问为二元一次方程组实际应用，先设A、B型芯片单价分别为m元、n元，根据题干给出的两种购买方案的总费用找到两个等量关系，列方程组求解即可得到两种芯片的单价。
(2) 第二问是一次函数最值结合不等式的应用，先设购买A型芯片a颗，表示出B型芯片数量，再根据“A型芯片数量不少于B型的3倍”列不等式求出a的取值范围；接着设总资金为W元，根据总费用的构成写出W关于a的函数关系式，结合一次函数增减性，在a的取值范围内取最小值即可得到最少资金。
(3) 第三问是一次函数行程图象问题：①求甲车速度，先根据乙的图象求出乙的速度，再利用x=3时两车相遇（路程相等）算出此时路程，除以甲的行驶时间3h即可得到甲的速度；②求两车相距30km时的x值，先分别写出甲乙路程关于x的函数解析式，注意甲到达终点后停止行驶，分两种情况讨论：甲未到终点时，两车路程差的绝对值为30，列方程求解；甲到达终点后，甲路程固定为480km，用480减乙的路程等于30，列方程求解，最后汇总所有符合条件的x值即可。
【解析】
(1) 设购买1颗A型芯片需要$m$元，购买1颗B型芯片需要$n$元。
根据题意，得$\begin{cases}m+2n=750,\\2m+3n=1300,\end{cases}$
将第一个方程乘2得$2m+4n=1500$，减去第二个方程得$n=200$，代入第一个方程解得$m=350$，即$\begin{cases}m=350,\\n=200.\end{cases}$
(2) 设购买A型芯片$a$颗，则购买B型芯片$(8000-a)$颗。
根据题意，得$a≥3(8000-a)$，
解不等式得$4a≥24000$，即$a≥6000$。
设所需资金为$W$元，则$W=350a+200(8000-a)=150a+1600000$。
$\because 150＞0$，$\therefore W$随$a$的增大而增大，
$\therefore$当$a=6000$时，$W$取得最小值，$W_{\mathrm{最小}}=150×6000+1600000=2500000$元。
(3) ① 由图象可知，乙车在甲车行驶7h后路程为480km，且甲车出发时乙车已行驶60km，
$\therefore$乙车速度为$(480-60)÷7=60\mathrm{km/h}$。
当$x=3$时两车相遇，此时乙车路程为$60+60×3=240\mathrm{km}$，即甲车3h行驶240km，
$\therefore$甲车速度为$240÷3=80\mathrm{km/h}$。
② 先求两车函数解析式：
甲车到达N地时间为$480÷80=6\mathrm{h}$，故$y_\mathrm{甲}=80x\ (0≤ x≤6)$；
乙车解析式为$y_\mathrm{乙}=60x+60\ (0≤ x≤7)$。
分情况讨论：
＜1＞ 当$0≤ x≤6$时，两车均行驶，相距30km即$|y_\mathrm{乙}-y_\mathrm{甲}|=30$，代入得$|60-20x|=30$，解得$x=1.5$或$x=4.5$，均符合范围。
＜2＞ 当$6＜x≤7$时，甲车已到终点，路程固定为480km，此时$480-y_\mathrm{乙}=30$，代入解得$x=6.5$，符合范围。
综上，$x$的值为1.5或4.5或6.5。
【答案】
(1) 购买1颗A型芯片需要350元，购买1颗B型芯片需要200元；
(2) 当购买A型芯片6000颗时，所需资金最少，最少资金是2500000元；
(3) ① $\boxed{80}$；② $\boxed{1.5}$或$\boxed{4.5}$或$\boxed{6.5}$
【知识点】
二元一次方程组应用，一次函数实际应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合科技发展的实际背景出题，涵盖了初中代数核心的方程、不等式、一次函数知识点，既考查基础运算能力，也考查从图象提取信息、分类讨论的逻辑思维能力，第三问需要注意甲车到达终点后停止运动的隐含条件，避免漏解。
【难度系数】
0.6
