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1. 如图,点 B,C 分别在$∠ EAF$的边 AE,AF 上,点 D在线段 AC 上.下列是$△ ABD$的外角的是（
A.$∠ BCF$
B.$∠ CBE$
C.$∠ DBC$
D.$∠ BDF$
D
）A.$∠ BCF$
B.$∠ CBE$
C.$∠ DBC$
D.$∠ BDF$
答案
1. D
解析
【分析】
解决本题首先要明确三角形外角的定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角就是三角形的外角，它满足三个特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。我们只需对照这三个特征，逐一判断各选项是否符合△ABD外角的要求即可。
【解析】
△ABD的三个顶点为A、B、D，逐一分析选项：
选项A：∠BCF的顶点是C，不是△ABD的顶点，不符合外角特征，排除；
选项B：∠CBE的顶点是B，其两条边是BC、BE，不属于△ABD的边或边的延长线，不符合外角特征，排除；
选项C：∠DBC在△ABD内部，是△BCD的内角，不符合外角特征，排除；
选项D：∠BDF的顶点是D（是△ABD的顶点），一条边BD是△ABD的边，另一条边DF是△ABD的边AD的延长线，完全符合三角形外角的定义，是△ABD的外角。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对三角形外角定义的理解和应用，只要牢牢掌握三角形外角的三个特征，结合图形就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确三角形外角的定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角就是三角形的外角，它满足三个特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一条边；③另一条边是三角形某条边的延长线。我们只需对照这三个特征，逐一判断各选项是否符合△ABD外角的要求即可。
【解析】
△ABD的三个顶点为A、B、D，逐一分析选项：
选项A：∠BCF的顶点是C，不是△ABD的顶点，不符合外角特征，排除；
选项B：∠CBE的顶点是B，其两条边是BC、BE，不属于△ABD的边或边的延长线，不符合外角特征，排除；
选项C：∠DBC在△ABD内部，是△BCD的内角，不符合外角特征，排除；
选项D：∠BDF的顶点是D（是△ABD的顶点），一条边BD是△ABD的边，另一条边DF是△ABD的边AD的延长线，完全符合三角形外角的定义，是△ABD的外角。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对三角形外角定义的理解和应用，只要牢牢掌握三角形外角的三个特征，结合图形就能快速判断得出结果。
【难度系数】
0.9
2. [2025 威海] 如图，直线 $ CF // DE $，$ ∠ ACB = 90° $，$ ∠ A = 30° $。若$ ∠ 1 = 18° $，则$ ∠ 2 $等于（
A.$ 42° $
B.$ 38° $
C.$ 36° $
D.$ 30° $
A
）A.$ 42° $
B.$ 38° $
C.$ 36° $
D.$ 30° $
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出Rt△ABC中∠ABC的度数，再结合平行线的性质，通过作辅助线构造内错角，实现已知角∠1和未知角∠2的转化，进而求出∠2的大小。具体思路：1. 在△ACB中，已知∠ACB和∠A的度数，根据三角形内角和为180°可求出∠ABC的度数；2. 过点B作平行于CF的直线，利用平行线的传递性得到该直线也平行于DE，再根据两直线平行内错角相等，逐步推导∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC = 180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 30° = 60°$。
过点B作$BG// CF$，
$\because CF// DE$（已知），
$\therefore BG// DE$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\because BG// CF$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ CBG = 18°$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ ABG = ∠ ABC - ∠ CBG = 60° - 18° = 42°$。
又$\because BG// DE$，
$\therefore ∠ 2 = ∠ ABG = 42°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础题，主要考查平行线的性质和三角形内角和的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的角的转化关系，也可以通过其他作辅助线的方式求解，方法较为灵活。
【难度系数】
0.75
解题时首先利用三角形内角和定理求出Rt△ABC中∠ABC的度数，再结合平行线的性质，通过作辅助线构造内错角，实现已知角∠1和未知角∠2的转化，进而求出∠2的大小。具体思路：1. 在△ACB中，已知∠ACB和∠A的度数，根据三角形内角和为180°可求出∠ABC的度数；2. 过点B作平行于CF的直线，利用平行线的传递性得到该直线也平行于DE，再根据两直线平行内错角相等，逐步推导∠2的度数。
【解析】
在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC = 180° - ∠ ACB - ∠ A = 180° - 90° - 30° = 60°$。
过点B作$BG// CF$，
$\because CF// DE$（已知），
$\therefore BG// DE$（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
$\because BG// CF$，
$\therefore ∠ 1 = ∠ CBG = 18°$（两直线平行，内错角相等）。
$\therefore ∠ ABG = ∠ ABC - ∠ CBG = 60° - 18° = 42°$。
又$\because BG// DE$，
$\therefore ∠ 2 = ∠ ABG = 42°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质
【点评】
本题是几何基础题，主要考查平行线的性质和三角形内角和的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的角的转化关系，也可以通过其他作辅助线的方式求解，方法较为灵活。
【难度系数】
0.75
3. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD且分别交AB,AD,AC及BC的延长线于点E,H,F,G.若∠B=45°,∠ACB=75°,则∠G= (
A.15°
B.22.5°
C.27.5°
D.30°
A
)A.15°
B.22.5°
C.27.5°
D.30°
答案
3. A 【点拨】
∵ ∠B = 45°, ∠ACB = 75°,
∴ ∠BAC = 180°−45°−75° = 60°.
∵ AD 平分 ∠BAC,
∴ ∠DAB = 1/2∠BAC = 30°.
∵ EG ⊥ AD,
∴ ∠AEF = 90°−∠DAB=60°.
∴ ∠G = ∠AEG − ∠ABC = 60°−45° = 15°. 故选 A.
∵ ∠B = 45°, ∠ACB = 75°,
∴ ∠BAC = 180°−45°−75° = 60°.
∵ AD 平分 ∠BAC,
∴ ∠DAB = 1/2∠BAC = 30°.
∵ EG ⊥ AD,
∴ ∠AEF = 90°−∠DAB=60°.
∴ ∠G = ∠AEG − ∠ABC = 60°−45° = 15°. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠B和∠ACB的度数，先求出△ABC中∠BAC的大小；再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数；接着由EG⊥AD，在直角三角形AHE中利用直角三角形两锐角互余求出∠AEF的度数；最后根据三角形外角的性质，∠AEF是△BEG的外角，等于不相邻的两个内角∠B和∠G的和，代入已知角度即可求出∠G的度数。
【解析】
解：在△ABC中，三角形内角和为180°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 45° - 75° = 60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∵EG⊥AD，即∠AHE = 90°，
∴在Rt△AHE中，∠AEF = 90° - ∠DAB = 90° - 30° = 60°，
又
∵∠AEF是△BEG的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AEF = ∠B + ∠G，
∴∠G = ∠AEF - ∠B = 60° - 45° = 15°。
【答案】A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题核心是梳理清楚各角之间的数量关系，熟练掌握三角形相关角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠B和∠ACB的度数，先求出△ABC中∠BAC的大小；再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数；接着由EG⊥AD，在直角三角形AHE中利用直角三角形两锐角互余求出∠AEF的度数；最后根据三角形外角的性质，∠AEF是△BEG的外角，等于不相邻的两个内角∠B和∠G的和，代入已知角度即可求出∠G的度数。
【解析】
解：在△ABC中，三角形内角和为180°，
∴∠BAC = 180° - ∠B - ∠ACB = 180° - 45° - 75° = 60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°，
∵EG⊥AD，即∠AHE = 90°，
∴在Rt△AHE中，∠AEF = 90° - ∠DAB = 90° - 30° = 60°，
又
∵∠AEF是△BEG的外角，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴∠AEF = ∠B + ∠G，
∴∠G = ∠AEF - ∠B = 60° - 45° = 15°。
【答案】A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算类题目，解题核心是梳理清楚各角之间的数量关系，熟练掌握三角形相关角度性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，将一张三角形纸片ABC折叠，使点A落在$A'$处，折痕为DE，若$∠ A=α$，$∠ CEA'=β$，$∠ BDA'=\gamma$，那么下列式子中正确的是（
A.$\gamma=180°-α-β$
B.$\gamma=α+2β$
C.$\gamma=2α+β$
D.$\gamma=α+β$
C
）A.$\gamma=180°-α-β$
B.$\gamma=α+2β$
C.$\gamma=2α+β$
D.$\gamma=α+β$
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质得到对应角相等，即$∠ A'=∠ A=α$；再结合三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，通过两次运用外角性质逐步推导$∠ BDA'$（$\gamma$）和$α$、$β$的关系即可。
【解析】
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此$∠ A'=∠ A=α$。
设$A'D$与$CE$交于点$F$：
1. 在$△ A'EF$中，$∠ AFD$是它的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ AFD = ∠ A' + ∠ CEA' = α + β$
2. 在$△ ADF$中，$∠ BDA'$（即$\gamma$）是它的外角，再根据三角形外角的性质可得：
$\gamma = ∠ A + ∠ AFD$
将$∠ A=α$，$∠ AFD=α+β$代入上式，计算得：
$\gamma = α + (α + β) = 2α + β$
因此选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题是典型的折叠类角度计算问题，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，以及三角形外角的性质，通过两次运用外角性质即可快速建立三个角度之间的关系，属于几何角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质得到对应角相等，即$∠ A'=∠ A=α$；再结合三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，通过两次运用外角性质逐步推导$∠ BDA'$（$\gamma$）和$α$、$β$的关系即可。
【解析】
由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此$∠ A'=∠ A=α$。
设$A'D$与$CE$交于点$F$：
1. 在$△ A'EF$中，$∠ AFD$是它的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ AFD = ∠ A' + ∠ CEA' = α + β$
2. 在$△ ADF$中，$∠ BDA'$（即$\gamma$）是它的外角，再根据三角形外角的性质可得：
$\gamma = ∠ A + ∠ AFD$
将$∠ A=α$，$∠ AFD=α+β$代入上式，计算得：
$\gamma = α + (α + β) = 2α + β$
因此选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；三角形外角的性质；角的和差计算
【点评】
本题是典型的折叠类角度计算问题，解题的关键是熟练掌握折叠前后对应角相等的性质，以及三角形外角的性质，通过两次运用外角性质即可快速建立三个角度之间的关系，属于几何角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.6
5. 如图，D是$△ ABC$的边BC上一点，AE平分$∠ BAD$，$∠ CAE=∠ CEA$，$∠ C=∠ BAD$，若$∠ B=40°$，求$∠ CAE$的度数.
答案
5. 【解】如图.
∵AE平分∠BAD，
∴∠1=∠2.
∵∠CAE=∠CEA，
∴∠2+∠3=∠1+∠B.
∴∠3=∠B=40°.
∵∠1+∠2+∠3+∠B+∠C=180°,∠C=∠BAD=2∠2,
∴∠2=25°.
∴∠CAE=∠2+∠3=25°+40°=65°.
解析
【分析】
解题时先从已知的角平分线条件入手，得到∠1=∠2；再利用三角形外角的性质，得出△ABE的外角∠CEA等于∠1与∠B的和，结合题目给出的∠CAE=∠CEA，通过等量代换推出∠3的度数；之后利用三角形内角和为180°，结合∠C=∠BAD的条件，求出∠2的度数；最后计算∠2与∠3的和即可得到∠CAE的度数。
【解析】
设∠BAE=∠1，∠EAD=∠2，∠DAC=∠3。
1. 因为AE平分∠BAD，根据角平分线的定义可得：$\boldsymbol{∠1=∠2}$。
2. ∠CEA是△ABE的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），可得：$\boldsymbol{∠CEA=∠1+∠B}$。
3. 已知∠CAE=∠CEA，且∠CAE=∠2+∠3，代入得$∠2+∠3=∠1+∠B$，又因为∠1=∠2，两边消去相等的角可得$\boldsymbol{∠3=∠B=40°}$。
4. 在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$，其中$∠ BAC=∠1+∠2+∠3$，$∠ C=∠ BAD=∠1+∠2=2∠2$，将$∠ B=40°$、$∠3=40°$、$∠ C=2∠2$代入得：
$∠2+∠2+40°+40°+2∠2=180°$
整理得$4∠2=100°$，解得$\boldsymbol{∠2=25°}$。
5. 因此$\boldsymbol{∠CAE=∠2+∠3=25°+40°=65°}$。
【答案】
∠CAE的度数为65°。
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的综合题型，需要灵活运用角平分线、三角形外角及内角和相关性质，通过多次等量代换推导未知角的度数，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解题时先从已知的角平分线条件入手，得到∠1=∠2；再利用三角形外角的性质，得出△ABE的外角∠CEA等于∠1与∠B的和，结合题目给出的∠CAE=∠CEA，通过等量代换推出∠3的度数；之后利用三角形内角和为180°，结合∠C=∠BAD的条件，求出∠2的度数；最后计算∠2与∠3的和即可得到∠CAE的度数。
【解析】
设∠BAE=∠1，∠EAD=∠2，∠DAC=∠3。
1. 因为AE平分∠BAD，根据角平分线的定义可得：$\boldsymbol{∠1=∠2}$。
2. ∠CEA是△ABE的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），可得：$\boldsymbol{∠CEA=∠1+∠B}$。
3. 已知∠CAE=∠CEA，且∠CAE=∠2+∠3，代入得$∠2+∠3=∠1+∠B$，又因为∠1=∠2，两边消去相等的角可得$\boldsymbol{∠3=∠B=40°}$。
4. 在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$，其中$∠ BAC=∠1+∠2+∠3$，$∠ C=∠ BAD=∠1+∠2=2∠2$，将$∠ B=40°$、$∠3=40°$、$∠ C=2∠2$代入得：
$∠2+∠2+40°+40°+2∠2=180°$
整理得$4∠2=100°$，解得$\boldsymbol{∠2=25°}$。
5. 因此$\boldsymbol{∠CAE=∠2+∠3=25°+40°=65°}$。
【答案】
∠CAE的度数为65°。
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形角度计算的综合题型，需要灵活运用角平分线、三角形外角及内角和相关性质，通过多次等量代换推导未知角的度数，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
6. 如图，$∠ A,∠ 1,∠ 2$的大小关系是 （
A.$∠ A＞∠ 1＞∠ 2$
B.$∠ 2＞∠ 1＞∠ A$
C.$∠ A＞∠ 2＞∠ 1$
D.$∠ 2＞∠ A＞∠ 1$
B
）A.$∠ A＞∠ 1＞∠ 2$
B.$∠ 2＞∠ 1＞∠ A$
C.$∠ A＞∠ 2＞∠ 1$
D.$∠ 2＞∠ A＞∠ 1$
答案
6. B
解析
【分析】
要比较∠A、∠1、∠2的大小，可利用三角形外角的性质解题：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。首先判断∠2是△BCD的外角，可得∠2与∠1的大小关系；再判断∠1是△ABC的外角，可得∠1与∠A的大小关系，最后整合结论即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。
1. ∠2是△BCD的外角，∠1是△BCD中与∠2不相邻的内角，因此$\boldsymbol{∠2＞∠1}$；
2. ∠1是△ABC的外角，∠A是△ABC中与∠1不相邻的内角，因此$\boldsymbol{∠1＞∠A}$；
综上可得：$∠2＞∠1＞∠A$。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质、角的大小比较
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是准确识别每个角对应的三角形外角，找到对应不相邻的内角，结合外角性质就能快速判断角的大小关系。
【难度系数】
0.8
要比较∠A、∠1、∠2的大小，可利用三角形外角的性质解题：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。首先判断∠2是△BCD的外角，可得∠2与∠1的大小关系；再判断∠1是△ABC的外角，可得∠1与∠A的大小关系，最后整合结论即可。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。
1. ∠2是△BCD的外角，∠1是△BCD中与∠2不相邻的内角，因此$\boldsymbol{∠2＞∠1}$；
2. ∠1是△ABC的外角，∠A是△ABC中与∠1不相邻的内角，因此$\boldsymbol{∠1＞∠A}$；
综上可得：$∠2＞∠1＞∠A$。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质、角的大小比较
【点评】
本题是基础类题目，解题的关键是准确识别每个角对应的三角形外角，找到对应不相邻的内角，结合外角性质就能快速判断角的大小关系。
【难度系数】
0.8
7.如图,已知在$△ ABC$中,$∠1$是它的一个外角,点E为边AC上一点,点D在边BC的延长线上,连接DE,则下列结论中不一定正确的是 (
A.$∠1＞∠2$
B.$∠1＞∠3$
C.$∠3＞∠5$
D.$∠4＞∠5$
D
)A.$∠1＞∠2$
B.$∠1＞∠3$
C.$∠3＞∠5$
D.$∠4＞∠5$
答案
7. D 【点拨】根据三角形外角的性质可知∠1＞∠3，∠3＞∠2，∠3＞∠5，
∴∠1＞∠2，而∠4与∠5的大小无法判断.
∴∠1＞∠2，而∠4与∠5的大小无法判断.
解析
【分析】
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。我们逐个分析每个选项：首先确定每个外角对应的三角形，找到它的不相邻内角，判断角的大小关系，最后找无法确定大小关系的选项即可。首先∠1是△ABC的外角，可得∠1和∠3、∠4的大小关系；再看∠3是△DCE的外角，可得∠3和∠2、∠5的大小关系，结合不等式的传递性就能判断A、B、C的正误；最后看∠4和∠5，没有已知条件能确定二者的大小，即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. 分析∠1：∠1是△ABC的外角，与∠1不相邻的内角是∠3和∠4，因此$\boldsymbol{∠1＞∠3}$，$\boldsymbol{∠1＞∠4}$，故B选项结论正确。
2. 分析∠3：∠3是△DCE的外角，与∠3不相邻的内角是∠2和∠5，因此$\boldsymbol{∠3＞∠2}$，$\boldsymbol{∠3＞∠5}$，故C选项结论正确。
3. 结合$∠1＞∠3$，$∠3＞∠2$，由不等式的传递性可得$\boldsymbol{∠1＞∠2}$，故A选项结论正确。
4. 分析∠4和∠5：题中未给出可判断二者大小关系的条件，∠4与∠5的大小无法确定，因此D选项的结论不一定正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形外角性质的应用，解题关键是准确定位每个外角所属的三角形，明确其对应的不相邻内角，对于没有明确数量关系的角，不可主观臆断大小。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角。我们逐个分析每个选项：首先确定每个外角对应的三角形，找到它的不相邻内角，判断角的大小关系，最后找无法确定大小关系的选项即可。首先∠1是△ABC的外角，可得∠1和∠3、∠4的大小关系；再看∠3是△DCE的外角，可得∠3和∠2、∠5的大小关系，结合不等式的传递性就能判断A、B、C的正误；最后看∠4和∠5，没有已知条件能确定二者的大小，即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
1. 分析∠1：∠1是△ABC的外角，与∠1不相邻的内角是∠3和∠4，因此$\boldsymbol{∠1＞∠3}$，$\boldsymbol{∠1＞∠4}$，故B选项结论正确。
2. 分析∠3：∠3是△DCE的外角，与∠3不相邻的内角是∠2和∠5，因此$\boldsymbol{∠3＞∠2}$，$\boldsymbol{∠3＞∠5}$，故C选项结论正确。
3. 结合$∠1＞∠3$，$∠3＞∠2$，由不等式的传递性可得$\boldsymbol{∠1＞∠2}$，故A选项结论正确。
4. 分析∠4和∠5：题中未给出可判断二者大小关系的条件，∠4与∠5的大小无法确定，因此D选项的结论不一定正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形外角性质的应用，解题关键是准确定位每个外角所属的三角形，明确其对应的不相邻内角，对于没有明确数量关系的角，不可主观臆断大小。
【难度系数】
0.7
8. 如图,在△ABC中,在BC的延长线上取点D,E,连接AD,AE,则下列式子中正确的是 (
A.∠ACB＞∠ACD
B.∠ACB＞∠1+∠2+∠3
C.∠ACB＞∠2+∠3
D.以上都正确
C
)A.∠ACB＞∠ACD
B.∠ACB＞∠1+∠2+∠3
C.∠ACB＞∠2+∠3
D.以上都正确
答案
8. C 【点拨】
∵∠ACB=∠CAE+∠E=∠1+∠2+∠3，
∴∠ACB＞∠2+∠3.故C正确.
∵∠ACB=∠CAE+∠E=∠1+∠2+∠3，
∴∠ACB＞∠2+∠3.故C正确.
解析
【分析】
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任意一个与它不相邻的内角，再结合邻补角的性质逐个分析选项：首先判断A选项，∠ACB与∠ACD是邻补角，和为180°，大小关系不确定，排除A；再找∠ACB的等量关系：∠ACB是△ACE的外角，可得∠ACB=∠CAE+∠E，结合图中角的和差可知∠CAE=∠1+∠2、∠E=∠3，因此∠ACB=∠1+∠2+∠3，由此判断B错误；最后根据角的大小比较，因为∠1＞0，所以∠ACB大于∠2+∠3，即可确定正确选项。
【解析】
解：A. ∠ACB和∠ACD互为邻补角，即$∠ ACB + ∠ ACD = 180°$，二者大小关系无法确定，故A错误；
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
$∠ ACB$是$△ ACE$的外角，因此$∠ ACB = ∠ CAE + ∠ E$，
由图可知$∠ CAE = ∠ 1 + ∠ 2$，$∠ E = ∠ 3$，
代入得$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$，故B错误；
$\because ∠ 1 ＞ 0$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 ＞ ∠ 2 + ∠ 3$，故C正确；
因为A、B选项均错误，所以D选项“以上都正确”不成立。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用考题，解题的关键是准确识别外角对应的不相邻内角，再结合角的和差关系进行大小比较即可，解题时要注意仔细观察图形中角的组成，避免看错角的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任意一个与它不相邻的内角，再结合邻补角的性质逐个分析选项：首先判断A选项，∠ACB与∠ACD是邻补角，和为180°，大小关系不确定，排除A；再找∠ACB的等量关系：∠ACB是△ACE的外角，可得∠ACB=∠CAE+∠E，结合图中角的和差可知∠CAE=∠1+∠2、∠E=∠3，因此∠ACB=∠1+∠2+∠3，由此判断B错误；最后根据角的大小比较，因为∠1＞0，所以∠ACB大于∠2+∠3，即可确定正确选项。
【解析】
解：A. ∠ACB和∠ACD互为邻补角，即$∠ ACB + ∠ ACD = 180°$，二者大小关系无法确定，故A错误；
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
$∠ ACB$是$△ ACE$的外角，因此$∠ ACB = ∠ CAE + ∠ E$，
由图可知$∠ CAE = ∠ 1 + ∠ 2$，$∠ E = ∠ 3$，
代入得$∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$，故B错误；
$\because ∠ 1 ＞ 0$，
$\therefore ∠ ACB = ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 ＞ ∠ 2 + ∠ 3$，故C正确；
因为A、B选项均错误，所以D选项“以上都正确”不成立。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的性质，邻补角的定义
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用考题，解题的关键是准确识别外角对应的不相邻内角，再结合角的和差关系进行大小比较即可，解题时要注意仔细观察图形中角的组成，避免看错角的和差关系。
【难度系数】
0.7
9. 如图,在$△ ABC$中,AE平分$∠ BAC$,$AD⊥ BC$交CB的延长线于点D.$∠ ABD$的平分线BF所在直线与射线AE相交于点G,若$∠ ABC=2∠ C$,且$∠ G=25°$,则$∠ DFB$的度数是 (
A.$55°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$50°$
D
)A.$55°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$50°$
答案
9. D 【点拨】设∠BAE=α.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2α.
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠BAC+∠C=2α+∠C.
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF=1/2∠ABD=α+1/2∠C.
∵∠ABF是△ABG的外角，∠G=25°，
∴∠ABF=∠BAE+∠G=α+25°.
∴α+1/2∠C=α+25°.
∴∠C=50°.
∴∠ABC=2∠C=100°.
∴∠ABD=180°−∠ABC=80°.
∴∠DBF=1/2∠ABD=40°.
∵AD⊥BC交CB的延长线于点D，
∴∠D=90°.
∴∠DFB=90°−∠DBF=90°−40°=50°. 故选 D.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2α.
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠BAC+∠C=2α+∠C.
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF=1/2∠ABD=α+1/2∠C.
∵∠ABF是△ABG的外角，∠G=25°，
∴∠ABF=∠BAE+∠G=α+25°.
∴α+1/2∠C=α+25°.
∴∠C=50°.
∴∠ABC=2∠C=100°.
∴∠ABD=180°−∠ABC=80°.
∴∠DBF=1/2∠ABD=40°.
∵AD⊥BC交CB的延长线于点D，
∴∠D=90°.
∴∠DFB=90°−∠DBF=90°−40°=50°. 故选 D.
解析
【分析】
本题可通过设未知数结合角平分线定义、三角形外角性质建立等量关系求解。首先设∠BAE=α，根据角平分线的性质可表示出∠BAC；再利用三角形外角的性质分别表示出∠ABD和∠ABF，结合∠ABF也是△ABG的外角，建立等式消去α求出∠C的度数；之后依次求出∠ABC、∠ABD、∠DBF的度数，最后在Rt△DFB中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DFB的度数。
【解析】
设∠BAE=α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2α，
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠BAC+∠C=2α+∠C，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABD=α+$\frac{1}{2}$∠C，
∵∠ABF是△ABG的外角，且∠G=25°，
∴∠ABF=∠BAE+∠G=α+25°，
联立得：α+$\frac{1}{2}$∠C=α+25°，解得∠C=50°，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=2×50°=100°，
∴∠ABD=180°−∠ABC=180°−100°=80°，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵AD⊥BC，即∠D=90°，
∴在Rt△DFB中，∠DFB=90°−∠DBF=90°−40°=50°。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的综合题，解题核心是灵活运用三角形外角的性质建立等量关系，通过设未知数消元的方法快速求出关键角的度数，再结合已知条件逐步推导所求角，能够有效考查角度计算的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
本题可通过设未知数结合角平分线定义、三角形外角性质建立等量关系求解。首先设∠BAE=α，根据角平分线的性质可表示出∠BAC；再利用三角形外角的性质分别表示出∠ABD和∠ABF，结合∠ABF也是△ABG的外角，建立等式消去α求出∠C的度数；之后依次求出∠ABC、∠ABD、∠DBF的度数，最后在Rt△DFB中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠DFB的度数。
【解析】
设∠BAE=α，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=2α，
∵∠ABD是△ABC的外角，
∴∠ABD=∠BAC+∠C=2α+∠C，
∵BF平分∠ABD，
∴∠ABF=∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABD=α+$\frac{1}{2}$∠C，
∵∠ABF是△ABG的外角，且∠G=25°，
∴∠ABF=∠BAE+∠G=α+25°，
联立得：α+$\frac{1}{2}$∠C=α+25°，解得∠C=50°，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=2×50°=100°，
∴∠ABD=180°−∠ABC=180°−100°=80°，
∴∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABD=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵AD⊥BC，即∠D=90°，
∴在Rt△DFB中，∠DFB=90°−∠DBF=90°−40°=50°。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的综合题，解题核心是灵活运用三角形外角的性质建立等量关系，通过设未知数消元的方法快速求出关键角的度数，再结合已知条件逐步推导所求角，能够有效考查角度计算的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
10. ★★ 新考法 整体求值法 如图，D,E,F分别是△ABC三边延长线上的点，∠D+∠E+∠F=107°,则∠1+∠2+∠3的度数为
73°
。答案
10. 73° 【点拨】根据三角形的外角性质得∠D+∠3=∠CAB，∠E+∠1=∠ABC，∠F+∠2=∠ACB，利用三角形内角和定理及已知条件即可求解.
解析
【分析】
解题时首先观察图形，结合三角形外角的性质，找到△ABC的三个内角分别与∠D、∠E、∠F及∠1、∠2、∠3的数量关系，再利用三角形内角和定理得到三个内角总和为180°，最后将已知的∠D+∠E+∠F=107°整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据三角形外角的性质可得：
$∠ CAB = ∠ D + ∠ 3$，
$∠ ABC = ∠ E + ∠ 1$，
$∠ ACB = ∠ F + ∠ 2$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ CAB + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
将上述三个式子代入得：
$(∠ D + ∠ 3) + (∠ E + ∠ 1) + (∠ F + ∠ 2) = 180°$，
整理得：$(∠ D + ∠ E + ∠ F) + (∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3) = 180°$，
已知$∠ D + ∠ E + ∠ F = 107°$，代入上式得：
$107° + (∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3) = 180°$，
解得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° - 107° = 73°$。
【答案】
$73°$
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理；整体代入求值
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题核心是熟练掌握三角形外角性质和内角和定理，运用整体代换的思想可以简化计算过程，无需单独求解每个角的度数。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，结合三角形外角的性质，找到△ABC的三个内角分别与∠D、∠E、∠F及∠1、∠2、∠3的数量关系，再利用三角形内角和定理得到三个内角总和为180°，最后将已知的∠D+∠E+∠F=107°整体代入计算即可得到结果。
【解析】
根据三角形外角的性质可得：
$∠ CAB = ∠ D + ∠ 3$，
$∠ ABC = ∠ E + ∠ 1$，
$∠ ACB = ∠ F + ∠ 2$，
在$△ ABC$中，由三角形内角和定理得：
$∠ CAB + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$，
将上述三个式子代入得：
$(∠ D + ∠ 3) + (∠ E + ∠ 1) + (∠ F + ∠ 2) = 180°$，
整理得：$(∠ D + ∠ E + ∠ F) + (∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3) = 180°$，
已知$∠ D + ∠ E + ∠ F = 107°$，代入上式得：
$107° + (∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3) = 180°$，
解得：$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° - 107° = 73°$。
【答案】
$73°$
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理；整体代入求值
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题核心是熟练掌握三角形外角性质和内角和定理，运用整体代换的思想可以简化计算过程，无需单独求解每个角的度数。
【难度系数】
0.7
