17. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (m+2)x + (2m -1) = 0 $。
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长。

17. (1) 证明:$\because \Delta=[-(m+2)]^2-4×1×(2m-1)=m^2-4m+8=(m-2)^2+4＞0$,$\therefore$方程恒有两个不相等的实数根. (2) 把$x=1$代入方程$x^2-(m+2)x+(2m-1)=0$中,解得$m=2$.$\therefore$原方程为$x^2-4x+3=0$.解得$x_1=1,x_2=3$.$\therefore$方程的另一个根为$x=3$.当1,3为直角边边长时,斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\therefore$周长为$1+3+\sqrt{10}=4+\sqrt{10}$;当3为斜边长时,另一直角边长为$\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore$周长为$1+3+2\sqrt{2}=4+2\sqrt{2}$.

18. 先化简,再求值:$(x-1)÷(\dfrac{2}{x+1}-1)$,其中$x$为方程$x^2+3x+2=0$的根.

18. 原式$=-(x+1)$,又$x^2+3x+2=0$,$\therefore (x+1)(x+2)=0$,$\therefore x_1=-1,x_2=-2$.而当$x=-1$时,$x+1=0$,$\therefore$原式无意义,$\therefore x=-2$,原式$=1$.

19. 已知一元二次方程 $x^2 - (2k + 1)x + k^2 + k = 0$.
(1) 求证:方程恒有两个不相等的实数根;
(2) 若$△ ABC$的两边$AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根,第三边$BC$的长为5.当$△ ABC$是等腰三角形时,求$k$的值.

19. (1) 证明:$\because \Delta=[-(2k+1)]^2-4(k^2+k)=1＞0$,$\therefore$方程恒有两个不相等的实数根. (2) $\because △ ABC$的两边$AB$,$AC$的长是这个方程的两个实数根,由(1)知,$AB≠AC$,$△ ABC$第三边$BC$的长为5,且$△ ABC$是等腰三角形,$\therefore$必然有$AB=5$或$AC=5$,即$x=5$是原方程的一个解.将$x=5$代入方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,$25-5(2k+1)+k^2+k=0$,解得$k=4$或$k=5$.当$k=4$时,原方程为$x^2-9x+20=0$,$x_1=5$,$x_2=4$,以5,5,4为边长能构成等腰三角形;当$k=5$时,原方程为$x^2-11x+30=0$,$x_1=5$,$x_2=6$,以5,5,6为边长也能构成等腰三角形.(必须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5).$\therefore k$的值为4或5.