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已知一次函数 $ y_1 = (m - 1)x + 3 - m $，$ y_2 = (1 + 2n)x + n + 3 $。
【基础设施问】
(1)若一次函数 $ y_1 $ 是正比例函数，则 $ m = $ 。
(2)若点$ (1,a),(-4,b) $是一次函数 $ y_1 $ 图象上的两个点，且 $ a ＜ b $，则 $ m $ 的取值范围是 。
(3)若一次函数 $ y_1 $ 的图象不经过第二象限，则 $ m $ 的取值范围为 。
(4)一次函数 $ y_1 $ 的图象恒过点 。
(5)若一次函数 $ y_1 $ 的图象经过点$ (-3,-1) $，且与直线 $ y = tx + 5 $ 平行，则 $ t $ 的值为 。
【能力设问】
(6)若函数 $ y = mx + n $ 的图象如图1所示，则函数 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ()
A B C D
(7)当 $ n = 1 $ 时，
①一次函数 $ y_2 $ 的表达式为 ，当$ -1 ≤ x ≤ 2 $时，函数 $ y_2 $ 的最大值为 ；
②将一次函数 $ y_2 $ 的图象向上平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数图象的表达式为 ；
③一次函数 $ y_2 $ 的图象与坐标轴的交点坐标为 ，它与坐标轴围成的三角形的面积为 。
【拓展设问】
(8)如图2，函数 $ y_1 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $，函数 $ y_2 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ B $，两函数图象交于点 $ P(3,-1) $。
①关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}(m - 1)x + 3 = m + y, \\ (1 + 2n)x + 3 = y - n\end{cases}$ 的解为 ______ ；
②求关于 $ x $ 的不等式 $ (m - 1)x - m ＞ (1 + 2n)x + n $ 的解集；
③若点 $ M,N $ 分别是直线 $ x = c(0 ＜ c ＜ 3) $ 与函数 $ y_1,y_2 $ 的图象的交点，且 $ MN = \frac{1}{3}AB $，求 $ c $ 的值。
(9) 新趋势·结论开放 令 $ m = 2,n = -1 $，则一次函数 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的部分图象如图3所示，请你给这个图象配上一个合适的情境。
【基础设施问】
(1)若一次函数 $ y_1 $ 是正比例函数，则 $ m = $ 。
(2)若点$ (1,a),(-4,b) $是一次函数 $ y_1 $ 图象上的两个点，且 $ a ＜ b $，则 $ m $ 的取值范围是 。
(3)若一次函数 $ y_1 $ 的图象不经过第二象限，则 $ m $ 的取值范围为 。
(4)一次函数 $ y_1 $ 的图象恒过点 。
(5)若一次函数 $ y_1 $ 的图象经过点$ (-3,-1) $，且与直线 $ y = tx + 5 $ 平行，则 $ t $ 的值为 。
【能力设问】
(6)若函数 $ y = mx + n $ 的图象如图1所示，则函数 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ()
A B C D
(7)当 $ n = 1 $ 时，
①一次函数 $ y_2 $ 的表达式为 ，当$ -1 ≤ x ≤ 2 $时，函数 $ y_2 $ 的最大值为 ；
②将一次函数 $ y_2 $ 的图象向上平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的函数图象的表达式为 ；
③一次函数 $ y_2 $ 的图象与坐标轴的交点坐标为 ，它与坐标轴围成的三角形的面积为 。
【拓展设问】
(8)如图2，函数 $ y_1 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ A $，函数 $ y_2 $ 的图象与 $ y $ 轴交于点 $ B $，两函数图象交于点 $ P(3,-1) $。
①关于 $ x,y $ 的方程组 $ \begin{cases}(m - 1)x + 3 = m + y, \\ (1 + 2n)x + 3 = y - n\end{cases}$ 的解为 ______ ；
②求关于 $ x $ 的不等式 $ (m - 1)x - m ＞ (1 + 2n)x + n $ 的解集；
③若点 $ M,N $ 分别是直线 $ x = c(0 ＜ c ＜ 3) $ 与函数 $ y_1,y_2 $ 的图象的交点，且 $ MN = \frac{1}{3}AB $，求 $ c $ 的值。
(9) 新趋势·结论开放 令 $ m = 2,n = -1 $，则一次函数 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的部分图象如图3所示，请你给这个图象配上一个合适的情境。
答案
(1)3
(2)$m ＜ 1$ 由题意，得$y_1$随$x$的增大而减小，所以$m-1＜0$，所以$m＜1$。
(3)$m≥ 3$ 由题意，得一次函数$y_1$的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限，所以$m-1＞0,3-m≤0$，解得$m≥3$。
(4)$(1,2)$ 对于$y_1=(m-1)x+3-m$，整理得$m(x-1)=y_1+x-3$，易知$m$是不等于1的任意常数，所以$x-1=0,y_1+x-3=0$，解得$x=1,y_1=2$，所以一次函数$y_1$的图象恒过点$(1,2)$。
(5)$\dfrac{3}{4}$ 因为一次函数$y_1$的图象经过点$(-3,-1)$，所以$(m-1)×(-3)+3-m=-1$，解得$m=\dfrac{7}{4}$。因为一次函数$y_1$的图象与直线$y=tx+5$平行，所以$t=m-1=\dfrac{7}{4}-1=\dfrac{3}{4}$。
(6)B 由题图1可知，$m＜0,n＞0$，则$m-1＜0,3-m＞0$，$1+2n＞0,n+3＞0$，所以一次函数$y_1$的图象经过第一、二、四象限，一次函数$y_2$的图象经过第一、二、三象限，结合选项知B符合题意。
(7)①$y_2=3x+4$ $10$
当$n=1$时，一次函数$y_2=3x+4$。因为$3＞0$，所以$y_2$随$x$的增大而增大，当$x=2$时，$y_2$取得最大值，为10。
②$y=3x+3$
经过题中所述的平移后，得到的函数图象的表达式为$y=3x+4+2-3$，即$y=3x+3$。
③$(-\dfrac{4}{3},0),(0,4)$ $\dfrac{8}{3}$ 令$y_2=0$，得$x=-\dfrac{4}{3}$，令$x=0$，得$y_2=4$，故函数$y_2$的图象与$x$轴的交点坐标为$(-\dfrac{4}{3},0)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$，所以函数$y_2$的图象与坐标轴围成的三角形的面积为$\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$。
(8)①$\begin{cases}x=3,\\y=-1\end{cases}$
②$(m-1)x - m ＞ (1 + 2n)x + n$可化为$(m-1)x+3-m ＞ (1+2n)x+3+n$。
结合题图2，可知当$x＜3$时，函数$y_1$的图象在函数$y_2$的图象的上方，所以关于$x$的不等式$(m-1)x - m ＞ (1 + 2n)x + n$的解集为$x＜3$。
③将$(3,-1)$代入$y_1$的表达式中，得$3(m-1)+3-m=-1$，解得$m=-\dfrac{1}{2}$，所以$y_1=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{7}{2}$。
同理，可得$n=-1$，所以$y_2=-x+2$。
令$x=0$，得$y_A=\dfrac{7}{2},y_B=2$，所以$AB=\dfrac{7}{2}-2=\dfrac{3}{2}$。
令$x=c(0＜c＜3)$，得$y_M=\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{2}c$，$y_N=2-c$。
由题图2可知，当$0＜x＜3$时，$y_1＞y_2$，所以$y_M＞y_N$，所以$MN=(\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{2}c)-(2-c)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}c$。
因为$MN=\dfrac{1}{3}AB$，所以$\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}c=\dfrac{1}{3}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}$，解得$c=2$，即$c$的值为2。
(9)答案略。(答案不唯一，合理即可)
(2)$m ＜ 1$ 由题意，得$y_1$随$x$的增大而减小，所以$m-1＜0$，所以$m＜1$。
(3)$m≥ 3$ 由题意，得一次函数$y_1$的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限，所以$m-1＞0,3-m≤0$，解得$m≥3$。
(4)$(1,2)$ 对于$y_1=(m-1)x+3-m$，整理得$m(x-1)=y_1+x-3$，易知$m$是不等于1的任意常数，所以$x-1=0,y_1+x-3=0$，解得$x=1,y_1=2$，所以一次函数$y_1$的图象恒过点$(1,2)$。
(5)$\dfrac{3}{4}$ 因为一次函数$y_1$的图象经过点$(-3,-1)$，所以$(m-1)×(-3)+3-m=-1$，解得$m=\dfrac{7}{4}$。因为一次函数$y_1$的图象与直线$y=tx+5$平行，所以$t=m-1=\dfrac{7}{4}-1=\dfrac{3}{4}$。
(6)B 由题图1可知，$m＜0,n＞0$，则$m-1＜0,3-m＞0$，$1+2n＞0,n+3＞0$，所以一次函数$y_1$的图象经过第一、二、四象限，一次函数$y_2$的图象经过第一、二、三象限，结合选项知B符合题意。
(7)①$y_2=3x+4$ $10$
当$n=1$时，一次函数$y_2=3x+4$。因为$3＞0$，所以$y_2$随$x$的增大而增大，当$x=2$时，$y_2$取得最大值，为10。
②$y=3x+3$
经过题中所述的平移后，得到的函数图象的表达式为$y=3x+4+2-3$，即$y=3x+3$。
③$(-\dfrac{4}{3},0),(0,4)$ $\dfrac{8}{3}$ 令$y_2=0$，得$x=-\dfrac{4}{3}$，令$x=0$，得$y_2=4$，故函数$y_2$的图象与$x$轴的交点坐标为$(-\dfrac{4}{3},0)$，与$y$轴的交点坐标为$(0,4)$，所以函数$y_2$的图象与坐标轴围成的三角形的面积为$\dfrac{1}{2}×4×\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}$。
(8)①$\begin{cases}x=3,\\y=-1\end{cases}$
②$(m-1)x - m ＞ (1 + 2n)x + n$可化为$(m-1)x+3-m ＞ (1+2n)x+3+n$。
结合题图2，可知当$x＜3$时，函数$y_1$的图象在函数$y_2$的图象的上方，所以关于$x$的不等式$(m-1)x - m ＞ (1 + 2n)x + n$的解集为$x＜3$。
③将$(3,-1)$代入$y_1$的表达式中，得$3(m-1)+3-m=-1$，解得$m=-\dfrac{1}{2}$，所以$y_1=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{7}{2}$。
同理，可得$n=-1$，所以$y_2=-x+2$。
令$x=0$，得$y_A=\dfrac{7}{2},y_B=2$，所以$AB=\dfrac{7}{2}-2=\dfrac{3}{2}$。
令$x=c(0＜c＜3)$，得$y_M=\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{2}c$，$y_N=2-c$。
由题图2可知，当$0＜x＜3$时，$y_1＞y_2$，所以$y_M＞y_N$，所以$MN=(\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{2}c)-(2-c)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}c$。
因为$MN=\dfrac{1}{3}AB$，所以$\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}c=\dfrac{1}{3}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}$，解得$c=2$，即$c$的值为2。
(9)答案略。(答案不唯一，合理即可)
解析
【分析】
本题围绕一次函数相关知识点分层考查，解题时可对应考点调用相关性质求解：
1. 正比例函数需满足“一次项系数不为0、常数项为0”，据此列条件求m；
2. 一次函数增减性由一次项系数k决定，k＜0时y随x增大而减小，结合“x大的点对应y值更小”列不等式求解；
3. 一次函数图象不经过第二象限，需满足k＞0（过一、三象限）、b≤0（不向上翘到第二象限），列不等式组求解；
4. 求恒过定点即找与参数m无关的点，将解析式整理为含m项和不含m项，令m的系数为0即可求出定点；
5. 先将已知点代入y₁求m，再根据“两平行直线一次项系数相等”求t；
6. 先根据y=mx+n的图象判断m、n正负，再分别推导y₁、y₂的k、b符号，匹配图象所在象限即可选对选项；
7. n=1代入得y₂解析式，根据增减性求给定区间的最值；平移按“上加下减常数项”规则计算；分别令x=0、y=0求与坐标轴交点，再用三角形面积公式计算面积；
8. ①两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解；②将不等式变形为y₁＞y₂的形式，结合图象看y₁在y₂上方时x的取值范围；③先将交点P代入两个解析式求m、n，再求A、B坐标得AB长度，再表示出M、N的纵坐标，根据MN长度列方程求c；
9. 结合两个函数的增减性、交点等信息编写合理情境即可。
【解析】
(1) 正比例函数需满足$\begin{cases}m-1≠0 \\ 3-m=0\end{cases}$，解得$m=3$；
(2) 已知$1＞-4$且$a＜b$，说明$y_1$随$x$增大而减小，故$m-1＜0$，解得$m＜1$；
(3) $y_1$图象不经过第二象限，需满足$\begin{cases}m-1＞0 \\ 3-m≤0\end{cases}$，解得$m≥3$；
(4) 将$y_1=(m-1)x+3-m$整理为$m(x-1)=y_1+x-3$，因定点与m无关，故$\begin{cases}x-1=0 \\ y_1+x-3=0\end{cases}$，解得$x=1,y_1=2$，即恒过点$(1,2)$；
(5) 将$(-3,-1)$代入$y_1$得：$-3(m-1)+3-m=-1$，解得$m=\frac{7}{4}$，两直线平行则一次项系数相等，故$t=m-1=\frac{7}{4}-1=\frac{3}{4}$；
(6) 由$y=mx+n$图象过一、二、四象限得$m＜0,n＞0$，故$y_1$的$m-1＜0,3-m＞0$，图象过一、二、四象限；$y_2$的$1+2n＞0,n+3＞0$，图象过一、二、三象限，匹配得选项B正确；
(7) ①$n=1$时，$y_2=(1+2×1)x+1+3=3x+4$，因$k=3＞0$，$y_2$随$x$增大而增大，故$x=2$时取最大值，最大值为$3×2+4=10$；
② 按平移规则，新解析式为$y=3x+4+2-3=3x+3$；
③ 令$y_2=0$得$x=-\frac{4}{3}$，即与x轴交点为$(-\frac{4}{3},0)$；令$x=0$得$y_2=4$，即与y轴交点为$(0,4)$；围成三角形面积为$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×4=\frac{8}{3}$；
(8) ① 两函数交点坐标就是对应方程组的解，故解为$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$；
② 不等式变形为$(m-1)x+3-m ＞ (1+2n)x+n+3$，即$y_1＞y_2$，结合图象得$x＜3$时$y_1$在$y_2$上方，故解集为$x＜3$；
③ 将$P(3,-1)$代入$y_1$得$3(m-1)+3-m=-1$，解得$m=-\frac{1}{2}$，故$y_1=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$；将$P$代入$y_2$得$3(1+2n)+n+3=-1$，解得$n=-1$，故$y_2=-x+2$；令$x=0$得$A(0,\frac{7}{2}),B(0,2)$，故$AB=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$；$x=c$时，$y_M=-\frac{3}{2}c+\frac{7}{2},y_N=-c+2$，由$0＜c＜3$时$y_1＞y_2$，得$MN=(-\frac{3}{2}c+\frac{7}{2})-(-c+2)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}c$，代入$MN=\frac{1}{3}AB$得$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}$，解得$c=2$；
(9) 答案不唯一，合理即可，示例：小明和小红分别从离家2.5km和2km的位置沿同一路线步行回家，小明速度为1.5km/h，小红速度为1km/h，出发x小时后两人离家的距离分别为$y_1、y_2$千米，出发3小时后两人在距家1km的位置相遇。
【答案】
(1) $3$
(2) $m ＜ 1$
(3) $m ≥ 3$
(4) $(1,2)$
(5) $\dfrac{3}{4}$
(6) $\mathrm{B}$
(7) ① $y_2=3x+4$；$10$ ② $y=3x+3$ ③ $(-\dfrac{4}{3},0),(0,4)$；$\dfrac{8}{3}$
(8) ① $\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$ ② $x＜3$ ③ $c=2$
(9) 答案不唯一，合理即可
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数与方程（组）不等式的关系，一次函数平移规律
【点评】
本题梯度设置清晰，从基础概念到综合应用逐层递进，全面覆盖一次函数核心考点，既考查对基础知识点的掌握程度，也考查结合图象分析问题、解决综合问题的能力。
【难度系数】
0.65
本题围绕一次函数相关知识点分层考查，解题时可对应考点调用相关性质求解：
1. 正比例函数需满足“一次项系数不为0、常数项为0”，据此列条件求m；
2. 一次函数增减性由一次项系数k决定，k＜0时y随x增大而减小，结合“x大的点对应y值更小”列不等式求解；
3. 一次函数图象不经过第二象限，需满足k＞0（过一、三象限）、b≤0（不向上翘到第二象限），列不等式组求解；
4. 求恒过定点即找与参数m无关的点，将解析式整理为含m项和不含m项，令m的系数为0即可求出定点；
5. 先将已知点代入y₁求m，再根据“两平行直线一次项系数相等”求t；
6. 先根据y=mx+n的图象判断m、n正负，再分别推导y₁、y₂的k、b符号，匹配图象所在象限即可选对选项；
7. n=1代入得y₂解析式，根据增减性求给定区间的最值；平移按“上加下减常数项”规则计算；分别令x=0、y=0求与坐标轴交点，再用三角形面积公式计算面积；
8. ①两个一次函数的交点坐标就是对应二元一次方程组的解；②将不等式变形为y₁＞y₂的形式，结合图象看y₁在y₂上方时x的取值范围；③先将交点P代入两个解析式求m、n，再求A、B坐标得AB长度，再表示出M、N的纵坐标，根据MN长度列方程求c；
9. 结合两个函数的增减性、交点等信息编写合理情境即可。
【解析】
(1) 正比例函数需满足$\begin{cases}m-1≠0 \\ 3-m=0\end{cases}$，解得$m=3$；
(2) 已知$1＞-4$且$a＜b$，说明$y_1$随$x$增大而减小，故$m-1＜0$，解得$m＜1$；
(3) $y_1$图象不经过第二象限，需满足$\begin{cases}m-1＞0 \\ 3-m≤0\end{cases}$，解得$m≥3$；
(4) 将$y_1=(m-1)x+3-m$整理为$m(x-1)=y_1+x-3$，因定点与m无关，故$\begin{cases}x-1=0 \\ y_1+x-3=0\end{cases}$，解得$x=1,y_1=2$，即恒过点$(1,2)$；
(5) 将$(-3,-1)$代入$y_1$得：$-3(m-1)+3-m=-1$，解得$m=\frac{7}{4}$，两直线平行则一次项系数相等，故$t=m-1=\frac{7}{4}-1=\frac{3}{4}$；
(6) 由$y=mx+n$图象过一、二、四象限得$m＜0,n＞0$，故$y_1$的$m-1＜0,3-m＞0$，图象过一、二、四象限；$y_2$的$1+2n＞0,n+3＞0$，图象过一、二、三象限，匹配得选项B正确；
(7) ①$n=1$时，$y_2=(1+2×1)x+1+3=3x+4$，因$k=3＞0$，$y_2$随$x$增大而增大，故$x=2$时取最大值，最大值为$3×2+4=10$；
② 按平移规则，新解析式为$y=3x+4+2-3=3x+3$；
③ 令$y_2=0$得$x=-\frac{4}{3}$，即与x轴交点为$(-\frac{4}{3},0)$；令$x=0$得$y_2=4$，即与y轴交点为$(0,4)$；围成三角形面积为$\frac{1}{2}×\frac{4}{3}×4=\frac{8}{3}$；
(8) ① 两函数交点坐标就是对应方程组的解，故解为$\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$；
② 不等式变形为$(m-1)x+3-m ＞ (1+2n)x+n+3$，即$y_1＞y_2$，结合图象得$x＜3$时$y_1$在$y_2$上方，故解集为$x＜3$；
③ 将$P(3,-1)$代入$y_1$得$3(m-1)+3-m=-1$，解得$m=-\frac{1}{2}$，故$y_1=-\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}$；将$P$代入$y_2$得$3(1+2n)+n+3=-1$，解得$n=-1$，故$y_2=-x+2$；令$x=0$得$A(0,\frac{7}{2}),B(0,2)$，故$AB=\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}$；$x=c$时，$y_M=-\frac{3}{2}c+\frac{7}{2},y_N=-c+2$，由$0＜c＜3$时$y_1＞y_2$，得$MN=(-\frac{3}{2}c+\frac{7}{2})-(-c+2)=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}c$，代入$MN=\frac{1}{3}AB$得$\frac{3}{2}-\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}$，解得$c=2$；
(9) 答案不唯一，合理即可，示例：小明和小红分别从离家2.5km和2km的位置沿同一路线步行回家，小明速度为1.5km/h，小红速度为1km/h，出发x小时后两人离家的距离分别为$y_1、y_2$千米，出发3小时后两人在距家1km的位置相遇。
【答案】
(1) $3$
(2) $m ＜ 1$
(3) $m ≥ 3$
(4) $(1,2)$
(5) $\dfrac{3}{4}$
(6) $\mathrm{B}$
(7) ① $y_2=3x+4$；$10$ ② $y=3x+3$ ③ $(-\dfrac{4}{3},0),(0,4)$；$\dfrac{8}{3}$
(8) ① $\begin{cases}x=3 \\ y=-1\end{cases}$ ② $x＜3$ ③ $c=2$
(9) 答案不唯一，合理即可
【知识点】
一次函数的图象与性质，一次函数与方程（组）不等式的关系，一次函数平移规律
【点评】
本题梯度设置清晰，从基础概念到综合应用逐层递进，全面覆盖一次函数核心考点，既考查对基础知识点的掌握程度，也考查结合图象分析问题、解决综合问题的能力。
【难度系数】
0.65
