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12.如图，在$△ ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，点$P$为边$BC$上一动点，$PE ⊥ AB$于点$E$，$PF ⊥ AC$于点$F$，点$M$为$EF$的中点，则$AM$的最小值为（
A.1
B.1.3
C.1.2
D.1.5
C
）A.1
B.1.3
C.1.2
D.1.5
答案
12.C
解析
【分析】
首先根据△ABC三边长度，用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；再由PE⊥AB、PF⊥AC可得四边形AEPF是矩形，根据矩形性质可知对角线EF=AP，且M是EF中点，因此AM=½AP，要让AM最小，只需让AP最小；根据点到直线的线段中垂线段最短，当AP⊥BC时AP最短，最后用面积法求出AP的长度即可得到AM的最小值。
【解析】
解：
1. 判定△ABC的形状：
∵ AB=3，AC=4，BC=5，
∴ AB²+AC²=3²+4²=25=BC²，
由勾股定理逆定理得，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
2. 判定四边形AEPF的形状：
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP=∠AFP=90°，
又
∵ ∠BAC=90°，
∴ 四边形AEPF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形）。
3. 推导AM与AP的关系：
矩形的对角线相等，因此EF=AP；
∵ M是EF的中点，矩形对角线互相平分，
∴ AM=½EF=½AP。
4. 求AP的最小值：
根据“垂线段最短”，当AP⊥BC时，AP的长度最小。
△ABC的面积可表示为：$S=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
同时面积也可表示为$S=\frac{1}{2}BC·AP$，代入BC=5得：
$\frac{1}{2}×5×AP=6$，解得$AP=\frac{12}{5}=2.4$。
5. 计算AM的最小值：
$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×2.4=1.2$。
故选C。
【答案】C
【知识点】勾股定理逆定理，矩形的性质，垂线段最短
【点评】本题属于几何综合题，解题的核心是通过矩形的性质将求AM最小值的问题转化为求AP最小值的问题，结合垂线段最短和面积法即可求解，需要灵活运用特殊几何图形的性质进行等量转化。
【难度系数】0.6
首先根据△ABC三边长度，用勾股定理逆定理可判断△ABC是直角三角形，∠BAC=90°；再由PE⊥AB、PF⊥AC可得四边形AEPF是矩形，根据矩形性质可知对角线EF=AP，且M是EF中点，因此AM=½AP，要让AM最小，只需让AP最小；根据点到直线的线段中垂线段最短，当AP⊥BC时AP最短，最后用面积法求出AP的长度即可得到AM的最小值。
【解析】
解：
1. 判定△ABC的形状：
∵ AB=3，AC=4，BC=5，
∴ AB²+AC²=3²+4²=25=BC²，
由勾股定理逆定理得，△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°。
2. 判定四边形AEPF的形状：
∵ PE⊥AB，PF⊥AC，
∴ ∠AEP=∠AFP=90°，
又
∵ ∠BAC=90°，
∴ 四边形AEPF是矩形（三个角为直角的四边形是矩形）。
3. 推导AM与AP的关系：
矩形的对角线相等，因此EF=AP；
∵ M是EF的中点，矩形对角线互相平分，
∴ AM=½EF=½AP。
4. 求AP的最小值：
根据“垂线段最短”，当AP⊥BC时，AP的长度最小。
△ABC的面积可表示为：$S=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
同时面积也可表示为$S=\frac{1}{2}BC·AP$，代入BC=5得：
$\frac{1}{2}×5×AP=6$，解得$AP=\frac{12}{5}=2.4$。
5. 计算AM的最小值：
$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×2.4=1.2$。
故选C。
【答案】C
【知识点】勾股定理逆定理，矩形的性质，垂线段最短
【点评】本题属于几何综合题，解题的核心是通过矩形的性质将求AM最小值的问题转化为求AP最小值的问题，结合垂线段最短和面积法即可求解，需要灵活运用特殊几何图形的性质进行等量转化。
【难度系数】0.6
二、填空题
13.如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积=
13.如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积=
24
答案
13.24
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积等于△ABD的面积减去Rt△ABC的面积。解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，根据△ABD的三边长，用勾股定理逆定理判断△ABD是否为直角三角形，若为直角三角形即可计算其面积；第三步，用△ABD的面积减去Rt△ABC的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，因此$AB=5$（边长为正数）。
在△ABD中，AB=5，BD=12，AD=13，计算得：
$AB^2+BD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
即$AB^2+BD^2=AD^2$，根据勾股定理逆定理可知△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°。
计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× BD=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
因此阴影部分面积=$S_{△ ABD}-S_{△ ABC}=30-6=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是先求出AB的长度，再通过勾股定理逆定理判断△ABD为直角三角形，最后用面积差法求阴影面积，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影面积等于△ABD的面积减去Rt△ABC的面积。解题思路如下：第一步，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，根据△ABD的三边长，用勾股定理逆定理判断△ABD是否为直角三角形，若为直角三角形即可计算其面积；第三步，用△ABD的面积减去Rt△ABC的面积，即可得到阴影部分的面积。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，因此$AB=5$（边长为正数）。
在△ABD中，AB=5，BD=12，AD=13，计算得：
$AB^2+BD^2=5^2+12^2=25+144=169$，$AD^2=13^2=169$，
即$AB^2+BD^2=AD^2$，根据勾股定理逆定理可知△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°。
计算两个三角形的面积：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× BD=\frac{1}{2}×5×12=30$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$，
因此阴影部分面积=$S_{△ ABD}-S_{△ ABC}=30-6=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，勾股定理逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是先求出AB的长度，再通过勾股定理逆定理判断△ABD为直角三角形，最后用面积差法求阴影面积，解题思路清晰，属于常考题型。
【难度系数】
0.7
14.点$(-\dfrac{1}{2},m)$和点$(2,n)$在直线$y=2x+b$上，则$m$与$n$的大小关系是
$m＜n$
。答案
14.$m＜n$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的增减性规律：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题中先确定直线的$k$值，判断增减性，再比较两个点横坐标的大小，即可根据增减性得到纵坐标$m$和$n$的大小关系，也可直接将两点代入直线解析式求出$m$、$n$的表达式再比较大小。
【解析】
方法一（利用增减性求解）：
在直线$y=2x+b$中，$k=2＞0$，
$\therefore$ $y$随$x$的增大而增大，
$\because$ 两个点的横坐标满足$-\dfrac{1}{2} ＜ 2$，
$\therefore$ 对应的纵坐标$m ＜ n$。
方法二（代入计算比较）：
把点$(-\dfrac{1}{2},m)$代入$y=2x+b$，得：
$m=2×(-\dfrac{1}{2}) + b = -1 + b$
把点$(2,n)$代入$y=2x+b$，得：
$n=2×2 + b = 4 + b$
$\because$ $-1 + b ＜ 4 + b$，
$\therefore$ $m ＜ n$。
【答案】
$m＜n$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数基本性质的应用，两种解题方法都较为基础，熟练掌握一次函数的增减性规律可以快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的增减性规律：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。本题中先确定直线的$k$值，判断增减性，再比较两个点横坐标的大小，即可根据增减性得到纵坐标$m$和$n$的大小关系，也可直接将两点代入直线解析式求出$m$、$n$的表达式再比较大小。
【解析】
方法一（利用增减性求解）：
在直线$y=2x+b$中，$k=2＞0$，
$\therefore$ $y$随$x$的增大而增大，
$\because$ 两个点的横坐标满足$-\dfrac{1}{2} ＜ 2$，
$\therefore$ 对应的纵坐标$m ＜ n$。
方法二（代入计算比较）：
把点$(-\dfrac{1}{2},m)$代入$y=2x+b$，得：
$m=2×(-\dfrac{1}{2}) + b = -1 + b$
把点$(2,n)$代入$y=2x+b$，得：
$n=2×2 + b = 4 + b$
$\because$ $-1 + b ＜ 4 + b$，
$\therefore$ $m ＜ n$。
【答案】
$m＜n$
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查一次函数基本性质的应用，两种解题方法都较为基础，熟练掌握一次函数的增减性规律可以快速得出答案，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
15.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是(-1,1),(2,1)，将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点$ C_1 $的坐标是
$(4,-1)$
。答案
15.$(4,-1)$
解析
【分析】
解题可分两步思考：第一步，平行四边形的对称中心是坐标原点，说明其相对顶点关于原点对称，已知顶点A的坐标，可利用关于原点对称的点的坐标特征求出顶点C的坐标；第二步，图形平移时所有点的平移规则一致，沿x轴向右平移3个单位时，点的横坐标加3、纵坐标不变，代入C点坐标即可得到对应点C₁的坐标。
【解析】
∵ 平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，
∴ 顶点A与顶点C关于原点对称，
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，且A(-1,1)，
∴ 点C的坐标为(1,-1)，
∵ 将平行四边形沿x轴向右平移3个单位长度，平移时横坐标加3，纵坐标不变，
∴ 点C的对应点C₁的坐标为(1+3, -1)，即(4,-1)。
【答案】
$(4,-1)$
【知识点】
平行四边形的中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征；平移的坐标变化规律
【点评】
本题是基础的坐标变换类题目，解题核心是先利用平行四边形的中心对称性确定C点坐标，再正确运用平移的坐标变化规则计算即可，掌握坐标变换的相关规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题可分两步思考：第一步，平行四边形的对称中心是坐标原点，说明其相对顶点关于原点对称，已知顶点A的坐标，可利用关于原点对称的点的坐标特征求出顶点C的坐标；第二步，图形平移时所有点的平移规则一致，沿x轴向右平移3个单位时，点的横坐标加3、纵坐标不变，代入C点坐标即可得到对应点C₁的坐标。
【解析】
∵ 平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，
∴ 顶点A与顶点C关于原点对称，
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数，且A(-1,1)，
∴ 点C的坐标为(1,-1)，
∵ 将平行四边形沿x轴向右平移3个单位长度，平移时横坐标加3，纵坐标不变，
∴ 点C的对应点C₁的坐标为(1+3, -1)，即(4,-1)。
【答案】
$(4,-1)$
【知识点】
平行四边形的中心对称性；关于原点对称的点的坐标特征；平移的坐标变化规律
【点评】
本题是基础的坐标变换类题目，解题核心是先利用平行四边形的中心对称性确定C点坐标，再正确运用平移的坐标变化规则计算即可，掌握坐标变换的相关规律是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
16.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G。若DE=2，OF=3，则点A到DF的距离为
$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
。答案
16.$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，正方形对角线互相平分可得O是AC中点，结合F是AE中点，可知OF是△ACE的中位线，据此可求出CE的长度，进而得到正方形的边长；再在Rt△ADE中用勾股定理求出AE长，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到DF的长度；最后通过面积法，用两种方式表示△AFD的面积，即可求出点A到DF的距离。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线AC、BD互相平分，即O为AC中点，且AD=CD，AD⊥CD。
∵F是AE的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=2×3=6，且OF//CE。
∵CE=CD+DE，DE=2，
∴CD=CE-DE=6-2=4，即AD=4。
在Rt△ADE中，AD=4，DE=2，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
∵F是Rt△ADE斜边AE的中点，
∴$DF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{5}$。
∵OF//CE，AD⊥CE，
∴OF⊥AD，
又
∵O是AC中点，OF//CD，
∴G是AD的中点，即FG是△ADE的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}DE=1$。
△AFD的面积可表示为：$S_{△ AFD}=\frac{1}{2}× AD× FG=\frac{1}{2}×4×1=2$。
设点A到DF的距离为$h$，则$S_{△ AFD}=\frac{1}{2}× DF× h$，
代入得：$2=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× h$，解得$h=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，将正方形性质、中位线定理、直角三角形性质和面积法结合考查，解题的关键是熟练运用中位线定理推导线段的数量和位置关系，灵活选用面积法求解点到直线的距离。
【难度系数】
0.6
解题时先从正方形的性质入手，正方形对角线互相平分可得O是AC中点，结合F是AE中点，可知OF是△ACE的中位线，据此可求出CE的长度，进而得到正方形的边长；再在Rt△ADE中用勾股定理求出AE长，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得到DF的长度；最后通过面积法，用两种方式表示△AFD的面积，即可求出点A到DF的距离。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴对角线AC、BD互相平分，即O为AC中点，且AD=CD，AD⊥CD。
∵F是AE的中点，
∴OF是△ACE的中位线，
∴CE=2OF=2×3=6，且OF//CE。
∵CE=CD+DE，DE=2，
∴CD=CE-DE=6-2=4，即AD=4。
在Rt△ADE中，AD=4，DE=2，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。
∵F是Rt△ADE斜边AE的中点，
∴$DF=\frac{1}{2}AE=\sqrt{5}$。
∵OF//CE，AD⊥CE，
∴OF⊥AD，
又
∵O是AC中点，OF//CD，
∴G是AD的中点，即FG是△ADE的中位线，
∴$FG=\frac{1}{2}DE=1$。
△AFD的面积可表示为：$S_{△ AFD}=\frac{1}{2}× AD× FG=\frac{1}{2}×4×1=2$。
设点A到DF的距离为$h$，则$S_{△ AFD}=\frac{1}{2}× DF× h$，
代入得：$2=\frac{1}{2}×\sqrt{5}× h$，解得$h=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题是几何综合类基础题，将正方形性质、中位线定理、直角三角形性质和面积法结合考查，解题的关键是熟练运用中位线定理推导线段的数量和位置关系，灵活选用面积法求解点到直线的距离。
【难度系数】
0.6
三、解答题
17.计算:(1) $(-1)^{2017}+(π -3)^0 + (\frac{1}{2})^{-1} - \sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$；
(2) $(3\sqrt{12} - 2\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) ÷ 2\sqrt{3}$。
17.计算:(1) $(-1)^{2017}+(π -3)^0 + (\frac{1}{2})^{-1} - \sqrt{(1-\sqrt{2})^2}$；
(2) $(3\sqrt{12} - 2\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{48}) ÷ 2\sqrt{3}$。
答案
17.(1)$3-\sqrt{2}$. (2)$\dfrac{14}{3}$.
解析
【分析】
(1) 本题可拆分计算每一项后再合并：①负数的奇次幂：(-1)的奇数次幂结果为-1；②零指数幂：任何非零数的0次幂等于1；③负整数指数幂：非零数的负指数幂等于其正指数幂的倒数；④根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合绝对值的代数意义去绝对值，最后合并计算即可。
(2) 本题为二次根式混合运算，可先将括号内的所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后再除以$2\sqrt{3}$；也可利用除法分配律，将括号内每一项分别除以$2\sqrt{3}$再求和，两种方法均符合运算规则。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$(-1)^{2017}=-1$（2017为奇数，-1的奇次幂为-1）
$(π-3)^0=1$（$π-3≠0$，非零数的0次幂为1）
$(\frac{1}{2})^{-1}=2$（非零数的负指数幂等于其倒数，$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$）
$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$（$\sqrt{2}＞1$，$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数）
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-1+1+2-(\sqrt{2}-1)\\&=2-\sqrt{2}+1\\&=3-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先化简合并括号内的二次根式，再做除法：
化简括号内各项：
$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$2\sqrt{\frac{1}{3}}=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$\begin{aligned}3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48}&=6\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}\\&=10\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{28\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
再除以$2\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}\\&=\frac{28\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{14}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{3-\sqrt{2}}$；(2) $\boxed{\dfrac{14}{3}}$
【知识点】
实数的运算；二次根式的性质；二次根式的混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简等运算法则的掌握，计算时要注意符号判断和运算顺序，熟练掌握各类基础运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 本题可拆分计算每一项后再合并：①负数的奇次幂：(-1)的奇数次幂结果为-1；②零指数幂：任何非零数的0次幂等于1；③负整数指数幂：非零数的负指数幂等于其正指数幂的倒数；④根据二次根式性质$\sqrt{a^2}=|a|$，结合绝对值的代数意义去绝对值，最后合并计算即可。
(2) 本题为二次根式混合运算，可先将括号内的所有二次根式化为最简二次根式，合并同类二次根式后再除以$2\sqrt{3}$；也可利用除法分配律，将括号内每一项分别除以$2\sqrt{3}$再求和，两种方法均符合运算规则。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$(-1)^{2017}=-1$（2017为奇数，-1的奇次幂为-1）
$(π-3)^0=1$（$π-3≠0$，非零数的0次幂为1）
$(\frac{1}{2})^{-1}=2$（非零数的负指数幂等于其倒数，$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$）
$\sqrt{(1-\sqrt{2})^2}=|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$（$\sqrt{2}＞1$，$1-\sqrt{2}＜0$，负数的绝对值是它的相反数）
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-1+1+2-(\sqrt{2}-1)\\&=2-\sqrt{2}+1\\&=3-\sqrt{2}\end{aligned}$
(2) 先化简合并括号内的二次根式，再做除法：
化简括号内各项：
$3\sqrt{12}=3×2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$
$2\sqrt{\frac{1}{3}}=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$
$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
合并同类二次根式：
$\begin{aligned}3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48}&=6\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3}\\&=10\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\&=\frac{28\sqrt{3}}{3}\end{aligned}$
再除以$2\sqrt{3}$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}\\&=\frac{28\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2\sqrt{3}}\\&=\frac{14}{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{3-\sqrt{2}}$；(2) $\boxed{\dfrac{14}{3}}$
【知识点】
实数的运算；二次根式的性质；二次根式的混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简等运算法则的掌握，计算时要注意符号判断和运算顺序，熟练掌握各类基础运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
