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9. 将一副学生用三角板(一个锐角为$30°$的直角三角形，一个锐角为$45°$的直角三角形)按如图方式叠放，则下列4个结论中正确的有（
①$OE$平分$∠ AOD$；
②$∠ AOC - ∠ CEA = 15°$；
③$∠ AOC = ∠ BOD$；
④$∠ COB + ∠ AOD = 180°$.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）①$OE$平分$∠ AOD$；
②$∠ AOC - ∠ CEA = 15°$；
③$∠ AOC = ∠ BOD$；
④$∠ COB + ∠ AOD = 180°$.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
9.D 【点拨】$\because ∠DOC=∠AOB=90°,∴∠DOC-∠BOC=∠AOB-∠COB$,即$∠AOC=∠BOD$. 故③正确; $\because ∠AOB=∠COD=90°,∴∠COB+∠AOD=∠AOB+∠COD=180°$,故④正确;
如图,设 AB 与 OC 交于点 P.
$\because ∠CPE=∠APO,∠C=45°,∠A=30°,∠CEA+∠CPE+∠C=∠AOC+∠APO+∠A=180°, ∴ ∠AOC-∠CEA=15°$,故②正确;
没有条件能证明 OE 平分$∠AOD$,故①错误. 故选 D.
解析
【分析】
本题是三角板叠放的角度判断问题，解题时先明确两块三角板的已知角度：∠DOC=∠AOB=90°，∠C=45°，∠A=30°，再逐个验证4个结论：1. 先判断结论①：观察题目给出的条件，没有能证明OE将∠AOD分为两个相等角的依据，可直接判断①错误；2. 验证结论③：利用同角的余角相等，∠AOC和∠BOD都是90°减去∠BOC，即可判断相等；3. 验证结论④：将∠AOD拆分为∠AOB+∠BOD，结合∠BOD=∠AOC，转化后可得到两角和为两个直角的和；4. 验证结论②：利用对顶角相等，结合两个三角形的内角和都是180°，消去相等的角后即可推出角度差。
【解析】
已知两块三角板均为直角三角形，故∠DOC=∠AOB=90°，∠C=45°，∠A=30°，逐一判断结论：
1. 判断①：题中未给出∠DOE=∠AOE的相关条件，无法证明OE平分∠AOD，故①错误；
2. 判断③：
∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC - ∠BOC = ∠AOB - ∠BOC，即∠AOC=∠BOD，故③正确；
3. 判断④：∠COB + ∠AOD = ∠COB + ∠AOB + ∠BOD，结合∠BOD=∠AOC，可得：
∠COB + ∠AOD = ∠COB + ∠AOC + ∠AOB = ∠AOB + ∠COD = 90°+90°=180°，故④正确；
4. 判断②：如图，设AB与OC交于点P。
∵∠CPE与∠APO是对顶角，
∴∠CPE=∠APO。
在△CPE中：∠CEA + ∠C + ∠CPE = 180°，
在△APO中：∠AOC + ∠A + ∠APO = 180°，
代入∠C=45°，∠A=30°，消去∠CPE和∠APO可得：∠CEA + 45° = ∠AOC + 30°，
整理得∠AOC - ∠CEA = 15°，故②正确。
综上，②③④共3个结论正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差运算，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题结合常见三角板的角度特征考查角度的推导与计算，解题时需逐一验证每个结论，注意不能主观臆断缺少条件的结论（如本题的角平分线），熟练运用角的和差关系、三角形内角和等知识即可正确解答。
【难度系数】
0.7
本题是三角板叠放的角度判断问题，解题时先明确两块三角板的已知角度：∠DOC=∠AOB=90°，∠C=45°，∠A=30°，再逐个验证4个结论：1. 先判断结论①：观察题目给出的条件，没有能证明OE将∠AOD分为两个相等角的依据，可直接判断①错误；2. 验证结论③：利用同角的余角相等，∠AOC和∠BOD都是90°减去∠BOC，即可判断相等；3. 验证结论④：将∠AOD拆分为∠AOB+∠BOD，结合∠BOD=∠AOC，转化后可得到两角和为两个直角的和；4. 验证结论②：利用对顶角相等，结合两个三角形的内角和都是180°，消去相等的角后即可推出角度差。
【解析】
已知两块三角板均为直角三角形，故∠DOC=∠AOB=90°，∠C=45°，∠A=30°，逐一判断结论：
1. 判断①：题中未给出∠DOE=∠AOE的相关条件，无法证明OE平分∠AOD，故①错误；
2. 判断③：
∵∠DOC=∠AOB=90°，
∴∠DOC - ∠BOC = ∠AOB - ∠BOC，即∠AOC=∠BOD，故③正确；
3. 判断④：∠COB + ∠AOD = ∠COB + ∠AOB + ∠BOD，结合∠BOD=∠AOC，可得：
∠COB + ∠AOD = ∠COB + ∠AOC + ∠AOB = ∠AOB + ∠COD = 90°+90°=180°，故④正确；
4. 判断②：如图，设AB与OC交于点P。
∵∠CPE与∠APO是对顶角，
∴∠CPE=∠APO。
在△CPE中：∠CEA + ∠C + ∠CPE = 180°，
在△APO中：∠AOC + ∠A + ∠APO = 180°，
代入∠C=45°，∠A=30°，消去∠CPE和∠APO可得：∠CEA + 45° = ∠AOC + 30°，
整理得∠AOC - ∠CEA = 15°，故②正确。
综上，②③④共3个结论正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角的和差运算，三角形内角和定理，对顶角的性质
【点评】
本题结合常见三角板的角度特征考查角度的推导与计算，解题时需逐一验证每个结论，注意不能主观臆断缺少条件的结论（如本题的角平分线），熟练运用角的和差关系、三角形内角和等知识即可正确解答。
【难度系数】
0.7
10. 如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠C=∠DAB，点E在线段BC上，DF平分∠EDC，交BC于点M，交AE的延长线于点F，若∠C=90°，∠AED+∠AEC=180°，设∠AED=x，∠FDC=y，则x与y的数量关系是
x - y = 45°
。答案
10.$x - y = 45°$ 【点拨】$\because ∠AED+∠AEC=180°,∠AEC+∠FEC=180°,∴∠AED=∠FEC=x$,
$\therefore ∠DEC=180°-2x. ∵∠FDC=y,DF$ 平分$∠EDC$,
$\therefore ∠EDC=2y. ∵∠C=90°,∴∠DEC=90°-2y$.
$\therefore 180°-2x=90°-2y$,即$x-y=45°$.
$\therefore ∠DEC=180°-2x. ∵∠FDC=y,DF$ 平分$∠EDC$,
$\therefore ∠EDC=2y. ∵∠C=90°,∴∠DEC=90°-2y$.
$\therefore 180°-2x=90°-2y$,即$x-y=45°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的角的互补关系入手，利用同角的补角相等得到∠AED=∠FEC=x，进而用含x的式子表示出∠DEC；再结合角平分线的定义，用含y的式子表示出∠EDC，最后在Rt△DEC中利用直角三角形两锐角互余的性质，得到∠DEC的另一种表达式，将两个表达式联立整理即可得到x与y的数量关系。
【解析】
解：
∵∠AED+∠AEC=180°，∠AEC+∠FEC=180°（平角的定义），
∴∠AED=∠FEC=x（同角的补角相等），
∴∠DEC=180°-∠AED-∠FEC=180°-2x。
∵DF平分∠EDC，∠FDC=y，
∴∠EDC=2∠FDC=2y（角平分线的定义）。
又
∵∠C=90°，△DEC为直角三角形，
∴∠DEC+∠EDC=90°（直角三角形两锐角互余），
即∠DEC=90°-∠EDC=90°-2y。
联立∠DEC的两个表达式可得：$180°-2x=90°-2y$，
整理得：$x-y=45°$。
【答案】
$x-y=45°$
【知识点】
补角的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题考查角的数量关系推导，核心是通过同一个角的不同表达方式建立等式，解题时只要逐步梳理已知条件中的角的关系，结合基础几何性质就能顺利推导，解题关键是找准等量代换的中间角。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的角的互补关系入手，利用同角的补角相等得到∠AED=∠FEC=x，进而用含x的式子表示出∠DEC；再结合角平分线的定义，用含y的式子表示出∠EDC，最后在Rt△DEC中利用直角三角形两锐角互余的性质，得到∠DEC的另一种表达式，将两个表达式联立整理即可得到x与y的数量关系。
【解析】
解：
∵∠AED+∠AEC=180°，∠AEC+∠FEC=180°（平角的定义），
∴∠AED=∠FEC=x（同角的补角相等），
∴∠DEC=180°-∠AED-∠FEC=180°-2x。
∵DF平分∠EDC，∠FDC=y，
∴∠EDC=2∠FDC=2y（角平分线的定义）。
又
∵∠C=90°，△DEC为直角三角形，
∴∠DEC+∠EDC=90°（直角三角形两锐角互余），
即∠DEC=90°-∠EDC=90°-2y。
联立∠DEC的两个表达式可得：$180°-2x=90°-2y$，
整理得：$x-y=45°$。
【答案】
$x-y=45°$
【知识点】
补角的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质
【点评】
本题考查角的数量关系推导，核心是通过同一个角的不同表达方式建立等式，解题时只要逐步梳理已知条件中的角的关系，结合基础几何性质就能顺利推导，解题关键是找准等量代换的中间角。
【难度系数】
0.7
11. 新考法动点位置探究法（1）如图①，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$于点$D$，图中有与$∠ A$相等的角吗？为什么？
（2）如图②，把图①中的点$D$向右移动，作$ED⊥ AB$交$BC$于点$E$，图中还有与$∠ A$相等的角吗？为什么？
（3）如图③，把图①中的点$D$向左移动，作$ED⊥ AB$交$BC$的延长线于点$E$，图中还有与$∠ A$相等的角吗？为什么？
（2）如图②，把图①中的点$D$向右移动，作$ED⊥ AB$交$BC$于点$E$，图中还有与$∠ A$相等的角吗？为什么？
（3）如图③，把图①中的点$D$向左移动，作$ED⊥ AB$交$BC$的延长线于点$E$，图中还有与$∠ A$相等的角吗？为什么？
答案
11.【解】(1)有.
理由:$\because CD⊥AB,∴∠BDC=90°$.
$\therefore ∠B+∠BCD=90°$.
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°. ∴∠BCD=∠A$.
(2)有. 理由:$\because ED⊥AB,∴∠EDB=90°$.
$\therefore ∠B+∠BED=90°$.
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°. ∴∠BED=∠A$.
(3)有. 理由:$\because ED⊥AB,∴∠EDB=90°$.
$\therefore ∠B+∠E=90°$.
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°. ∴∠E=∠A$.
理由:$\because CD⊥AB,∴∠BDC=90°$.
$\therefore ∠B+∠BCD=90°$.
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°. ∴∠BCD=∠A$.
(2)有. 理由:$\because ED⊥AB,∴∠EDB=90°$.
$\therefore ∠B+∠BED=90°$.
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°. ∴∠BED=∠A$.
(3)有. 理由:$\because ED⊥AB,∴∠EDB=90°$.
$\therefore ∠B+∠E=90°$.
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°. ∴∠E=∠A$.
解析
【分析】
本题三个小问的解题思路一致：首先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到Rt△ABC中∠A和∠B互余；再观察另一处直角构成的直角三角形，得到另一个角也和∠B互余；最后根据“同角的余角相等”，即可推出该角与∠A相等。
【解析】
(1) 有。
理由：$\because CD⊥AB,∴∠BDC=90°$，
$\therefore ∠B+∠BCD=90°$。
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°$，
$\therefore ∠BCD=∠A$。
(2) 有。
理由：$\because ED⊥AB,∴∠EDB=90°$，
$\therefore ∠B+∠BED=90°$。
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°$，
$\therefore ∠BED=∠A$。
(3) 有。
理由：$\because ED⊥AB,∴∠EDB=90°$，
$\therefore ∠B+∠E=90°$。
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°$，
$\therefore ∠E=∠A$。
【答案】
(1) 有，与∠A相等的角为∠BCD；
(2) 有，与∠A相等的角为∠BED；
(3) 有，与∠A相等的角为∠E。
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是直角三角形性质的典型探究题，通过改变动点D的位置，考查对“同角的余角相等”这一性质的灵活运用，解题核心是找到与公共角互余的两个角，掌握该类模型可快速解决直角中找等角的相关问题。
【难度系数】
0.7
本题三个小问的解题思路一致：首先利用直角三角形两锐角互余的性质，得到Rt△ABC中∠A和∠B互余；再观察另一处直角构成的直角三角形，得到另一个角也和∠B互余；最后根据“同角的余角相等”，即可推出该角与∠A相等。
【解析】
(1) 有。
理由：$\because CD⊥AB,∴∠BDC=90°$，
$\therefore ∠B+∠BCD=90°$。
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°$，
$\therefore ∠BCD=∠A$。
(2) 有。
理由：$\because ED⊥AB,∴∠EDB=90°$，
$\therefore ∠B+∠BED=90°$。
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°$，
$\therefore ∠BED=∠A$。
(3) 有。
理由：$\because ED⊥AB,∴∠EDB=90°$，
$\therefore ∠B+∠E=90°$。
$\because ∠ACB=90°,∴∠B+∠A=90°$，
$\therefore ∠E=∠A$。
【答案】
(1) 有，与∠A相等的角为∠BCD；
(2) 有，与∠A相等的角为∠BED；
(3) 有，与∠A相等的角为∠E。
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是直角三角形性质的典型探究题，通过改变动点D的位置，考查对“同角的余角相等”这一性质的灵活运用，解题核心是找到与公共角互余的两个角，掌握该类模型可快速解决直角中找等角的相关问题。
【难度系数】
0.7
12. ★★★ 在一个钝角三角形中,如果一个角是另一个角的3倍,这样的三角形我们称之为“智慧三角形”.例如,三个内角分别为$120°,40°,20°$的三角形是“智慧三角形”.如图,$∠ MON=60°$,在射线OM上找一点A,过点A作$AB⊥ OM$交ON于点B,以A为端点作射线AD,交射线OB于点C(不与点O重合).
(1)$∠ ABO$的度数为
(2)若$∠ OAC=20°$,求证:$△ AOC$为“智慧三角形”;
(3)当$△ ABC$为“智慧三角形”时,求$∠ OAC$的度数.
(1)$∠ ABO$的度数为
30
$°$,$△ AOB$不是
(填“是”或“不是”)“智慧三角形”;(2)若$∠ OAC=20°$,求证:$△ AOC$为“智慧三角形”;
(3)当$△ ABC$为“智慧三角形”时,求$∠ OAC$的度数.
答案
12.(1)30;不是
(2)【证明】$\because ∠AOC=60°,∠OAC=20°,∴∠AOC=3∠OAC,∠ACO=180°-∠AOC-∠OAC=100°$,
$\therefore △ AOC$为“智慧三角形”.
(3)【解】$△ ABC$为“智慧三角形”,则$△ ABC$是钝角三角形,①当点 C 在线段 OB 上(点 C 不与点 O,B 重合)时,$∠BAC＜90°. ∵∠ABO=30°,∴∠BAC+∠ACB=150°,∠ACB＞90°$. Ⅰ. 当$∠ABC=3∠BAC$时,$∠BAC=10°,∴∠ACB=140°,∠OAC=80°$. Ⅱ. 当$∠ACB=3∠BAC$时,则$∠BAC+3∠BAC=150°,∴∠BAC=37.5°,∠ACB=112.5°,∴∠OAC=52.5°$.
②当点 C 在线段 OB 的延长线上时,$\because ∠ABO=30°,∴∠ABC=150°,∴∠ACB+∠BAC=30°$. Ⅰ. 当$∠ACB=3∠BAC$时,则$3∠BAC+∠BAC=30°. ∴∠BAC=7.5°,∴∠OAC=90°+7.5°=97.5°$. Ⅱ. 当$∠BAC=3∠ACB$时,则$3∠ACB+∠ACB=30°. ∴∠ACB=7.5°,∠BAC=3∠ACB=22.5°,∴∠OAC=90°+22.5°=112.5°$.
综上所述,当$△ ABC$为“智慧三角形”时,$∠OAC$的度数为$80°$或$52.5°$或$97.5°$或$112.5°$.
(2)【证明】$\because ∠AOC=60°,∠OAC=20°,∴∠AOC=3∠OAC,∠ACO=180°-∠AOC-∠OAC=100°$,
$\therefore △ AOC$为“智慧三角形”.
(3)【解】$△ ABC$为“智慧三角形”,则$△ ABC$是钝角三角形,①当点 C 在线段 OB 上(点 C 不与点 O,B 重合)时,$∠BAC＜90°. ∵∠ABO=30°,∴∠BAC+∠ACB=150°,∠ACB＞90°$. Ⅰ. 当$∠ABC=3∠BAC$时,$∠BAC=10°,∴∠ACB=140°,∠OAC=80°$. Ⅱ. 当$∠ACB=3∠BAC$时,则$∠BAC+3∠BAC=150°,∴∠BAC=37.5°,∠ACB=112.5°,∴∠OAC=52.5°$.
②当点 C 在线段 OB 的延长线上时,$\because ∠ABO=30°,∴∠ABC=150°,∴∠ACB+∠BAC=30°$. Ⅰ. 当$∠ACB=3∠BAC$时,则$3∠BAC+∠BAC=30°. ∴∠BAC=7.5°,∴∠OAC=90°+7.5°=97.5°$. Ⅱ. 当$∠BAC=3∠ACB$时,则$3∠ACB+∠ACB=30°. ∴∠ACB=7.5°,∠BAC=3∠ACB=22.5°,∴∠OAC=90°+22.5°=112.5°$.
综上所述,当$△ ABC$为“智慧三角形”时,$∠OAC$的度数为$80°$或$52.5°$或$97.5°$或$112.5°$.
解析
【分析】
(1) 先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠MON=60°计算∠ABO的度数，再判断△AOB三个内角是否存在一个角是另一个角的3倍，确定是否为“智慧三角形”。
(2) 先利用三角形内角和定理计算△AOC的三个内角度数，验证是否存在一个角是另一个角的3倍且为钝角三角形，即可完成证明。
(3) 分点C在线段OB上、点C在线段OB延长线上两种大情况，每种情况下结合△ABC是钝角三角形的要求，再按“一个角是另一个角的3倍”分两类讨论，结合三角形内角和求出∠BAC的度数，进而计算∠OAC的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90°，在Rt△AOB中，∠AOB=∠MON=60°，
∴∠ABO=90°-60°=30°。
△AOB三个内角分别为90°、60°、30°，不存在一个角是另一个角的3倍，因此△AOB不是“智慧三角形”。
(2) 证明：在△AOC中，∠AOC=60°，∠OAC=20°，
∴∠ACO=180°-∠AOC-∠OAC=180°-60°-20°=100°，
可得∠AOC=3∠OAC，且△AOC是钝角三角形，符合“智慧三角形”的定义，
∴△AOC为“智慧三角形”。
(3) 解：△ABC为“智慧三角形”，即△ABC为钝角三角形，且存在一个内角是另一个内角的3倍，分两类讨论：
① 当点C在线段OB上（不与O、B重合）时：
此时∠BAC＜90°，已知∠ABC=∠ABO=30°，
由三角形内角和得∠BAC+∠ACB=180°-30°=150°，此时钝角为∠ACB＞90°。
Ⅰ. 若∠ABC=3∠BAC，即30°=3∠BAC，解得∠BAC=10°，
∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=90°-10°=80°；
Ⅱ. 若∠ACB=3∠BAC，代入得∠BAC+3∠BAC=150°，解得∠BAC=37.5°，
∴∠OAC=90°-37.5°=52.5°；
② 当点C在线段OB的延长线上时：
此时∠ABC=180°-∠ABO=180°-30°=150°，为钝角，
由三角形内角和得∠ACB+∠BAC=180°-150°=30°。
Ⅰ. 若∠ACB=3∠BAC，代入得3∠BAC+∠BAC=30°，解得∠BAC=7.5°，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°+7.5°=97.5°；
Ⅱ. 若∠BAC=3∠ACB，代入得3∠ACB+∠ACB=30°，解得∠ACB=7.5°，∠BAC=22.5°，
∴∠OAC=90°+22.5°=112.5°。
综上所述，满足条件的∠OAC的度数为80°或52.5°或97.5°或112.5°。
【答案】
(1) $\boxed{30}$；$\boxed{不是}$
(2) 证明见上述解析
(3) $\boxed{80°}$或$\boxed{52.5°}$或$\boxed{97.5°}$或$\boxed{112.5°}$
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理；新定义问题
【点评】
本题为新定义类几何题，核心考查三角形内角和的应用，解题关键是准确理解“智慧三角形”的定义，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免遗漏情况导致漏解。
【难度系数】
0.5
(1) 先利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知∠MON=60°计算∠ABO的度数，再判断△AOB三个内角是否存在一个角是另一个角的3倍，确定是否为“智慧三角形”。
(2) 先利用三角形内角和定理计算△AOC的三个内角度数，验证是否存在一个角是另一个角的3倍且为钝角三角形，即可完成证明。
(3) 分点C在线段OB上、点C在线段OB延长线上两种大情况，每种情况下结合△ABC是钝角三角形的要求，再按“一个角是另一个角的3倍”分两类讨论，结合三角形内角和求出∠BAC的度数，进而计算∠OAC的度数，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵AB⊥OM，
∴∠OAB=90°，在Rt△AOB中，∠AOB=∠MON=60°，
∴∠ABO=90°-60°=30°。
△AOB三个内角分别为90°、60°、30°，不存在一个角是另一个角的3倍，因此△AOB不是“智慧三角形”。
(2) 证明：在△AOC中，∠AOC=60°，∠OAC=20°，
∴∠ACO=180°-∠AOC-∠OAC=180°-60°-20°=100°，
可得∠AOC=3∠OAC，且△AOC是钝角三角形，符合“智慧三角形”的定义，
∴△AOC为“智慧三角形”。
(3) 解：△ABC为“智慧三角形”，即△ABC为钝角三角形，且存在一个内角是另一个内角的3倍，分两类讨论：
① 当点C在线段OB上（不与O、B重合）时：
此时∠BAC＜90°，已知∠ABC=∠ABO=30°，
由三角形内角和得∠BAC+∠ACB=180°-30°=150°，此时钝角为∠ACB＞90°。
Ⅰ. 若∠ABC=3∠BAC，即30°=3∠BAC，解得∠BAC=10°，
∴∠OAC=∠OAB-∠BAC=90°-10°=80°；
Ⅱ. 若∠ACB=3∠BAC，代入得∠BAC+3∠BAC=150°，解得∠BAC=37.5°，
∴∠OAC=90°-37.5°=52.5°；
② 当点C在线段OB的延长线上时：
此时∠ABC=180°-∠ABO=180°-30°=150°，为钝角，
由三角形内角和得∠ACB+∠BAC=180°-150°=30°。
Ⅰ. 若∠ACB=3∠BAC，代入得3∠BAC+∠BAC=30°，解得∠BAC=7.5°，
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°+7.5°=97.5°；
Ⅱ. 若∠BAC=3∠ACB，代入得3∠ACB+∠ACB=30°，解得∠ACB=7.5°，∠BAC=22.5°，
∴∠OAC=90°+22.5°=112.5°。
综上所述，满足条件的∠OAC的度数为80°或52.5°或97.5°或112.5°。
【答案】
(1) $\boxed{30}$；$\boxed{不是}$
(2) 证明见上述解析
(3) $\boxed{80°}$或$\boxed{52.5°}$或$\boxed{97.5°}$或$\boxed{112.5°}$
【知识点】
直角三角形的性质；三角形内角和定理；新定义问题
【点评】
本题为新定义类几何题，核心考查三角形内角和的应用，解题关键是准确理解“智慧三角形”的定义，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免遗漏情况导致漏解。
【难度系数】
0.5
