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7. 如图,直线 $ l_1: y = x + 5 $ 分别交 y 轴、x 轴于点 A,B,直线 $ l_2: y = -\frac{1}{2}x - 1 $ 分别交 y 轴、x 轴于点 C,D,直线 $ l_1,l_2 $ 相交于点 P.
(1) 方程组 $ \begin{cases}y = x + 5, \\ y = -\frac{1}{2}x - 1\end{cases}$ 的解是 ______ .
(2) 求直线 $ l_1,l_2 $ 与 y 轴围成的三角形面积.
(3) 过点 P 的直线把三角形 PAC 的面积二等分,求这条直线的表达式.
(1) 方程组 $ \begin{cases}y = x + 5, \\ y = -\frac{1}{2}x - 1\end{cases}$ 的解是 ______ .
(2) 求直线 $ l_1,l_2 $ 与 y 轴围成的三角形面积.
(3) 过点 P 的直线把三角形 PAC 的面积二等分,求这条直线的表达式.
答案
(1)$ \begin{cases}x = -4,\\y = 1\end{cases} $
(2)由题图可知,$ A(0,5) $,$ C(0,-1) $,$ P(-4,1) $,所以直线$ l_1 $,$ l_2 $与y轴围成的三角形面积为$ \frac{1}{2}×[5-(-1)]×4=12 $。
(3)因为过点P的直线把三角形PAC的面积二等分,所以该直线必过AC的中点$ (0,\frac{-1+5}{2}) $,即$ (0,2) $。设过点P且把三角形PAC面积二等分的直线的表达式为$ y=kx+b $,把点$ (-4,1) $,$ (0,2) $代入,得$ \begin{cases}-4k+b=1,\\b=2,\end{cases} $解得$ \begin{cases}k=\frac{1}{4},\\b=2,\end{cases} $所以这条直线的表达式为$ y=\frac{1}{4}x+2 $。
(2)由题图可知,$ A(0,5) $,$ C(0,-1) $,$ P(-4,1) $,所以直线$ l_1 $,$ l_2 $与y轴围成的三角形面积为$ \frac{1}{2}×[5-(-1)]×4=12 $。
(3)因为过点P的直线把三角形PAC的面积二等分,所以该直线必过AC的中点$ (0,\frac{-1+5}{2}) $,即$ (0,2) $。设过点P且把三角形PAC面积二等分的直线的表达式为$ y=kx+b $,把点$ (-4,1) $,$ (0,2) $代入,得$ \begin{cases}-4k+b=1,\\b=2,\end{cases} $解得$ \begin{cases}k=\frac{1}{4},\\b=2,\end{cases} $所以这条直线的表达式为$ y=\frac{1}{4}x+2 $。
解析
【分析】
(1) 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，因此既可以通过直接解方程组得到结果，也可以通过找两直线交点坐标得到方程组的解。
(2) 求直线$l_1,l_2$与y轴围成的三角形面积，首先确定三角形的三个顶点：$l_1$与y轴交点A、$l_2$与y轴交点C、两直线交点P。先求出A、C的坐标得到AC的长度，再以AC为底，点P到y轴的水平距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 过点P平分△PAC的面积，根据“等底同高的三角形面积相等”，可知这条直线需经过AC的中点，得到中点坐标后，用待定系数法代入点P和中点坐标，即可求出直线表达式。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}y = x + 5 \\ y = -\frac{1}{2}x - 1\end{cases}$，将$y = x + 5$代入第二个方程得：$x+5=-\frac{1}{2}x-1$，移项合并得$\frac{3}{2}x=-6$，解得$x=-4$，代入$y=x+5$得$y=1$，即方程组的解为$\begin{cases}x=-4 \\ y=1\end{cases}$。
(2) 对于$l_1:y=x+5$，令$x=0$得$y=5$，即$A(0,5)$；对于$l_2:y=-\frac{1}{2}x-1$，令$x=0$得$y=-1$，即$C(0,-1)$，两直线交点$P(-4,1)$。
AC的长度为$5-(-1)=6$，点P到y轴的距离为$|-4|=4$，因此三角形面积为$\frac{1}{2}×6×4=12$。
(3) 要平分△PAC的面积，直线需过AC的中点，AC中点坐标为$(0,\frac{5+(-1)}{2})$，即$(0,2)$。
设所求直线表达式为$y=kx+b$，代入$P(-4,1)$和$(0,2)$得：
$\begin{cases}-4k+b=1 \\ b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{4} \\ b=2\end{cases}$，因此直线表达式为$y=\frac{1}{4}x+2$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x = -4\\y = 1\end{cases}$
(2)$12$
(3)$y=\frac{1}{4}x + 2$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；三角形面积计算；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数综合基础题，将函数图象、方程、面积计算相结合，解题核心是理解一次函数交点与方程组解的对应关系，掌握等分三角形面积的常用方法，熟练运用待定系数法求解函数解析式。
【难度系数】
0.7
(1) 二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，因此既可以通过直接解方程组得到结果，也可以通过找两直线交点坐标得到方程组的解。
(2) 求直线$l_1,l_2$与y轴围成的三角形面积，首先确定三角形的三个顶点：$l_1$与y轴交点A、$l_2$与y轴交点C、两直线交点P。先求出A、C的坐标得到AC的长度，再以AC为底，点P到y轴的水平距离为高，代入三角形面积公式计算即可。
(3) 过点P平分△PAC的面积，根据“等底同高的三角形面积相等”，可知这条直线需经过AC的中点，得到中点坐标后，用待定系数法代入点P和中点坐标，即可求出直线表达式。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}y = x + 5 \\ y = -\frac{1}{2}x - 1\end{cases}$，将$y = x + 5$代入第二个方程得：$x+5=-\frac{1}{2}x-1$，移项合并得$\frac{3}{2}x=-6$，解得$x=-4$，代入$y=x+5$得$y=1$，即方程组的解为$\begin{cases}x=-4 \\ y=1\end{cases}$。
(2) 对于$l_1:y=x+5$，令$x=0$得$y=5$，即$A(0,5)$；对于$l_2:y=-\frac{1}{2}x-1$，令$x=0$得$y=-1$，即$C(0,-1)$，两直线交点$P(-4,1)$。
AC的长度为$5-(-1)=6$，点P到y轴的距离为$|-4|=4$，因此三角形面积为$\frac{1}{2}×6×4=12$。
(3) 要平分△PAC的面积，直线需过AC的中点，AC中点坐标为$(0,\frac{5+(-1)}{2})$，即$(0,2)$。
设所求直线表达式为$y=kx+b$，代入$P(-4,1)$和$(0,2)$得：
$\begin{cases}-4k+b=1 \\ b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{1}{4} \\ b=2\end{cases}$，因此直线表达式为$y=\frac{1}{4}x+2$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x = -4\\y = 1\end{cases}$
(2)$12$
(3)$y=\frac{1}{4}x + 2$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组；三角形面积计算；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数综合基础题，将函数图象、方程、面积计算相结合，解题核心是理解一次函数交点与方程组解的对应关系，掌握等分三角形面积的常用方法，熟练运用待定系数法求解函数解析式。
【难度系数】
0.7
8. [2026宿州段考]已知直线 $ l_1: y = mx - 3m(m ≠ 0) $ 与x轴、y轴分别交于点A，B，直线 $ l_2: y = -\frac{4}{3}x + 4 $ 与y轴交于点C.
(1)如图1，若 $ S_{\mathrm{三角形}AOB} = 6 $，求A，B两点的坐标.
(2)在(1)的条件下，如图2，直线 $ l_2 $ 上是否存在点P使得 $ S_{\mathrm{三角形}AOB} = S_{\mathrm{三角形}APB} $？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
(1)如图1，若 $ S_{\mathrm{三角形}AOB} = 6 $，求A，B两点的坐标.
(2)在(1)的条件下，如图2，直线 $ l_2 $ 上是否存在点P使得 $ S_{\mathrm{三角形}AOB} = S_{\mathrm{三角形}APB} $？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
答案
(1)因为直线$ y=mx-3m $与x轴、y轴分别交于点A,B,所以$ A(3,0) $,$ B(0,-3m) $,所以$ OA=3 $,$ OB=3m $。因为$ S_{\mathrm{三角形}AOB}=6 $,所以$ \frac{1}{2}×3×3m=6 $,解得$ m=\frac{4}{3} $,所以$ B(0,-4) $。
(2)存在。因为直线$ y=-\frac{4}{3}x+4 $与y轴交于点C,所以$ C(0,4) $,所以$ BC=8 $。设点$ P(a,-\frac{4}{3}a+4) $,
当点P在线段AC上时,因为$ S_{\mathrm{三角形}APB}=S_{\mathrm{三角形}ABC}-S_{\mathrm{三角形}BCP} $,所以$ 6=\frac{1}{2}×8×3-\frac{1}{2}×8· a $,所以$ a=\frac{3}{2} $,所以点$ P(\frac{3}{2},2) $。
当点P在射线CA(不包括线段AC)上时,因为$ S_{\mathrm{三角形}APB}=S_{\mathrm{三角形}BCP}-S_{\mathrm{三角形}ABC} $,所以$ 6=\frac{1}{2}×8· a-\frac{1}{2}×8×3 $,所以$ a=\frac{9}{2} $,所以点$ P(\frac{9}{2},-2) $。
综上,点P的坐标为$ (\frac{3}{2},2) $或$ (\frac{9}{2},-2) $。
(2)存在。因为直线$ y=-\frac{4}{3}x+4 $与y轴交于点C,所以$ C(0,4) $,所以$ BC=8 $。设点$ P(a,-\frac{4}{3}a+4) $,
当点P在线段AC上时,因为$ S_{\mathrm{三角形}APB}=S_{\mathrm{三角形}ABC}-S_{\mathrm{三角形}BCP} $,所以$ 6=\frac{1}{2}×8×3-\frac{1}{2}×8· a $,所以$ a=\frac{3}{2} $,所以点$ P(\frac{3}{2},2) $。
当点P在射线CA(不包括线段AC)上时,因为$ S_{\mathrm{三角形}APB}=S_{\mathrm{三角形}BCP}-S_{\mathrm{三角形}ABC} $,所以$ 6=\frac{1}{2}×8· a-\frac{1}{2}×8×3 $,所以$ a=\frac{9}{2} $,所以点$ P(\frac{9}{2},-2) $。
综上,点P的坐标为$ (\frac{3}{2},2) $或$ (\frac{9}{2},-2) $。
解析
【分析】
(1) 求解一次函数与坐标轴的交点时，与x轴交点令y=0计算x的值，与y轴交点令x=0计算y的值，据此先得到A点坐标，再用含m的式子表示B点坐标；△AOB是直角三角形，结合其面积公式列方程求出m的值，即可得到B点坐标。
(2) 先求出直线$l_2$与y轴交点C的坐标，得到BC的长度；要使$S_{△ APB}=S_{△ AOB}=6$，可利用割补法将△APB的面积转化为以BC为底的两个三角形的面积差，分点P在线段AC上、点P在射线CA（不在线段AC上）两种情况讨论，分别列方程求出P点的横坐标，再代入$l_2$的解析式求出纵坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$l_1: y = mx - 3m(m ≠ 0)$：
令$y=0$，得$mx-3m=0$，因为$m≠0$，解得$x=3$，所以$A(3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，得$y=-3m$，所以$B(0,-3m)$，由图像可知$m＞0$，故$OB=3m$。
已知$S_{△ AOB}=6$，根据直角三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × OA × OB = 6$，代入得$\frac{1}{2} × 3 × 3m = 6$，
解得$m=\frac{4}{3}$，所以$B$点纵坐标为$-3×\frac{4}{3}=-4$，即$B(0,-4)$。
(2) 存在符合条件的点P，求解如下：
对于直线$l_2: y=-\frac{4}{3}x + 4$，令$x=0$，得$y=4$，所以$C(0,4)$，则$BC=4 - (-4)=8$。
设点$P$的坐标为$(a, -\frac{4}{3}a + 4)$，分两种情况讨论：
① 当点$P$在线段$AC$上时，$S_{△ APB}=S_{△ ABC} - S_{△ BCP}$，
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × OA = \frac{1}{2} ×8×3=12$，$S_{△ BCP}=\frac{1}{2} × BC × a = 4a$，
代入$S_{△ APB}=6$得：$12 -4a=6$，解得$a=\frac{3}{2}$，
代入$l_2$解析式得$y=-\frac{4}{3}×\frac{3}{2}+4=2$，此时$P(\frac{3}{2},2)$。
② 当点$P$在射线$CA$（不包括线段$AC$）上时，$S_{△ APB}=S_{△ BCP} - S_{△ ABC}$，
代入得：$4a -12=6$，解得$a=\frac{9}{2}$，
代入$l_2$解析式得$y=-\frac{4}{3}×\frac{9}{2}+4=-2$，此时$P(\frac{9}{2},-2)$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(0,-4)$；
(2) 存在，点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},2)$或$(\frac{9}{2},-2)$。
【知识点】
一次函数交点求解，割补法求面积，一次函数与几何综合
【点评】
本题是一次函数与三角形面积结合的典型题型，既考查了一次函数坐标轴交点的基础求解方法，也需要结合割补法转化面积，解题时要注意分类讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 求解一次函数与坐标轴的交点时，与x轴交点令y=0计算x的值，与y轴交点令x=0计算y的值，据此先得到A点坐标，再用含m的式子表示B点坐标；△AOB是直角三角形，结合其面积公式列方程求出m的值，即可得到B点坐标。
(2) 先求出直线$l_2$与y轴交点C的坐标，得到BC的长度；要使$S_{△ APB}=S_{△ AOB}=6$，可利用割补法将△APB的面积转化为以BC为底的两个三角形的面积差，分点P在线段AC上、点P在射线CA（不在线段AC上）两种情况讨论，分别列方程求出P点的横坐标，再代入$l_2$的解析式求出纵坐标即可。
【解析】
(1) 对于直线$l_1: y = mx - 3m(m ≠ 0)$：
令$y=0$，得$mx-3m=0$，因为$m≠0$，解得$x=3$，所以$A(3,0)$，$OA=3$；
令$x=0$，得$y=-3m$，所以$B(0,-3m)$，由图像可知$m＞0$，故$OB=3m$。
已知$S_{△ AOB}=6$，根据直角三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × OA × OB = 6$，代入得$\frac{1}{2} × 3 × 3m = 6$，
解得$m=\frac{4}{3}$，所以$B$点纵坐标为$-3×\frac{4}{3}=-4$，即$B(0,-4)$。
(2) 存在符合条件的点P，求解如下：
对于直线$l_2: y=-\frac{4}{3}x + 4$，令$x=0$，得$y=4$，所以$C(0,4)$，则$BC=4 - (-4)=8$。
设点$P$的坐标为$(a, -\frac{4}{3}a + 4)$，分两种情况讨论：
① 当点$P$在线段$AC$上时，$S_{△ APB}=S_{△ ABC} - S_{△ BCP}$，
其中$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × OA = \frac{1}{2} ×8×3=12$，$S_{△ BCP}=\frac{1}{2} × BC × a = 4a$，
代入$S_{△ APB}=6$得：$12 -4a=6$，解得$a=\frac{3}{2}$，
代入$l_2$解析式得$y=-\frac{4}{3}×\frac{3}{2}+4=2$，此时$P(\frac{3}{2},2)$。
② 当点$P$在射线$CA$（不包括线段$AC$）上时，$S_{△ APB}=S_{△ BCP} - S_{△ ABC}$，
代入得：$4a -12=6$，解得$a=\frac{9}{2}$，
代入$l_2$解析式得$y=-\frac{4}{3}×\frac{9}{2}+4=-2$，此时$P(\frac{9}{2},-2)$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(0,-4)$；
(2) 存在，点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},2)$或$(\frac{9}{2},-2)$。
【知识点】
一次函数交点求解，割补法求面积，一次函数与几何综合
【点评】
本题是一次函数与三角形面积结合的典型题型，既考查了一次函数坐标轴交点的基础求解方法，也需要结合割补法转化面积，解题时要注意分类讨论点的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
9. [2025崇左期末]学完第11章《平面直角坐标系》和第12章《函数与一次函数》后，老师布置了这样一道思考题:如图,在长方形ABCD中,BC=4,AB=2,点E为AD的中点,BD和CE相交于点P. 求三角形BPC的面积.
小明同学应用所学知识,顺利地解决了此题,他的思路是这样的:
建立适当的平面直角坐标系,写出图中一些点的坐标,根据一次函数的相关知识求出点P的坐标,从而可求得三角形BPC的面积.
请你按照小明的思路解决这道思考题.
小明同学应用所学知识,顺利地解决了此题,他的思路是这样的:
建立适当的平面直角坐标系,写出图中一些点的坐标,根据一次函数的相关知识求出点P的坐标,从而可求得三角形BPC的面积.
请你按照小明的思路解决这道思考题.
答案
建立的平面直角坐标系如图
所示,则$ B(0,0) $,$ C(4,0) $,$ A(0,2) $,$ D(4,2) $,$ E(2,2) $。设直线BD对应的函数表达式为$ y=kx+b(k≠0) $。将点B的坐标$ (0,0) $,点D的坐标$ (4,2) $分别代入$ y=kx+b $,得$ \begin{cases}b=0,\\4k+b=2,\end{cases} $解得$ \begin{cases}k=\frac{1}{2},\\b=0,\end{cases} $所以直线BD对应的函数表达式为$ y=\frac{1}{2}x $。设直线CE对应的函数表达式为$ y=mx+n(m≠0) $。将点C的坐标$ (4,0) $,点E的坐标$ (2,2) $分别代入$ y=mx+n $,得$ \begin{cases}4m+n=0,\\2m+n=2,\end{cases} $解得$ \begin{cases}m=-1,\\n=4,\end{cases} $所以直线CE对应的函数表达式为$ y=-x+4 $。联立直线BD,CE对应的函数表达式,得$ \begin{cases}y=\frac{1}{2}x,\\y=-x+4,\end{cases} $解得$ \begin{cases}x=\frac{8}{3},\\y=\frac{4}{3},\end{cases} $所以点P的坐标为$ (\frac{8}{3},\frac{4}{3}) $,所以$ S_{\mathrm{三角形}BPC}=\frac{1}{2}BC· y_P=\frac{1}{2}×4×\frac{4}{3}=\frac{8}{3} $。解析
【分析】
我们可通过数形结合思想将几何问题转化为代数问题求解：第一步以B为原点建立平面直角坐标系，结合长方形的边长和E是AD中点的条件，写出各点坐标；第二步用待定系数法分别求出直线BD、CE的一次函数解析式；第三步联立两个解析式解方程组，得到交点P的坐标；第四步观察△BPC的特征，底BC在x轴上长度已知，高为P点的纵坐标，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
建立平面直角坐标系如图所示，则$ B(0,0) $,$ C(4,0) $,$ A(0,2) $,$ D(4,2) $，因E为AD中点，故$ E(2,2) $。
1. 求直线BD的函数表达式：
设直线BD对应的函数表达式为$ y=kx+b(k≠0) $，将$ B(0,0) $、$ D(4,2) $代入得$\begin{cases}b=0\\4k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=0\end{cases}$，即直线BD的解析式为$ y=\frac{1}{2}x $。
2. 求直线CE的函数表达式：
设直线CE对应的函数表达式为$ y=mx+n(m≠0) $，将$ C(4,0) $、$ E(2,2) $代入得$\begin{cases}4m+n=0\\2m+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=4\end{cases}$，即直线CE的解析式为$ y=-x+4 $。
3. 求交点P的坐标：
联立两个解析式得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-x+4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{8}{3}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$，即$ P(\frac{8}{3},\frac{4}{3}) $。
4. 计算△BPC的面积：
△BPC的底BC长为4，高为P点的纵坐标$\frac{4}{3}$，因此$S_{△ BPC}=\frac{1}{2} × BC × y_P = \frac{1}{2} × 4 × \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$。
【答案】
建立的平面直角坐标系如图所示，三角形BPC的面积为$\frac{8}{3}$。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点问题，坐标系中图形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将几何问题转化为一次函数相关的代数问题求解，降低了几何推理难度，同时综合考察了函数解析式求解、方程组计算、面积计算的应用能力。
【难度系数】
0.7
我们可通过数形结合思想将几何问题转化为代数问题求解：第一步以B为原点建立平面直角坐标系，结合长方形的边长和E是AD中点的条件，写出各点坐标；第二步用待定系数法分别求出直线BD、CE的一次函数解析式；第三步联立两个解析式解方程组，得到交点P的坐标；第四步观察△BPC的特征，底BC在x轴上长度已知，高为P点的纵坐标，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
建立平面直角坐标系如图
所示，则$ B(0,0) $,$ C(4,0) $,$ A(0,2) $,$ D(4,2) $，因E为AD中点，故$ E(2,2) $。1. 求直线BD的函数表达式：
设直线BD对应的函数表达式为$ y=kx+b(k≠0) $，将$ B(0,0) $、$ D(4,2) $代入得$\begin{cases}b=0\\4k+b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{1}{2}\\b=0\end{cases}$，即直线BD的解析式为$ y=\frac{1}{2}x $。
2. 求直线CE的函数表达式：
设直线CE对应的函数表达式为$ y=mx+n(m≠0) $，将$ C(4,0) $、$ E(2,2) $代入得$\begin{cases}4m+n=0\\2m+n=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=4\end{cases}$，即直线CE的解析式为$ y=-x+4 $。
3. 求交点P的坐标：
联立两个解析式得$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-x+4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{8}{3}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$，即$ P(\frac{8}{3},\frac{4}{3}) $。
4. 计算△BPC的面积：
△BPC的底BC长为4，高为P点的纵坐标$\frac{4}{3}$，因此$S_{△ BPC}=\frac{1}{2} × BC × y_P = \frac{1}{2} × 4 × \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$。
【答案】
建立的平面直角坐标系如图
所示，三角形BPC的面积为$\frac{8}{3}$。【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数交点问题，坐标系中图形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将几何问题转化为一次函数相关的代数问题求解，降低了几何推理难度，同时综合考察了函数解析式求解、方程组计算、面积计算的应用能力。
【难度系数】
0.7
