11. ★★ 在△ABC中,∠C=80°,点D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点(不与A,B,C重合),点P是平面内一动点(P与D,E不在同一直线上).令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在边AB上,如图①所示,且∠α=40°,则∠1+∠2=°.
(2)若点P在如图②所示的位置,则∠α,∠1,∠2之间有何关系?说明理由.
(3)若点P在△ABC的边BA的延长线上运动(CE ＜ CD),求出∠α,∠1,∠2之间的关系.

11. 【解】(1)120 【点拨】连接 CP.
∵∠1=∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE,
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC=∠ACB+∠DPE=∠ACB+∠α.
∵∠ACB=80°,∠α=40°,
∴∠1+∠2=80°+40°=120°.故答案为 120.
(2)∠2−∠1=∠α−80°.理由如下：
根据三角形外角的性质可知，∠2−∠α=∠1−80°,则∠2−∠1=∠α−80°.
(3)①如图①,连接 CP.
∵∠2=80°+∠3+∠α+∠4,∠1=∠3+∠4，
∴∠2=80°+∠α+∠1,则∠2−∠1=∠α+80°.

②如图②,连接 CP.
∵∠2 = 80°+∠3+∠4,∠1 = ∠3+∠4+∠α,
∴∠2−∠1=80°−∠α.

综上,∠2−∠1=∠α+80°或∠2−∠1=80°−∠α.

【分析】
(1) 第一问求∠1+∠2的度数，可通过连接CP构造三角形外角，利用三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，将∠1、∠2拆分为含∠ACB和∠α的角相加，整理得到三者的等量关系后代入数值计算即可。
(2) 第二问探究三个角的数量关系，利用三角形外角的性质找到公共过渡角，建立∠2、∠α与∠1、∠ACB的等量关系，整理后即可得出结论。
(3) 第三问点P在BA延长线上运动，需分两种情况讨论：根据∠α的位置不同，连接CP将∠1、∠2用公共角、∠ACB和∠α表示，消去公共角后即可得到对应关系。
【解析】
(1) 连接CP，由三角形外角的性质可得：
∠1=∠DCP+∠DPC，∠2=∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC=∠ACB+∠DPE=∠ACB+∠α，
∵∠ACB=80°，∠α=40°，
∴∠1+∠2=80°+40°=120°。
(2) ∠2−∠1=∠α−80°，理由如下：
根据三角形外角的性质可知∠2−∠α=∠1−80°，移项整理得∠2−∠1=∠α−80°。
(3) 分两种情况讨论：
① 如图①，连接CP：
∵∠2=80°+∠3+∠α+∠4，∠1=∠3+∠4，
∴∠2=80°+∠α+∠1，即∠2−∠1=∠α+80°。

② 如图②，连接CP：
∵∠2 = 80°+∠3+∠4，∠1 = ∠3+∠4+∠α，
∴∠2−∠1=80°−∠α。

【答案】
(1) 120
(2) ∠2−∠1=∠α−80°
(3) ∠2−∠1=∠α+80°或∠2−∠1=80°−∠α，对应图示：


【知识点】
三角形外角性质，角的和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查三角形外角性质的灵活应用，需要通过角的拆分转化建立不同角之间的等量关系，第三问需注意点P运动时的位置差异，避免漏解，对几何逻辑推理能力有一定训练价值。
【难度系数】
0.6

12. ★★ 新考法变式探究法 请你参与下面探究过程，完成所提出的问题.
(1)探究1:如图①，P是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线的交点，若∠A = 70°，则∠BPC=.
(2)探究2:如图②，P是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的平分线的交点，探究∠BPC与∠A的数量关系.
(3)拓展:如图③，P是四边形ABCD的外角∠EBC，∠BCF的平分线的交点，设∠A+∠D=α.
①直接写出∠BPC与α的数量关系；
②根据α的值的情况，判断△BPC的形状(按角分类).

12. 【解】(1)125° 【点拨】
∵∠A = 70°,
∴∠ABC + ∠ACB = 180°−∠A = 110°.
∵ P 是 △ABC 的内角 ∠ABC, ∠ACB 的平分线的交点,
∴ ∠PBC = 1/2∠ABC, ∠BCP = 1/2∠ACB,
∴ ∠PBC + ∠BCP = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 55°.
∵ ∠PBC + ∠BCP + ∠BPC = 180°,
∴ ∠BPC=125°.
(2)
∵P是△ABC的外角∠DBC,∠ECB的平分线的交点，
∴ ∠PBC + ∠PCB = 1/2（∠DBC + ∠ECB）= 1/2(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC)=1/2(180°+∠A).
在△PBC中，∠BPC = 180°−(∠PBC + ∠PCB) = 180°−1/2(180°+∠A)=90°−1/2∠A.
(3)①∠BPC=180°−1/2α.
【点拨】如图，延长 BA,CD 交于点 Q,易得 α=∠BAD+∠CDA=180°+∠Q,
∴ ∠Q = α−180°. 由(2)可知 ∠BPC=90°−1/2∠Q,
∴∠BPC=180°−1/2α.
②
∵P是四边形ABCD的外角∠EBC,∠BCF的平分线的交点，
∴∠PBC = 1/2∠EBC ＜ 90°, ∠PCB = 1/2∠BCF＜90°. 当 0°＜α＜180°时，∠BPC = 180°−1/2α＞90°,则△BPC是钝角三角形；当α=180°时，∠BPC=180°−1/2α=90°,则△BPC是直角三角形；当180°＜α＜360°时，∠BPC = 180°−1/2α＜90°,则△BPC是锐角三角形.

【分析】
(1) 先利用三角形内角和求出$∠ ABC+∠ ACB$的度数，再根据角平分线的定义得到$∠ PBC+∠ PCB$的度数，最后再次用三角形内角和即可求出$∠ BPC$的度数。
(2) 先根据三角形外角的性质，把$∠ DBC+∠ ECB$用$∠ A$和$△ ABC$的内角和表示，再结合角平分线定义得到$∠ PBC+∠ PCB$的度数，最后用三角形内角和推导$∠ BPC$和$∠ A$的数量关系。
(3) ① 延长$BA$、$CD$交于点$Q$，把四边形的问题转化为(2)中的三角形外角平分线的模型，先推出$∠ Q$和$α$的关系，再代入(2)的结论即可得到$∠ BPC$和$α$的关系；② 根据$∠ BPC$的取值，结合$α$的范围分类讨论，同时注意$∠ PBC$和$∠ PCB$都是外角的一半，一定是锐角，只需根据$∠ BPC$的大小判断三角形类型即可。
【解析】
(1) 已知$∠ A=70°$，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180°-∠ A = 180°-70°=110°$，
∵$P$是$∠ ABC$、$∠ ACB$的平分线交点，
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ BCP = \frac{1}{2}∠ ACB$，
∴$∠ PBC + ∠ BCP = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×110°=55°$，
在$△ PBC$中，$∠ BPC = 180°-(∠ PBC + ∠ BCP) = 180°-55°=125°$。
(2)
∵$∠ DBC$是$△ ABC$的外角，
∴$∠ DBC = ∠ A + ∠ ACB$，同理$∠ ECB = ∠ A + ∠ ABC$，
∴$∠ DBC + ∠ ECB = ∠ A + ∠ ACB + ∠ A + ∠ ABC = (∠ A + ∠ ACB + ∠ ABC) + ∠ A = 180° + ∠ A$，
∵$P$是$∠ DBC$、$∠ ECB$的平分线交点，
∴$∠ PBC + ∠ PCB = \frac{1}{2}(∠ DBC + ∠ ECB) = \frac{1}{2}(180° + ∠ A)$，
在$△ PBC$中，$∠ BPC = 180°-(∠ PBC + ∠ PCB) = 180°-\frac{1}{2}(180° + ∠ A) = 90°-\frac{1}{2}∠ A$。
(3) ① 如图，延长$BA$、$CD$交于点$Q$，
在$△ QAD$中，$∠ QAD + ∠ QDA = 180°-∠ Q$，
∴$∠ BAD + ∠ CDA = (180°-∠ QAD) + (180°-∠ QDA) = 360°-(∠ QAD + ∠ QDA) = 360°-(180°-∠ Q) = 180° + ∠ Q$，
即$α = 180° + ∠ Q$，
∴$∠ Q = α-180°$，
由(2)的结论可知，$P$是$△ QBC$的外角$∠ EBC$、$∠ BCF$的平分线交点，故$∠ BPC = 90°-\frac{1}{2}∠ Q$，
代入$∠ Q = α-180°$得：$∠ BPC = 90°-\frac{1}{2}(α-180°) = 180°-\frac{1}{2}α$。
②
∵$P$是$∠ EBC$、$∠ BCF$的平分线交点，$∠ EBC$和$∠ BCF$都是四边形的外角，小于$180°$，
∴$∠ PBC = \frac{1}{2}∠ EBC ＜ 90°$，$∠ PCB = \frac{1}{2}∠ BCF ＜ 90°$，即$∠ PBC$和$∠ PCB$均为锐角：
当$0°＜α＜180°$时，$∠ BPC = 180°-\frac{1}{2}α ＞ 90°$，$△ BPC$是钝角三角形；
当$α=180°$时，$∠ BPC = 180°-\frac{1}{2}×180° = 90°$，$△ BPC$是直角三角形；
当$180°＜α＜360°$时，$∠ BPC = 180°-\frac{1}{2}α ＜ 90°$，$△ BPC$是锐角三角形。
【答案】
(1) $\boxed{125°}$
(2) $\boxed{∠ BPC=90°-\dfrac{1}{2}∠ A}$
(3) ① $\boxed{∠ BPC=180°-\dfrac{1}{2}α}$；②当$0°＜α＜180°$时$△ BPC$是钝角三角形，当$α=180°$时$△ BPC$是直角三角形，当$180°＜α＜360°$时$△ BPC$是锐角三角形

【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题是梯度递进的探究类题目，从三角形内角平分线、外角平分线的角度计算，延伸到四边形外角平分线的角度推导，渗透了转化思想（将四边形问题转化为三角形问题求解）和分类讨论思想，需要熟练掌握三角形内、外角的相关性质，灵活运用已有结论解决新问题。
【难度系数】
0.6