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1.在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要证明三角形内角和为180°，核心是通过角的等量代换，把三角形的三个内角拼接成一个平角，或者拼成一组互补的同旁内角，通常需要借助平行线的性质实现角的等量转化。我们逐一分析每个选项的辅助线能否实现上述转化即可判断。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 过点C作EF//AB，由平行线内错角相等可得∠A=∠ECA，∠B=∠FCB，又因为∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°（平角的定义），等量代换得∠A+∠B+∠ACB=180°，可以证明。
B. 延长AC到F，过点C作CE//AB，由平行线性质得∠A=∠FCE（同位角相等），∠B=∠BCE（内错角相等），又∠ACB+∠BCE+∠FCE=180°（平角的定义），等量代换得三个内角和为180°，可以证明。
C. 过点D作DE//BC、DF//AC，由平行线性质得∠B=∠EDA，∠C=∠EDF，∠A=∠FDB，又∠EDA+∠EDF+∠FDB=180°（平角的定义），等量代换得三个内角和为180°，可以证明。
D. 过点C作CD⊥AB于D，仅能得到∠CDA=∠CDB=90°，无法将△ABC的三个内角转化为和为180°的角，不能证明三角形内角和为180°。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内角和定理的证明逻辑，核心是理解“转化”思想的应用，即通过辅助线将分散的三个内角拼接为180°的角，解题时要熟练运用平行线的性质完成角的等量代换。
【难度系数】
0.7
要证明三角形内角和为180°，核心是通过角的等量代换，把三角形的三个内角拼接成一个平角，或者拼成一组互补的同旁内角，通常需要借助平行线的性质实现角的等量转化。我们逐一分析每个选项的辅助线能否实现上述转化即可判断。
【解析】
我们逐个分析各选项：
A. 过点C作EF//AB，由平行线内错角相等可得∠A=∠ECA，∠B=∠FCB，又因为∠ECA+∠ACB+∠FCB=180°（平角的定义），等量代换得∠A+∠B+∠ACB=180°，可以证明。
B. 延长AC到F，过点C作CE//AB，由平行线性质得∠A=∠FCE（同位角相等），∠B=∠BCE（内错角相等），又∠ACB+∠BCE+∠FCE=180°（平角的定义），等量代换得三个内角和为180°，可以证明。
C. 过点D作DE//BC、DF//AC，由平行线性质得∠B=∠EDA，∠C=∠EDF，∠A=∠FDB，又∠EDA+∠EDF+∠FDB=180°（平角的定义），等量代换得三个内角和为180°，可以证明。
D. 过点C作CD⊥AB于D，仅能得到∠CDA=∠CDB=90°，无法将△ABC的三个内角转化为和为180°的角，不能证明三角形内角和为180°。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形内角和定理的证明逻辑，核心是理解“转化”思想的应用，即通过辅助线将分散的三个内角拼接为180°的角，解题时要熟练运用平行线的性质完成角的等量代换。
【难度系数】
0.7
2. 如图，已知$∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，垂足为$D$.则下列结论中一定正确的是 （
A.$∠1=∠ A$
B.$∠1+∠ B=90°$
C.$∠2=∠ A$
D.$∠ A=∠ B$
C
）A.$∠1=∠ A$
B.$∠1+∠ B=90°$
C.$∠2=∠ A$
D.$∠ A=∠ B$
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先结合已知的两个直角条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，分别表示出各个直角三角形中两个锐角的和，再根据“同角的余角相等”推导角的等量关系，最后逐一判断选项即可。首先由∠ACB=90°可得△ACB是直角三角形，∠A+∠B=90°；再由CD⊥AB可得△ACD、△BCD都是直角三角形，因此∠1+∠A=90°、∠2+∠B=90°，再通过等量代换推导角的关系，判断选项正误。
【解析】
已知∠ACB=90°，CD⊥AB，所以△ACB、△ACD、△BCD均为直角三角形：
1. 根据直角三角形两锐角互余的性质：
在Rt△ACB中：$∠ A + ∠ B = 90°$；
在Rt△ACD中：$∠ 1 + ∠ A = 90°$；
在Rt△BCD中：$∠ 2 + ∠ B = 90°$。
2. 根据同角的余角相等推导等量关系：
由$∠ 1 + ∠ A = 90°$、$∠ A + ∠ B = 90°$，可得$∠ 1=∠ B$；
由$∠ 2 + ∠ B = 90°$、$∠ A + ∠ B = 90°$，可得$∠ 2=∠ A$。
3. 逐一判断选项：
A选项：$∠1=∠ A$仅在△ACB为等腰直角三角形时成立，不是一定正确，错误；
B选项：由$∠1=∠ B$得$∠1+∠ B=2∠ B$，不一定等于$90°$，错误；
C选项：$∠2=∠ A$推导成立，正确；
D选项：$∠ A=∠ B$仅在△ACB为等腰直角三角形时成立，不是一定正确，错误。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是三角形角度关系的基础题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和余角的性质，注意题目要求选“一定正确”的结论，要排除仅特殊情况成立的选项。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知的两个直角条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，分别表示出各个直角三角形中两个锐角的和，再根据“同角的余角相等”推导角的等量关系，最后逐一判断选项即可。首先由∠ACB=90°可得△ACB是直角三角形，∠A+∠B=90°；再由CD⊥AB可得△ACD、△BCD都是直角三角形，因此∠1+∠A=90°、∠2+∠B=90°，再通过等量代换推导角的关系，判断选项正误。
【解析】
已知∠ACB=90°，CD⊥AB，所以△ACB、△ACD、△BCD均为直角三角形：
1. 根据直角三角形两锐角互余的性质：
在Rt△ACB中：$∠ A + ∠ B = 90°$；
在Rt△ACD中：$∠ 1 + ∠ A = 90°$；
在Rt△BCD中：$∠ 2 + ∠ B = 90°$。
2. 根据同角的余角相等推导等量关系：
由$∠ 1 + ∠ A = 90°$、$∠ A + ∠ B = 90°$，可得$∠ 1=∠ B$；
由$∠ 2 + ∠ B = 90°$、$∠ A + ∠ B = 90°$，可得$∠ 2=∠ A$。
3. 逐一判断选项：
A选项：$∠1=∠ A$仅在△ACB为等腰直角三角形时成立，不是一定正确，错误；
B选项：由$∠1=∠ B$得$∠1+∠ B=2∠ B$，不一定等于$90°$，错误；
C选项：$∠2=∠ A$推导成立，正确；
D选项：$∠ A=∠ B$仅在△ACB为等腰直角三角形时成立，不是一定正确，错误。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题是三角形角度关系的基础题，解题的关键是熟练掌握直角三角形的性质和余角的性质，注意题目要求选“一定正确”的结论，要排除仅特殊情况成立的选项。
【难度系数】
0.8
3. [2026 淮北第一中学期中] 两个直角三角板如图放置，则$∠ BFE$与$∠ CAF$的度数之和等于（
A.$140°$
B.$145°$
C.$150°$
D.$155°$
C
）A.$140°$
B.$145°$
C.$150°$
D.$155°$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先明确两个直角三角板的内角度数，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC和∠DAE的度数，作差得到∠CAF的度数；再根据同位角相等判定BC//DE，利用平行线的同旁内角互补求出∠BFE的度数，最后将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
解：由三角板的特征可知：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=90°-∠C=90°-30°=60°，
在Rt△ADE中，∠D=90°，∠E=45°，
∴∠DAE=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠CAF=∠BAC-∠DAE=60°-45°=15°，
∵∠ABC=∠D=90°，同位角相等，两直线平行，
∴BC//DE，
∴∠BFE+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BFE=180°-45°=135°，
∴∠BFE+∠CAF=135°+15°=150°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质，平行线的判定与性质，角度计算
【点评】
本题结合常见的直角三角板摆放问题考查角度计算，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、平行线的性质等基础知识点，准确找到角与角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
解题时先明确两个直角三角板的内角度数，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC和∠DAE的度数，作差得到∠CAF的度数；再根据同位角相等判定BC//DE，利用平行线的同旁内角互补求出∠BFE的度数，最后将两个角度相加即可得到结果。
【解析】
解：由三角板的特征可知：
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠BAC=90°-∠C=90°-30°=60°，
在Rt△ADE中，∠D=90°，∠E=45°，
∴∠DAE=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠CAF=∠BAC-∠DAE=60°-45°=15°，
∵∠ABC=∠D=90°，同位角相等，两直线平行，
∴BC//DE，
∴∠BFE+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BFE=180°-45°=135°，
∴∠BFE+∠CAF=135°+15°=150°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的性质，平行线的判定与性质，角度计算
【点评】
本题结合常见的直角三角板摆放问题考查角度计算，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余、平行线的性质等基础知识点，准确找到角与角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
4.[2026芜湖期中]如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°，则∠DAE的度数为（
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
A
）A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
4.A 【点拨】$\because ∠B=30°,∠C=50°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100°$. 又$\because AE$是$△ ABC$的角平分线，$\therefore ∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=50°. ∵AD$是$△ ABC$的高，$\therefore ∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°. ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°$.
解析
【分析】
要计算∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先已知△ABC的两个内角∠B和∠C，利用三角形内角和为180°先求出∠BAC的度数；其次AE是角平分线，根据角平分线的定义可求出∠BAE的度数；然后AD是三角形的高，可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAD的度数；最后观察图形可得∠DAE是∠BAD与∠BAE的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-50°=100°$
∵AE是△ABC的角平分线，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$
∵AD是△ABC的高，
∴$AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=90°-30°=60°$
∴$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=60°-50°=10°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是梳理清楚角平分线、高对应的角的数量关系，结合三角形内角和定理逐步推导所求角度，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先已知△ABC的两个内角∠B和∠C，利用三角形内角和为180°先求出∠BAC的度数；其次AE是角平分线，根据角平分线的定义可求出∠BAE的度数；然后AD是三角形的高，可知△ABD是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求出∠BAD的度数；最后观察图形可得∠DAE是∠BAD与∠BAE的差，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-30°-50°=100°$
∵AE是△ABC的角平分线，
∴$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×100°=50°$
∵AD是△ABC的高，
∴$AD⊥ BC$，即$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90°-∠ B=90°-30°=60°$
∴$∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=60°-50°=10°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是梳理清楚角平分线、高对应的角的数量关系，结合三角形内角和定理逐步推导所求角度，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
5.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,点$E,F$分别为$AB$,$AC$上一点,将$△ ABC$沿直线$EF$翻折至同一平面内,点$A$落在点$A'$处,$EA'$,$FA'$分别交$BC$边于点$M,N$.若$∠ BEA'=80°$,则$∠ CFA'$的度数为（
A.$100°$
B.$110°$
C.$115°$
D.$120°$
A
）A.$100°$
B.$110°$
C.$115°$
D.$120°$
答案
5.A 【点拨】$\because ∠BEA'=80°,∴∠AEA'=180°-∠BEA'=100°$. 由折叠得$∠AFA'=2∠AFE,∠AEF=∠A'EF=\frac{1}{2}∠AEA'=50°. ∵∠A=90°,∴∠AFE=90°-∠AEF=40°. ∴∠AFA'=2∠AFE=80°$. $\therefore ∠CFA'=180°-∠AFA'=100°$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先利用邻补角的关系求出∠AEA'的度数，再根据折叠前后对应角相等的性质，得到∠AEF=∠A'EF，接着在Rt△AEF中利用直角三角形两锐角互余求出∠AFE的度数，再由折叠性质得到∠AFA'的度数，最后利用邻补角的关系即可求出∠CFA'的度数。
【解析】
解：$\because ∠ BEA'=80°$，
$\therefore ∠ AEA'=180°-∠ BEA'=180°-80°=100°$，
由折叠的性质可得：$∠ AEF=∠ A'EF=\frac{1}{2}∠ AEA'=\frac{1}{2}×100°=50°$，$∠ AFE=∠ A'FE$，
$\because ∠ A=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ AFE=90°-∠ AEF=90°-50°=40°$，
$\therefore ∠ AFA'=∠ AFE+∠ A'FE=2∠ AFE=2×40°=80°$，
$\therefore ∠ CFA'=180°-∠ AFA'=180°-80°=100°$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；直角三角形两锐角互余；邻补角的性质
【点评】
本题是折叠背景下的角度计算问题，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合直角三角形、邻补角的角度关系逐步推导，是几何角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用邻补角的关系求出∠AEA'的度数，再根据折叠前后对应角相等的性质，得到∠AEF=∠A'EF，接着在Rt△AEF中利用直角三角形两锐角互余求出∠AFE的度数，再由折叠性质得到∠AFA'的度数，最后利用邻补角的关系即可求出∠CFA'的度数。
【解析】
解：$\because ∠ BEA'=80°$，
$\therefore ∠ AEA'=180°-∠ BEA'=180°-80°=100°$，
由折叠的性质可得：$∠ AEF=∠ A'EF=\frac{1}{2}∠ AEA'=\frac{1}{2}×100°=50°$，$∠ AFE=∠ A'FE$，
$\because ∠ A=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AEF$中，$∠ AFE=90°-∠ AEF=90°-50°=40°$，
$\therefore ∠ AFA'=∠ AFE+∠ A'FE=2∠ AFE=2×40°=80°$，
$\therefore ∠ CFA'=180°-∠ AFA'=180°-80°=100°$。
故选：A
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质；直角三角形两锐角互余；邻补角的性质
【点评】
本题是折叠背景下的角度计算问题，解题关键是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合直角三角形、邻补角的角度关系逐步推导，是几何角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
6. 具备下列条件的$△ ABC$中，不是直角三角形的是（
A.$∠ A=∠ B=3∠ C$
B.$∠ A - ∠ B=∠ C$
C.$∠ A + ∠ B=∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
A
）A.$∠ A=∠ B=3∠ C$
B.$∠ A - ∠ B=∠ C$
C.$∠ A + ∠ B=∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
答案
6.A 【点拨】A. 由$∠A=∠B=3∠C$及$∠A+∠B+∠C=180°$可得$∠A=∠B=\frac{540°}{7},∠C=\frac{180°}{7}$,则$△ ABC$不是直角三角形,故符合题意; B. 由$∠A-∠B=∠C$及$∠A+∠B+∠C=180°$可得$∠A=90°$,则$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意; C. 由$∠A+∠B=∠C$及$∠A+∠B+∠C=180°$可得$∠C=90°$,则$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意; D. 由$∠A:∠B:∠C=1:2:3$及$∠A+∠B+∠C=180°$可得$∠C=90°,∠A=30°,∠B=60°$,则$△ ABC$是直角三角形,故不符合题意. 故选 A.
解析
【分析】
这道题要求选出不是直角三角形的选项，解题核心依据是三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的内角。解题时只需将每个选项给出的角的数量关系代入三角形内角和公式，计算各角的度数，判断是否存在90°的内角即可。
【解析】
任意三角形的内角和满足$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析选项：
A选项：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，代入内角和公式得：$3∠ C + 3∠ C + ∠ C = 180°$，即$7∠ C=180°$，解得$∠ C=\frac{180°}{7}$，$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}$，三个角均不等于90°，因此$△ ABC$不是直角三角形，符合题意；
B选项：已知$∠ A - ∠ B=∠ C$，变形得$∠ A=∠ B+∠ C$，代入内角和公式得：$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
C选项：已知$∠ A + ∠ B=∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
D选项：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内角和定理的应用，解题关键是将各选项中角的关系代入内角和公式计算，只要仔细运算就能准确判断，不易出错。
【难度系数】
0.85
这道题要求选出不是直角三角形的选项，解题核心依据是三角形内角和为180°，直角三角形存在一个90°的内角。解题时只需将每个选项给出的角的数量关系代入三角形内角和公式，计算各角的度数，判断是否存在90°的内角即可。
【解析】
任意三角形的内角和满足$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析选项：
A选项：已知$∠ A=∠ B=3∠ C$，代入内角和公式得：$3∠ C + 3∠ C + ∠ C = 180°$，即$7∠ C=180°$，解得$∠ C=\frac{180°}{7}$，$∠ A=∠ B=\frac{540°}{7}$，三个角均不等于90°，因此$△ ABC$不是直角三角形，符合题意；
B选项：已知$∠ A - ∠ B=∠ C$，变形得$∠ A=∠ B+∠ C$，代入内角和公式得：$∠ A + ∠ A = 180°$，解得$∠ A=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
C选项：已知$∠ A + ∠ B=∠ C$，代入内角和公式得：$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意；
D选项：已知$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，设$∠ A=x$，$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，代入内角和公式得：$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内角和定理的应用，解题关键是将各选项中角的关系代入内角和公式计算，只要仔细运算就能准确判断，不易出错。
【难度系数】
0.85
7. 如图,在$△ ABC$中,$AD⊥ BC$于点$D$,$E$为$AC$上任意一点,连接$BE$交$AD$于点$F$.
(1)若$∠ ABD = 40°$, $∠ AFE = 70°$, 求证:$BE$平分$∠ ABC$;
(2)在(1)的条件下,若$∠ AFE = ∠ AEF$,请直接写出图中所有的直角三角形.
(1)若$∠ ABD = 40°$, $∠ AFE = 70°$, 求证:$BE$平分$∠ ABC$;
(2)在(1)的条件下,若$∠ AFE = ∠ AEF$,请直接写出图中所有的直角三角形.
答案
7.(1)【证明】$\because AD⊥BC,∴∠ADB=90°$.
$\therefore ∠DBF+∠BFD=90°$.
又$\because ∠BFD=∠AFE=70°,∴∠DBF=20°$.
又$\because ∠ABD=40°,∴∠ABF=20°=∠DBF$.
$\therefore BE$平分$∠ABC$.
(2)【解】$△ ABC,△ ABE,△ ABD,△ ACD,△ BDF$都是直角三角形.
$\therefore ∠DBF+∠BFD=90°$.
又$\because ∠BFD=∠AFE=70°,∴∠DBF=20°$.
又$\because ∠ABD=40°,∴∠ABF=20°=∠DBF$.
$\therefore BE$平分$∠ABC$.
(2)【解】$△ ABC,△ ABE,△ ABD,△ ACD,△ BDF$都是直角三角形.
解析
【分析】
(1)要证明BE平分∠ABC，核心是证明∠ABF=∠DBF。已知AD⊥BC可得△BDF为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质求出∠DBF的度数，再结合已知∠ABD的度数求出∠ABF，对比两个角即可完成证明。(2)在(1)的基础上，先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数判断其是否为直角，再结合AD⊥BC的垂直条件，找出所有包含90°角的三角形即可。
【解析】
(1)证明：
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore$在$Rt△ BDF$中，$∠ DBF+∠ BFD=90°$，
又$\because ∠ BFD$和$∠ AFE$是对顶角，$∠ BFD=∠ AFE=70°$，
$\therefore ∠ DBF=90°-70°=20°$，
$\because ∠ ABD=40°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ ABD-∠ DBF=40°-20°=20°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ DBF$，即$BE$平分$∠ ABC$。
(2)解：由(1)可得，在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90°-40°=50°$，
$\because ∠ AFE=∠ AEF=70°$，在$△ AFE$中，$∠ FAE=180°-70°-70°=40°$，
$\therefore ∠ BAC=50°+40°=90°$，结合$AD⊥ BC$的条件，可得所有直角三角形如下。
【答案】
(1)$BE$平分$∠ ABC$，证明成立；
(2)直角三角形为$△ ABC,△ ABE,△ ABD,△ ACD,△ BDF$。
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础应用类题目，解题的关键是挖掘图中隐含的垂直、对顶角相等的条件，结合角的数量关系逐步推导，侧重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.7
(1)要证明BE平分∠ABC，核心是证明∠ABF=∠DBF。已知AD⊥BC可得△BDF为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余、对顶角相等的性质求出∠DBF的度数，再结合已知∠ABD的度数求出∠ABF，对比两个角即可完成证明。(2)在(1)的基础上，先利用三角形内角和定理求出∠BAC的度数判断其是否为直角，再结合AD⊥BC的垂直条件，找出所有包含90°角的三角形即可。
【解析】
(1)证明：
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=90°$，
$\therefore$在$Rt△ BDF$中，$∠ DBF+∠ BFD=90°$，
又$\because ∠ BFD$和$∠ AFE$是对顶角，$∠ BFD=∠ AFE=70°$，
$\therefore ∠ DBF=90°-70°=20°$，
$\because ∠ ABD=40°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ ABD-∠ DBF=40°-20°=20°$，
$\therefore ∠ ABF=∠ DBF$，即$BE$平分$∠ ABC$。
(2)解：由(1)可得，在$Rt△ ABD$中，$∠ BAD=90°-40°=50°$，
$\because ∠ AFE=∠ AEF=70°$，在$△ AFE$中，$∠ FAE=180°-70°-70°=40°$，
$\therefore ∠ BAC=50°+40°=90°$，结合$AD⊥ BC$的条件，可得所有直角三角形如下。
【答案】
(1)$BE$平分$∠ ABC$，证明成立；
(2)直角三角形为$△ ABC,△ ABE,△ ABD,△ ACD,△ BDF$。
【知识点】
直角三角形的性质，角平分线的判定，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础应用类题目，解题的关键是挖掘图中隐含的垂直、对顶角相等的条件，结合角的数量关系逐步推导，侧重对基础概念和性质的考查。
【难度系数】
0.7
8. 新考法分类讨论法 在直角三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=2:m:4，则m的值是
2或6
。答案
8.2或6 【点拨】设$∠A,∠B,∠C$的度数分别为$2x,mx,4x$. 当$∠C$为直角时,$2x+mx=4x$,解得$m=2$;当$∠B$为直角时,$2x+4x=mx$,解得$m=6$. 故答案为 2 或 6.
【点易错】在没有确定三角形最大内角的情况下,应分类讨论作答,力求不漏解不错解.
【点易错】在没有确定三角形最大内角的情况下,应分类讨论作答,力求不漏解不错解.
解析
【分析】
这是一道直角三角形内角相关的计算题，解题思路如下：首先直角三角形有一个内角为90°，且是三角形中最大的内角，题目仅给出三个角的度数比为2:m:4，未明确哪个角是直角，因此需要分类讨论：①当系数为4的∠C为直角时；②当系数为m的∠B为直角时（∠A的系数为2，小于4，不可能是最大的直角，无需讨论）。接下来我们可以根据比例设未知数，再利用“直角三角形两锐角和等于直角的度数”列方程求解，最后验证结果是否符合要求即可。
【解析】
设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、mx、4x（x＞0），分两种情况讨论：
1. 当∠C为直角时，直角三角形两锐角之和等于90°，即∠A + ∠B = ∠C：
列方程：$2x + mx = 4x$
因为x≠0，方程两边同时除以x得：$2 + m = 4$，解得$m=2$。
2. 当∠B为直角时，同理可得∠A + ∠C = ∠B：
列方程：$2x + 4x = mx$
因为x≠0，方程两边同时除以x得：$2 + 4 = m$，解得$m=6$。
两种情况均符合直角三角形的内角要求。
【答案】
2或6
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是明确未指明直角的直角三角形需要分类讨论，避免因默认某角为直角导致漏解，同时要注意验证所求结果是否符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.6
这是一道直角三角形内角相关的计算题，解题思路如下：首先直角三角形有一个内角为90°，且是三角形中最大的内角，题目仅给出三个角的度数比为2:m:4，未明确哪个角是直角，因此需要分类讨论：①当系数为4的∠C为直角时；②当系数为m的∠B为直角时（∠A的系数为2，小于4，不可能是最大的直角，无需讨论）。接下来我们可以根据比例设未知数，再利用“直角三角形两锐角和等于直角的度数”列方程求解，最后验证结果是否符合要求即可。
【解析】
设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、mx、4x（x＞0），分两种情况讨论：
1. 当∠C为直角时，直角三角形两锐角之和等于90°，即∠A + ∠B = ∠C：
列方程：$2x + mx = 4x$
因为x≠0，方程两边同时除以x得：$2 + m = 4$，解得$m=2$。
2. 当∠B为直角时，同理可得∠A + ∠C = ∠B：
列方程：$2x + 4x = mx$
因为x≠0，方程两边同时除以x得：$2 + 4 = m$，解得$m=6$。
两种情况均符合直角三角形的内角要求。
【答案】
2或6
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是明确未指明直角的直角三角形需要分类讨论，避免因默认某角为直角导致漏解，同时要注意验证所求结果是否符合三角形内角的取值要求。
【难度系数】
0.6
