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5. [2026合肥瑶海区段考] 如图，已知一次函数$y = kx + b$的图象经过$A(-2,-1),B(1,3)$两点，并且交$x$轴于点$C$，交$y$轴于点$D$。
(1)求一次函数的表达式。
(2)求三角形$AOB$的面积。
(1)求一次函数的表达式。
(2)求三角形$AOB$的面积。
答案
(1)将点A的坐标$ (-2,-1) $,点B的坐标$ (1,3) $分别代入$ y=kx+b $,得$ \begin{cases}-2k+b=-1,\\k+b=3,\end{cases} $解得$ \begin{cases}k=\frac{4}{3},\\b=\frac{5}{3},\end{cases} $所以一次函数的表达式是$ y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3} $。
(2)令$ x=0 $,得$ y=\frac{5}{3} $,所以$ D(0,\frac{5}{3}) $,所以$ S_{\mathrm{三角形}OAB}=S_{\mathrm{三角形}AOD}+S_{\mathrm{三角形}BOD}=\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×2+\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×1=\frac{5}{2} $。
(2)令$ x=0 $,得$ y=\frac{5}{3} $,所以$ D(0,\frac{5}{3}) $,所以$ S_{\mathrm{三角形}OAB}=S_{\mathrm{三角形}AOD}+S_{\mathrm{三角形}BOD}=\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×2+\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×1=\frac{5}{2} $。
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式可采用待定系数法：一次函数$y=kx+b$中有两个未知参数$k$和$b$，已知函数图象经过两个点，将两点坐标代入解析式即可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式。
(2) 求$△ AOB$的面积时，由于该三角形没有边落在坐标轴上，直接找底和高计算较困难，因此采用割补法：先求出一次函数与$y$轴的交点$D$的坐标，将$△ AOB$拆分为$△ AOD$和$△ BOD$，两个三角形的公共底为$OD$的长度，高分别为点$A$、点$B$横坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再求和即可。
【解析】
(1) 将$A(-2,-1)$、$B(1,3)$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k+b=-1\\k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=4$，解得$k=\frac{4}{3}$；
将$k=\frac{4}{3}$代入$k+b=3$，得$\frac{4}{3}+b=3$，解得$b=\frac{5}{3}$。
(2) 求一次函数与$y$轴交点$D$的坐标：令$x=0$，代入$y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$，得$y=\frac{5}{3}$，即$D(0,\frac{5}{3})$，$OD=\frac{5}{3}$。
$△ AOB$的面积等于$△ AOD$与$△ BOD$的面积和：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OD× |x_A|=\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×2=\frac{5}{3}$
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OD× |x_B|=\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×1=\frac{5}{6}$
$S_{△ AOB}=\frac{5}{3}+\frac{5}{6}=\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，第一问考察待定系数法的基础应用，要求熟练掌握二元一次方程组的解法；第二问考察坐标系中图形面积的求解，割补法是解决这类问题的常用技巧，将不易直接计算的图形转化为易求面积的图形之和，简化计算过程，该方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 求一次函数表达式可采用待定系数法：一次函数$y=kx+b$中有两个未知参数$k$和$b$，已知函数图象经过两个点，将两点坐标代入解析式即可得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数值即可得到函数表达式。
(2) 求$△ AOB$的面积时，由于该三角形没有边落在坐标轴上，直接找底和高计算较困难，因此采用割补法：先求出一次函数与$y$轴的交点$D$的坐标，将$△ AOB$拆分为$△ AOD$和$△ BOD$，两个三角形的公共底为$OD$的长度，高分别为点$A$、点$B$横坐标的绝对值，分别计算两个三角形的面积再求和即可。
【解析】
(1) 将$A(-2,-1)$、$B(1,3)$分别代入$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-2k+b=-1\\k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3k=4$，解得$k=\frac{4}{3}$；
将$k=\frac{4}{3}$代入$k+b=3$，得$\frac{4}{3}+b=3$，解得$b=\frac{5}{3}$。
(2) 求一次函数与$y$轴交点$D$的坐标：令$x=0$，代入$y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$，得$y=\frac{5}{3}$，即$D(0,\frac{5}{3})$，$OD=\frac{5}{3}$。
$△ AOB$的面积等于$△ AOD$与$△ BOD$的面积和：
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OD× |x_A|=\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×2=\frac{5}{3}$
$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}× OD× |x_B|=\frac{1}{2}×\frac{5}{3}×1=\frac{5}{6}$
$S_{△ AOB}=\frac{5}{3}+\frac{5}{6}=\frac{5}{2}$
【答案】
(1) $y=\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}$；(2) $\frac{5}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数的常规综合题，第一问考察待定系数法的基础应用，要求熟练掌握二元一次方程组的解法；第二问考察坐标系中图形面积的求解，割补法是解决这类问题的常用技巧，将不易直接计算的图形转化为易求面积的图形之和，简化计算过程，该方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
6. [2026安徽师大附中期中]如图,已知直线$y = kx + b$交x轴于点A,交y轴于点B,直线$y = 2x - 4$交x轴于点D,与直线AB相交于点$C(3,2)$.
(1)根据图象,写出关于x的不等式$2x - 4 ＞ kx + b$的解集.
(2)若点A的坐标为$(5,0)$,求直线AB的表达式.
(3)在(2)的条件下,求四边形BODC的面积.
(1)根据图象,写出关于x的不等式$2x - 4 ＞ kx + b$的解集.
(2)若点A的坐标为$(5,0)$,求直线AB的表达式.
(3)在(2)的条件下,求四边形BODC的面积.
答案
(1)不等式$ 2x - 4 ＞ kx + b $的解集为$ x＞3 $。
(2)把点$ A(5,0) $,$ C(3,2) $的坐标分别代入$ y=kx+b $,可得$ \begin{cases}5k+b=0,\\3k+b=2,\end{cases} $解得$ \begin{cases}k=-1,\\b=5,\end{cases} $所以直线AB的表达式为$ y=-x+5 $。
(3)对于$ y=-x+5 $,令$ x=0 $,得$ y=5 $,所以点$ B(0,5) $,对于$ y=2x-4 $,令$ y=0 $,得$ x=2 $,所以点$ D(2,0) $,所以$ DA=3 $,所以四边形BODC的面积$ =S_{\mathrm{三角形}AOB}-S_{\mathrm{三角形}ACD}=\frac{1}{2}×5×5-\frac{1}{2}×3×2=9.5 $。
(2)把点$ A(5,0) $,$ C(3,2) $的坐标分别代入$ y=kx+b $,可得$ \begin{cases}5k+b=0,\\3k+b=2,\end{cases} $解得$ \begin{cases}k=-1,\\b=5,\end{cases} $所以直线AB的表达式为$ y=-x+5 $。
(3)对于$ y=-x+5 $,令$ x=0 $,得$ y=5 $,所以点$ B(0,5) $,对于$ y=2x-4 $,令$ y=0 $,得$ x=2 $,所以点$ D(2,0) $,所以$ DA=3 $,所以四边形BODC的面积$ =S_{\mathrm{三角形}AOB}-S_{\mathrm{三角形}ACD}=\frac{1}{2}×5×5-\frac{1}{2}×3×2=9.5 $。
解析
【分析】
(1) 不等式$2x - 4 ＞ kx + b$的几何意义是直线$y=2x-4$的图象位于直线$y=kx+b$图象上方的部分，观察两直线交点C的横坐标，即可直接得到解集；
(2) 已知直线AB经过A、C两点，采用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，从而得到直线AB的表达式；
(3) 四边形BODC是不规则图形，采用割补法，用$△ AOB$的面积减去$△ ACD$的面积计算即可。首先求出点B、D的坐标，再分别计算两个三角形的面积，相减即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) 观察图象可知，直线$y=2x-4$和直线$y=kx+b$的交点为$C(3,2)$，在交点右侧即$x＞3$时，直线$y=2x-4$在直线$y=kx+b$的上方，因此不等式$2x - 4 ＞ kx + b$的解集为$x＞3$。
(2) 将点$A(5,0)$、$C(3,2)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}5k+b=0\\3k+b=2\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$2k=-2$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$5k+b=0$，得$-5+b=0$，解得$b=5$，因此直线AB的表达式为$y=-x+5$。
(3) 对于直线$y=-x+5$，令$x=0$，解得$y=5$，因此点B的坐标为$(0,5)$；
对于直线$y=2x-4$，令$y=0$，得$2x-4=0$，解得$x=2$，因此点D的坐标为$(2,0)$；
可得$OA=5$，$OB=5$，$DA=OA-OD=5-2=3$，$△ ACD$中AD边上的高为点C的纵坐标2。
因此：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×5×5=12.5$
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× DA×2=\frac{1}{2}×3×2=3$
四边形BODC的面积$=S_{△ AOB}-S_{△ ACD}=12.5-3=9.5$
【答案】
(1) $x＞3$
(2) $y=-x+5$
(3) $9.5$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；待定系数法求解析式；一次函数面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，结合函数图象可直接求解不等式解集，待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，求解不规则图形面积时，采用割补法转化为规则图形面积的和差是常用解题思路，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 不等式$2x - 4 ＞ kx + b$的几何意义是直线$y=2x-4$的图象位于直线$y=kx+b$图象上方的部分，观察两直线交点C的横坐标，即可直接得到解集；
(2) 已知直线AB经过A、C两点，采用待定系数法，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，从而得到直线AB的表达式；
(3) 四边形BODC是不规则图形，采用割补法，用$△ AOB$的面积减去$△ ACD$的面积计算即可。首先求出点B、D的坐标，再分别计算两个三角形的面积，相减即可得到四边形的面积。
【解析】
(1) 观察图象可知，直线$y=2x-4$和直线$y=kx+b$的交点为$C(3,2)$，在交点右侧即$x＞3$时，直线$y=2x-4$在直线$y=kx+b$的上方，因此不等式$2x - 4 ＞ kx + b$的解集为$x＞3$。
(2) 将点$A(5,0)$、$C(3,2)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}5k+b=0\\3k+b=2\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$2k=-2$，解得$k=-1$，将$k=-1$代入$5k+b=0$，得$-5+b=0$，解得$b=5$，因此直线AB的表达式为$y=-x+5$。
(3) 对于直线$y=-x+5$，令$x=0$，解得$y=5$，因此点B的坐标为$(0,5)$；
对于直线$y=2x-4$，令$y=0$，得$2x-4=0$，解得$x=2$，因此点D的坐标为$(2,0)$；
可得$OA=5$，$OB=5$，$DA=OA-OD=5-2=3$，$△ ACD$中AD边上的高为点C的纵坐标2。
因此：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×5×5=12.5$
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× DA×2=\frac{1}{2}×3×2=3$
四边形BODC的面积$=S_{△ AOB}-S_{△ ACD}=12.5-3=9.5$
【答案】
(1) $x＞3$
(2) $y=-x+5$
(3) $9.5$
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；待定系数法求解析式；一次函数面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的相关应用，结合函数图象可直接求解不等式解集，待定系数法是求一次函数解析式的常用方法，求解不规则图形面积时，采用割补法转化为规则图形面积的和差是常用解题思路，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
