1. [2025安庆期末]如图,直线$l_1:y=2x+1$与直线$l_2:y=mx+4$相交于点$P(1,b)$.
(1)求$b,m$的值.
(2)直接写出关于$x$的不等式$2x + 1 ＜ mx + 4$的解集.
(3)垂直于$x$轴的直线$x = a$与直线$l_1,l_2$分别交于点$C,D$.若线段$CD$长为2,求$a$的值.

(1)因为点$ P(1,b) $在直线$ l_1:y=2x+1 $上，所以$ b=2×1+1=3 $。又因为点$ P(1,3) $在直线$ l_2:y=mx+4 $上，所以$ m+4=3 $，所以$ m=-1 $。
(2)不等式$ 2x + 1 ＜ mx + 4 $的解集为$ x＜1 $。
解法提示:由题中函数图象可知,当$ x＜1 $时,直线$ l_1 $在$ l_2 $的下方,故不等式$ 2x + 1 ＜ mx + 4 $的解集为$ x＜1 $。
(3)当$ x=a $时,$ y_C=2a+1 $,$ y_D=4-a $。因为$ CD=2 $,所以$ |2a+1-(4-a)|=2 $,解得$ a=\frac{1}{3} $或$ a=\frac{5}{3} $。

【分析】
(1) 要求b和m的值，依据“函数图象上的点的坐标满足对应函数的解析式”，先把点P的横坐标x=1代入直线l₁的解析式，即可算出b的值，得到点P的完整坐标，再将点P坐标代入直线l₂的解析式，就能求出m的值。
(2) 不等式$2x+1 ＜ mx+4$的几何意义是直线l₁的函数值小于直线l₂的函数值，对应图象为直线l₁位于直线l₂下方的部分，结合两直线交点的横坐标为1，直接观察图象即可得到x的取值范围。
(3) 先求出x=a时两条直线对应的纵坐标，线段CD的长度就是两个纵坐标差的绝对值，根据CD长为2列出绝对值方程，解方程即可得到a的值，注意绝对值方程有两个解，不要漏解。
【解析】
(1) 因为点$ P(1,b) $在直线$ l_1:y=2x+1 $上，将$x=1$代入解析式得：
$ b=2×1+1=3 $，所以点P的坐标为$(1,3)$。
又因为点$ P(1,3) $在直线$ l_2:y=mx+4 $上，将$x=1,y=3$代入解析式得：
$ m×1 + 4 = 3 $，解得$ m=-1 $。
(2) 观察函数图象可知，当$ x＜1 $时，直线$ l_1 $在直线$ l_2 $的下方，即此时$ l_1 $的函数值小于$ l_2 $的函数值，因此不等式$ 2x + 1 ＜ mx + 4 $的解集为$ x＜1 $。
(3) 当$ x=a $时，直线$ l_1 $对应的点C的纵坐标$ y_C=2a+1 $，直线$ l_2 $对应的点D的纵坐标$ y_D=-a+4 $。
因为线段CD的长度为2，所以两点纵坐标差的绝对值为2，即：
$ |(2a+1)-(4-a)|=2 $
整理得$ |3a - 3|=2 $，分两种情况求解：
① $ 3a - 3 = 2 $，解得$ a=\frac{5}{3} $；
② $ 3a - 3 = -2 $，解得$ a=\frac{1}{3} $。
【答案】
(1) $b=3$，$m=-1$；
(2) $x＜1$；
(3) $a=\frac{1}{3}$或$a=\frac{5}{3}$。
【知识点】
一次函数点的坐标特征；一次函数与不等式；一次函数综合
【点评】
本题将一次函数与方程、不等式结合考查，利用数形结合思想求解不等式更加直观，第三问要注意线段长度是非负数，列方程时需加绝对值，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7

2. [2026合肥瑶海区期末]如图,直线 $ l_1: y = -2x + 5 $ 分别与x轴、y轴交于点A,C,直线 $ l_2 $ 经过点B(-2,0),与 $ l_1 $ 交于点D,且点D的横坐标为1.
(1)求直线 $ l_2 $ 的函数表达式.
(2)点P是线段AC上一点,过点P作垂直于y轴的射线PF,分别与y轴和直线 $ l_2 $ 交于点E,F.设点P的横坐标为m.
①若 $ PF = 3 $,求点P的坐标;
②若 $ PE = OE $,且点P位于y轴右侧,求线段PF的长.

(1)由题意可知,将$ x=1 $代入$ y=-2x+5 $,得$ y=(-2)×1+5=3 $,所以$ D(1,3) $。设直线$ l_2 $的函数表达式为$ y=kx+b $,将点$ B(-2,0) $,点$ D(1,3) $的坐标分别代入,得$ \begin{cases}-2k+b=0,\\k+b=3,\end{cases} $解得$ \begin{cases}k=1,\\b=2,\end{cases} $所以直线$ l_2 $的函数表达式为$ y=x+2 $。
(2)①由题意可知,点P的坐标为$ (m,-2m+5) $。因为PF垂直于y轴,即$ PF// x $轴,所以点P,F的纵坐标相同。又因为点F在直线$ l_2 $上,所以$ -2m+5=x+2 $,解得$ x=-2m+3 $,所以点F的坐标为$ (-2m+3,-2m+5) $。因为$ PF=3 $,所以$ |m-(-2m+3)|=3 $,解得$ m=0 $或$ m=2 $。当$ m=0 $时,得$ -2m+5=5 $;当$ m=2 $时,得$ -2m+5=1 $。所以点P的坐标为$ (0,5) $或$ (2,1) $。
②由①可知$ P(m,-2m+5) $,点$ F(-2m+3,-2m+5) $。因为点P位于y轴右侧,且$ PE=OE $,所以$ m=-2m+5 $,解得$ m=\frac{5}{3} $,所以点$ P(\frac{5}{3},\frac{5}{3}) $,$ F(-\frac{1}{3},\frac{5}{3}) $,所以$ PF=\frac{5}{3}-(-\frac{1}{3})=2 $。

【分析】
(1) 求直线$l_2$的解析式需要先确定$l_2$上两个点的坐标：已知点$B$的坐标，交点$D$在$l_1$上且横坐标为1，代入$l_1$的解析式可求出$D$的纵坐标，得到$D$点坐标后，用待定系数法设$l_2$的解析式为$y=kx+b$，代入$B$、$D$两点坐标解方程组即可得到结果。
(2) ① 点$P$在$l_1$上，横坐标为$m$，可直接写出$P$的坐标；由于$PF$垂直于$y$轴，$P$、$F$纵坐标相同，将$P$的纵坐标代入$l_2$的解析式可求出$F$的横坐标，$PF$的长度为两点横坐标差的绝对值，列方程求解$m$即可得到$P$的坐标。
② $PE$是$P$到$y$轴的距离，$P$在$y$轴右侧，故$PE$等于$P$的横坐标$m$；$OE$等于$P$的纵坐标，根据$PE=OE$列方程求出$m$，再代入$PF$的计算方法即可得到结果。
【解析】
(1) 求点$D$的坐标：将$x=1$代入$y=-2x+5$，得$y=-2×1+5=3$，即$D(1,3)$。
设直线$l_2$的函数表达式为$y=kx+b$，将$B(-2,0)$、$D(1,3)$代入得：
$\begin{cases}-2k+b=0\\k+b=3\end{cases}$
两式相减得$3k=3$，解得$k=1$，将$k=1$代入$-2k+b=0$得$b=2$，故直线$l_2$的解析式为$y=x+2$。
(2) ① 点$P$在线段$AC$上，横坐标为$m$，故$P$的坐标为$(m,-2m+5)$。
因为$PF⊥ y$轴，所以$PF// x$轴，$P$、$F$纵坐标均为$-2m+5$。将$y=-2m+5$代入$y=x+2$，得$-2m+5=x+2$，解得$x=-2m+3$，即$F(-2m+3,-2m+5)$。
由$PF=3$得$|m-(-2m+3)|=3$，即$|3m-3|=3$，解得$m=2$或$m=0$。
当$m=0$时，$-2m+5=5$，$P(0,5)$；当$m=2$时，$-2m+5=1$，$P(2,1)$。
② 由①得$P(m,-2m+5)$，$F(-2m+3,-2m+5)$。
$P$在$y$轴右侧，故$PE=m$，$OE=-2m+5$，根据$PE=OE$得$m=-2m+5$，解得$m=\frac{5}{3}$。
此时$P$的横坐标为$\frac{5}{3}$，$F$的横坐标为$-2×\frac{5}{3}+3=-\frac{1}{3}$，故$PF=\frac{5}{3}-(-\frac{1}{3})=2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=x+2}$
(2) ① $\boldsymbol{(0,5)}$或$\boldsymbol{(2,1)}$；② $\boldsymbol{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数点坐标特征；一次函数几何应用
【点评】
本题是一次函数常规综合题，核心考查函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，解题关键是掌握坐标与线段长度的转化方法，解绝对值方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.65

3. [2025淮北期末]如图，线段MN两个端点的坐标分别为M(1,3),N(1,1),一次函数$y = kx + b$的图象经过点$(4,0)$和$(0,-3)$.
(1)求一次函数$y = kx + b$的表达式.
(2)将直线$y = kx + b$向上平移$a$个单位长度，使平移后的直线经过线段MN的中点，求$a$的值.
(3)若直线$y = mx + n$经过点$(-1,0)$，且与线段MN有交点，求$m$的取值范围.

(1)把$ (4,0) $和$ (0,-3) $分别代入$ y=kx+b $,得$ \begin{cases}4k+b=0,\\b=-3,\end{cases} $解得$ \begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=-3,\end{cases} $所以这个一次函数的表达式为$ y=\frac{3}{4}x-3 $。
(2)设平移后的直线的表达式为$ y=\frac{3}{4}x-3+a $。因为$ M(1,3) $,$ N(1,1) $,所以线段MN的中点坐标为$ (\frac{1+1}{2},\frac{3+1}{2}) $,即$ (1,2) $。把$ (1,2) $代入$ y=\frac{3}{4}x-3+a $,得$ \frac{3}{4}-3+a=2 $,解得$ a=\frac{17}{4} $。
(3)把$ (-1,0) $代入$ y=mx+n $,得$ n=m $,所以$ y=mx+m $。把$ M(1,3) $代入$ y=mx+m $,得$ m+m=3 $,解得$ m=\frac{3}{2} $;把$ N(1,1) $代入$ y=mx+m $,得$ m+m=1 $,解得$ m=\frac{1}{2} $。结合图象,要想使直线$ y=mx+n $与线段MN有交点,$ m $的取值范围是$ \frac{1}{2}≤ m≤\frac{3}{2} $。

【分析】
本题考查一次函数的综合应用，分三小问逐步求解：
(1) 求一次函数表达式，已知函数图象过两个定点，采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，进而得到解析式。
(2) 一次函数向上平移a个单位，遵循“上加下减”的平移规律，即平移后的解析式为原解析式常数项加a；先根据中点坐标公式（两点横、纵坐标的平均值）求出线段MN的中点坐标，再将中点坐标代入平移后的解析式，即可求解a的值。
(3) 先将已知点(-1,0)代入直线y=mx+n，得到m与n的关系，简化直线解析式；再分别计算直线经过线段MN两个端点M、N时的m值，结合图象分析，即可得到直线与线段MN有交点时m的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(4,0)$和$(0,-3)$分别代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}4k+b=0\\b=-3\end{cases}$
把$b=-3$代入$4k+b=0$，得$4k-3=0$，解得$k=\frac{3}{4}$，
因此一次函数的表达式为$y=\frac{3}{4}x-3$。
(2) 根据一次函数平移规律，向上平移$a$个单位后的直线解析式为$y=\frac{3}{4}x-3+a$。
已知$M(1,3)$，$N(1,1)$，根据中点坐标公式，线段MN的中点坐标为$(\frac{1+1}{2},\frac{3+1}{2})$，即$(1,2)$。
将$(1,2)$代入平移后的解析式，得：
$\frac{3}{4}×1 - 3 + a = 2$
计算得$\frac{3}{4}-3+a=2$，解得$a=\frac{17}{4}$。
(3) 将点$(-1,0)$代入$y=mx+n$，得$-m + n = 0$，即$n=m$，因此直线解析式可化简为$y=mx+m$。
当直线经过点$M(1,3)$时，代入得$m+m = 3$，即$2m=3$，解得$m=\frac{3}{2}$；
当直线经过点$N(1,1)$时，代入得$m+m =1$，即$2m=1$，解得$m=\frac{1}{2}$。
结合图象分析，可得到直线与线段MN有交点时m的取值范围。
【答案】
(1) $y=\frac{3}{4}x-3$
(2) $a=\frac{17}{4}$
(3) $\frac{1}{2}\le m\le\frac{3}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数平移，一次函数交点问题
【点评】
本题是一次函数的基础综合题，考查了一次函数相关的核心基础知识点，解题时注意结合函数图象分析范围类问题更直观，熟练掌握待定系数法、函数平移规律是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7

4. [2025阜阳期末]材料一 如图1,由函数$y=-6x$与$y=-6x+5$的图象可知,直线$y=-6x+5$可以由直线$y=-6x$向上平移5个单位长度得到.由此我们得到正确的结论一:在直线$l_1:y=k_1x+b_1$与直线$l_2:y=k_2x+b_2$中,如果$k_1=k_2$且$b_1≠b_2$,那么$l_1//l_2$,反过来,也成立.
材料二 如图2,由函数$y=2x-1$与$y=-0.5x+1$的图象可知,利用所学知识一定能证出这两条直线是互相垂直的.由此我们得到正确的结论二:在直线$l_1:y=k_1x+b_1$与$l_2:y=k_2x+b_2$中,如果$k_1·k_2=-1$,那么$l_1⊥l_2$,反过来,也成立.
应用举例:已知直线$y=-\frac{1}{6}x+5$与直线$y=kx+2$互相垂直,则$-\frac{1}{6}k=-1$,所以$k=6$.
解决问题:
(1)请写出一条直线的表达式,使它与直线$y=x-3$平行.
(2)如图3,点A的坐标为$(-1,0)$,点P是直线$y=-3x+2$上一动点,当点P运动到何位置时,线段PA的长度最小?画出图形,并求出此时点P的坐标.

解题思路:(1)由两直线平行可得出$ k_1=k_2=1 $,$ b_1≠ b_2=-3 $,可取$ b_1=0 $即可得出结论;
(2)过点A作$ AP⊥ $直线$ y=-3x+2 $于点P,此时线段PA的长度最小,由两直线垂直可设直线PA的表达式为$ y=\frac{1}{3}x+b $,由点A的坐标可求出直线PA的表达式,联立两互相垂直的直线的表达式得到方程组,解方程组即可求出点P的坐标。
(1)$ y=x $(答案不唯一)。
(2)如图,过点A作$ AP⊥ $直线$ y=-3x+2 $于点P,此时线段PA的长度最小(垂线段最短)。因为直线PA与直线$ y=-3x+2 $垂直,所以设直线PA的表达式为$ y=\frac{1}{3}x+b $。因为点$ A(-1,0) $在直线PA上,所以$ \frac{1}{3}×(-1)+b=0 $,解得$ b=\frac{1}{3} $,所以直线PA的表达式为$ y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3} $。联立得$ \begin{cases}y=-3x+2,\\y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3},\end{cases} $解得$ \begin{cases}x=\frac{1}{2},\\y=\frac{1}{2},\end{cases} $所以当线段PA的长度最小时,点P的坐标为$ (\frac{1}{2},\frac{1}{2}) $。

【分析】
(1) 根据材料一给出的两直线平行的结论：两条直线平行则一次项系数k相等，常数项b不相等。已知待平行直线$y=x-3$的一次项系数为1，常数项为-3，因此只需写出一次项系数为1且常数项不等于-3的一次函数表达式即可。
(2) 根据“垂线段最短”的几何性质，当AP垂直于直线$y=-3x+2$时，线段PA的长度最小。首先根据材料二的两直线垂直结论：两直线垂直则一次项系数的乘积为-1，求出直线AP的一次项系数，再代入点A的坐标求出直线AP的解析式，最后联立两条直线的解析式，解方程组即可得到交点P的坐标。
【解析】
(1) 由两直线平行的性质可知，所求直线的一次项系数$k=1$，常数项$b≠-3$，取$b=0$，可得直线表达式为$y=x$（答案不唯一，满足$k=1$且$b≠-3$即可）。
(2) 根据垂线段最短的性质，过点A作$AP⊥$直线$y=-3x+2$，垂足为P时，线段PA的长度最小，图形如下：
已知直线$y=-3x+2$的一次项系数为-3，因为直线AP与该直线垂直，由两直线垂直时一次项系数乘积为-1，可得直线AP的一次项系数$k$满足：$-3·k=-1$，解得$k=\frac{1}{3}$。
设直线AP的解析式为$y=\frac{1}{3}x+b$，将点$A(-1,0)$代入解析式得：$\frac{1}{3}×(-1)+b=0$，解得$b=\frac{1}{3}$，因此直线AP的解析式为$y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$。
联立两条直线的解析式得到方程组：
$\begin{cases} y=-3x+2 \\ y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3} \end{cases}$
联立求解：将两式右边相等得$-3x+2=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$，两边同乘3消去分母得$-9x+6=x+1$，移项合并同类项得$-10x=-5$，解得$x=\frac{1}{2}$，将$x=\frac{1}{2}$代入$y=-3x+2$得$y=-3×\frac{1}{2}+2=\frac{1}{2}$，因此方程组的解为$\begin{cases} x=\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$。
【答案】
(1) $y=x$（答案不唯一）
(2) 过点A作$AP⊥$直线$y=-3x+2$于点P时PA最短，图形：，此时点P的坐标为$( \frac{1}{2},\frac{1}{2} )$
【知识点】
两直线平行的判定，垂线段最短，一次函数交点计算
【点评】
本题以新定义材料的形式给出一次函数平行、垂直时的系数关系，结合几何性质考查一次函数的综合应用，既考查对新材料的理解提取能力，也考查一次函数的基础计算能力，注重知识的迁移应用。
【难度系数】
0.7