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6.已知$a+b=-2$，$ab=1$，则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的值是（
A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
B
）A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$
答案
6.B
解析
【分析】
首先根据已知的a+b和ab的符号判断a、b的正负性，这是化简二次根式的前提，因为二次根式的被开方数必须非负，且根号的计算结果非负。接着利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将待求式中的每一项进行化简，再通分整理，最后代入a+b和ab的数值即可算出结果。
【解析】
解：$\because a+b=-2＜0$，$ab=1＞0$，
$\therefore a＜0$，$b＜0$，
则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
$=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}$
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}+\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}$
$\because a＜0$，$b＜0$，$\therefore |a|=-a$，$|b|=-b$，
代入得：
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{-b}+\dfrac{\sqrt{ab}}{-a}$
$=-\sqrt{ab}·(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
$=-\sqrt{ab}·\dfrac{a+b}{ab}$
把$a+b=-2$，$ab=1$代入得：
$=-\sqrt{1}×\dfrac{-2}{1}$
$=-1×(-2)=2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的性质 2.代数式化简求值 3.有理数符号判断
【点评】
本题的易错点是忽略a、b均为负数的隐含条件，直接化简二次根式导致符号错误，解题时需先判断被开方数中字母的符号，再结合二次根式的性质正确化简。
【难度系数】
0.7
首先根据已知的a+b和ab的符号判断a、b的正负性，这是化简二次根式的前提，因为二次根式的被开方数必须非负，且根号的计算结果非负。接着利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将待求式中的每一项进行化简，再通分整理，最后代入a+b和ab的数值即可算出结果。
【解析】
解：$\because a+b=-2＜0$，$ab=1＞0$，
$\therefore a＜0$，$b＜0$，
则$\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
$=\sqrt{\dfrac{ab}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{ab}{a^2}}$
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{|b|}+\dfrac{\sqrt{ab}}{|a|}$
$\because a＜0$，$b＜0$，$\therefore |a|=-a$，$|b|=-b$，
代入得：
$=\dfrac{\sqrt{ab}}{-b}+\dfrac{\sqrt{ab}}{-a}$
$=-\sqrt{ab}·(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
$=-\sqrt{ab}·\dfrac{a+b}{ab}$
把$a+b=-2$，$ab=1$代入得：
$=-\sqrt{1}×\dfrac{-2}{1}$
$=-1×(-2)=2$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次根式的性质 2.代数式化简求值 3.有理数符号判断
【点评】
本题的易错点是忽略a、b均为负数的隐含条件，直接化简二次根式导致符号错误，解题时需先判断被开方数中字母的符号，再结合二次根式的性质正确化简。
【难度系数】
0.7
7.已知样本方差$s^2=\dfrac{(x_1 -8)^2 + (x_2 -8)^2 + \dots + (x_{30} -8)^2}{30}$，则30，8分别是样本的 （
A.样本容量，方差
B.平均数，样本容量
C.样本容量，平均数
D.离差，平均数
C
）A.样本容量，方差
B.平均数，样本容量
C.样本容量，平均数
D.离差，平均数
答案
7.C
解析
【分析】
解题时首先回忆样本方差的公式结构：样本方差的计算公式中，分母是样本中数据的总个数（即样本容量），公式里每个数据减去的常数是这组样本的平均数。接下来将题目给出的方差公式和标准公式一一对应，就能确定30和8的含义，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据样本方差的定义，若有$n$个样本数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的平均数为$\overline{x}$，则样本方差的计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
将题目给出的方差公式$s^2=\dfrac{(x_1 -8)^2 + (x_2 -8)^2 + \dots + (x_{30} -8)^2}{30}$与上述标准公式对比可得：
$n=30$，即30是样本容量；$\overline{x}=8$，即8是样本的平均数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
样本方差定义，样本容量，平均数
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点在于识记样本方差的公式结构，明确公式中各参数的含义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆样本方差的公式结构：样本方差的计算公式中，分母是样本中数据的总个数（即样本容量），公式里每个数据减去的常数是这组样本的平均数。接下来将题目给出的方差公式和标准公式一一对应，就能确定30和8的含义，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据样本方差的定义，若有$n$个样本数据$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的平均数为$\overline{x}$，则样本方差的计算公式为：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
将题目给出的方差公式$s^2=\dfrac{(x_1 -8)^2 + (x_2 -8)^2 + \dots + (x_{30} -8)^2}{30}$与上述标准公式对比可得：
$n=30$，即30是样本容量；$\overline{x}=8$，即8是样本的平均数，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
样本方差定义，样本容量，平均数
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点在于识记样本方差的公式结构，明确公式中各参数的含义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.把直线$y=2x$向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度，则得到的直线是（
A.$y=x-2$
B.$y=2x-1$
C.$y=2x$
D.$y=2x-3$
C
）A.$y=x-2$
B.$y=2x-1$
C.$y=2x$
D.$y=2x-3$
答案
8.C
解析
【分析】
解决本题需要用到一次函数图像的平移规律，解题思路如下：首先明确平移规律“左加右减（针对自变量x，向右平移则x减平移单位，向左平移则x加平移单位），上加下减（针对常数项，向上平移则加平移单位，向下平移则减平移单位）”，先计算向上平移后的直线解析式，再计算向右平移后的解析式，最后化简得到结果即可。
【解析】
一次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，分步计算：
1. 先将直线$y=2x$向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规则，得到平移后的解析式为：$y=2x+2$；
2. 再将$y=2x+2$向右平移1个单位长度，根据“左加右减”的规则，将解析式中的$x$替换为$x-1$，代入得：
$y=2(x-1)+2$
展开化简：$y=2x-2+2=2x$
因此最终得到的直线解析式为$y=2x$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 整式化简
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，核心是准确掌握平移规则，尤其要注意“左加右减”是对自变量$x$本身进行变换，需要给$x$整体加减平移单位，避免直接在常数项加减的错误。
【难度系数】
0.8
解决本题需要用到一次函数图像的平移规律，解题思路如下：首先明确平移规律“左加右减（针对自变量x，向右平移则x减平移单位，向左平移则x加平移单位），上加下减（针对常数项，向上平移则加平移单位，向下平移则减平移单位）”，先计算向上平移后的直线解析式，再计算向右平移后的解析式，最后化简得到结果即可。
【解析】
一次函数图像平移遵循“左加右减，上加下减”的规则，分步计算：
1. 先将直线$y=2x$向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规则，得到平移后的解析式为：$y=2x+2$；
2. 再将$y=2x+2$向右平移1个单位长度，根据“左加右减”的规则，将解析式中的$x$替换为$x-1$，代入得：
$y=2(x-1)+2$
展开化简：$y=2x-2+2=2x$
因此最终得到的直线解析式为$y=2x$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 整式化简
【点评】
本题是一次函数平移的基础题型，核心是准确掌握平移规则，尤其要注意“左加右减”是对自变量$x$本身进行变换，需要给$x$整体加减平移单位，避免直接在常数项加减的错误。
【难度系数】
0.8
9.如右图,在平面直角坐标系中,$△ OAB$ 的顶点 $A,B$ 的坐标分别为$(0,1),(2,1)$,点 $C$ 在边 $AB$ 上(不与点 $B$ 重合),设点 $C$ 的横坐标为 $m$, $△ BOC$ 的面积为 $S$,则下面能够反映 $S$ 与 $m$ 之间的函数关系的图象是 (
C
)答案
9.C
解析
【分析】
首先梳理已知条件：A、B两点纵坐标相同，可知线段AB平行于x轴，点C在AB上，故C点纵坐标为1，坐标可表示为(m,1)，且C不与B重合，因此m的取值范围是0≤m＜2。接下来求△BOC的面积：以BC为底，点O到直线AB的距离为高，代入三角形面积公式即可得到S关于m的函数表达式，再结合函数类型、增减性、自变量取值范围对应判断图像即可。
【解析】
步骤1：确定线段AB的特征及C点坐标
∵A(0,1)，B(2,1)，两点纵坐标相等，
∴AB//x轴，AB上所有点的纵坐标均为1，
又
∵点C在AB上，横坐标为m，且不与B重合，
∴C(m,1)，m的取值范围为0≤m＜2，BC的长度为2 - m。
步骤2：计算△BOC的面积
直线AB的解析式为y=1，原点O到直线AB的距离为1，即△BOC的高为1，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×(2 - m)×1 = -\frac{1}{2}m + 1$（$0≤m＜2$）
步骤3：判断函数图像
该函数是一次函数，斜率$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此S随m的增大而减小；
当m=0时，S=1，对应左端点为实心点；当m趋近于2时，S趋近于0，因m≠2，右端点为空心点，符合该特征的图像为选项C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，三角形面积计算，一次函数图像识别
【点评】
本题将平面直角坐标系、面积计算和函数图像判断结合起来，解题的核心是先根据坐标特征推导面积的函数关系式，再结合自变量的取值范围判断图像的端点情况，需要注意题干中“不与点B重合”的限制条件，避免忽略空心端点选错答案。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：A、B两点纵坐标相同，可知线段AB平行于x轴，点C在AB上，故C点纵坐标为1，坐标可表示为(m,1)，且C不与B重合，因此m的取值范围是0≤m＜2。接下来求△BOC的面积：以BC为底，点O到直线AB的距离为高，代入三角形面积公式即可得到S关于m的函数表达式，再结合函数类型、增减性、自变量取值范围对应判断图像即可。
【解析】
步骤1：确定线段AB的特征及C点坐标
∵A(0,1)，B(2,1)，两点纵坐标相等，
∴AB//x轴，AB上所有点的纵坐标均为1，
又
∵点C在AB上，横坐标为m，且不与B重合，
∴C(m,1)，m的取值范围为0≤m＜2，BC的长度为2 - m。
步骤2：计算△BOC的面积
直线AB的解析式为y=1，原点O到直线AB的距离为1，即△BOC的高为1，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×(2 - m)×1 = -\frac{1}{2}m + 1$（$0≤m＜2$）
步骤3：判断函数图像
该函数是一次函数，斜率$k=-\frac{1}{2}＜0$，因此S随m的增大而减小；
当m=0时，S=1，对应左端点为实心点；当m趋近于2时，S趋近于0，因m≠2，右端点为空心点，符合该特征的图像为选项C。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，三角形面积计算，一次函数图像识别
【点评】
本题将平面直角坐标系、面积计算和函数图像判断结合起来，解题的核心是先根据坐标特征推导面积的函数关系式，再结合自变量的取值范围判断图像的端点情况，需要注意题干中“不与点B重合”的限制条件，避免忽略空心端点选错答案。
【难度系数】
0.7
10.如图,将一边长为a的正方形(最中间的小正方形)与四块边长为b的正方形(其中$b＞a$)拼接在一起,则四边形ABCD的面积为 (
A.$b^2+(b-a)^2$
B.$b^2+a^2$
C.$(b+a)^2$
D.$a^2+2ab$
(第10题图)
(第11题图)
A
)A.$b^2+(b-a)^2$
B.$b^2+a^2$
C.$(b+a)^2$
D.$a^2+2ab$
(第10题图)
(第11题图)
答案
10.A
解析
【分析】
要求四边形ABCD的面积，可采用割补法求解：首先观察图形特征，四边形ABCD可分割为4个全等的直角三角形和中间边长为a的小正方形，先分别计算各部分面积再求和，最后将计算结果化简后和选项对比即可得出答案。
【解析】
观察图形可知，四边形ABCD周围的4个直角三角形完全相同，直角三角形的两条直角边长度分别为$b$和$b-a$。
1. 计算单个直角三角形的面积：$S_{\mathrm{单三角形}}=\frac{1}{2} × b × (b-a)$
2. 计算4个直角三角形的总面积：$S_{\mathrm{四个三角形}}=4 × \frac{1}{2}b(b-a)=2b(b-a)=2b^2-2ab$
3. 计算中间小正方形的面积：$S_{\mathrm{小正方形}}=a^2$
4. 四边形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=2b^2-2ab+a^2$
将选项A的表达式展开验证：$b^2+(b-a)^2=b^2+b^2-2ab+a^2=2b^2-2ab+a^2$，和计算结果一致，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
割补法求面积、三角形面积计算、完全平方公式
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，解题的核心是通过割补法将不规则的四边形面积转化为熟悉的三角形、正方形面积之和，同时需要熟练运用整式运算对结果进行化简验证，能很好地考察图形观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
要求四边形ABCD的面积，可采用割补法求解：首先观察图形特征，四边形ABCD可分割为4个全等的直角三角形和中间边长为a的小正方形，先分别计算各部分面积再求和，最后将计算结果化简后和选项对比即可得出答案。
【解析】
观察图形可知，四边形ABCD周围的4个直角三角形完全相同，直角三角形的两条直角边长度分别为$b$和$b-a$。
1. 计算单个直角三角形的面积：$S_{\mathrm{单三角形}}=\frac{1}{2} × b × (b-a)$
2. 计算4个直角三角形的总面积：$S_{\mathrm{四个三角形}}=4 × \frac{1}{2}b(b-a)=2b(b-a)=2b^2-2ab$
3. 计算中间小正方形的面积：$S_{\mathrm{小正方形}}=a^2$
4. 四边形ABCD的面积为：$S_{ABCD}=2b^2-2ab+a^2$
将选项A的表达式展开验证：$b^2+(b-a)^2=b^2+b^2-2ab+a^2=2b^2-2ab+a^2$，和计算结果一致，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
割补法求面积、三角形面积计算、完全平方公式
【点评】
本题考查组合图形的面积计算，解题的核心是通过割补法将不规则的四边形面积转化为熟悉的三角形、正方形面积之和，同时需要熟练运用整式运算对结果进行化简验证，能很好地考察图形观察能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
11.如图①所示，有一个由传感器A控制的灯要装在门上方离地面高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光。如果灯刚好发光，则一个身高1.5 m的学生离墙（
A.4 m
B.3 m
C.5 m
D.7 m
A
）A.4 m
B.3 m
C.5 m
D.7 m
答案
11.A
解析
【分析】
我们需要先将实际生活场景转化为直角三角形的数学问题求解：首先计算传感器A和学生头顶的竖直高度差，灯刚好发光时学生头顶到A的距离为5m，是直角三角形的斜边，要求的学生离墙的距离就是直角三角形的水平直角边，最后用勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
解：灯刚好发光时，学生头顶到传感器A的距离为5m，构造直角三角形AEC，其中：
竖直高度差$AE = 4.5\mathrm{m} - 1.5\mathrm{m} = 3\mathrm{m}$，斜边$AC=5\mathrm{m}$，$CE$为学生到墙的水平距离。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$CE^2 + AE^2 = AC^2$
代入数值计算：
$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$
因此学生离墙的距离为4m，选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活中的典型应用，解题核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，准确匹配各边对应的长度后用勾股定理计算，侧重考查学生的转化思维。
【难度系数】
0.8
我们需要先将实际生活场景转化为直角三角形的数学问题求解：首先计算传感器A和学生头顶的竖直高度差，灯刚好发光时学生头顶到A的距离为5m，是直角三角形的斜边，要求的学生离墙的距离就是直角三角形的水平直角边，最后用勾股定理计算即可得到结果。
【解析】
解：灯刚好发光时，学生头顶到传感器A的距离为5m，构造直角三角形AEC，其中：
竖直高度差$AE = 4.5\mathrm{m} - 1.5\mathrm{m} = 3\mathrm{m}$，斜边$AC=5\mathrm{m}$，$CE$为学生到墙的水平距离。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得
$CE^2 + AE^2 = AC^2$
代入数值计算：
$CE=\sqrt{AC^2-AE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\mathrm{m}$
因此学生离墙的距离为4m，选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；实际问题建模
【点评】
本题是勾股定理在生活中的典型应用，解题核心是将实际场景抽象为直角三角形模型，准确匹配各边对应的长度后用勾股定理计算，侧重考查学生的转化思维。
【难度系数】
0.8
