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一、选择题
1.函数 $y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是 （
A.$x≥1$
B.$x＞1$
C.$x≥1$ 且 $x≠2$
D.$x≠2$
1.函数 $y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是 （
C
）A.$x≥1$
B.$x＞1$
C.$x≥1$ 且 $x≠2$
D.$x≠2$
答案
1.C
解析
【分析】
求函数自变量的取值范围时，首先要找出式子中所有对自变量有限制的部分，本题同时包含二次根式和分式，我们需要分别根据两类式子有意义的条件列出不等式，再取两个不等式的公共解集，就能得到自变量的取值范围。
【解析】
第一步，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可得：
$x-1≥0$，解得$x≥1$；
第二步，根据分式有意义的条件：分母不能为0，可得：
$x-2≠0$，解得$x≠2$；
两个限制条件需要同时满足，因此自变量$x$的取值范围是$x≥1$且$x≠2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是求函数自变量取值范围的常规题型，解题核心是找全所有限制条件，多个条件同时成立时要取公共解集，注意不要遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
求函数自变量的取值范围时，首先要找出式子中所有对自变量有限制的部分，本题同时包含二次根式和分式，我们需要分别根据两类式子有意义的条件列出不等式，再取两个不等式的公共解集，就能得到自变量的取值范围。
【解析】
第一步，根据二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数，可得：
$x-1≥0$，解得$x≥1$；
第二步，根据分式有意义的条件：分母不能为0，可得：
$x-2≠0$，解得$x≠2$；
两个限制条件需要同时满足，因此自变量$x$的取值范围是$x≥1$且$x≠2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
函数自变量取值范围；二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题是求函数自变量取值范围的常规题型，解题核心是找全所有限制条件，多个条件同时成立时要取公共解集，注意不要遗漏分母不为0的要求。
【难度系数】
0.8
2.如图,沿AC方向修建一条开山公路.为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=150°,沿BD的方向前进,取∠BDE=60°,测得BD=520 m,DE=260 m,BC=80 m,并且AC,BD和DE在同一平面内,那么公路CE段的长度为
(
A.180 m
B.$260\sqrt{3}$ m
C.$(260\sqrt{3}-80)$m
D.$(260\sqrt{2}-80)$m
(
C
)A.180 m
B.$260\sqrt{3}$ m
C.$(260\sqrt{3}-80)$m
D.$(260\sqrt{2}-80)$m
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先根据邻补角的性质求出∠CBD的度数，再结合已知的∠BDE的度数，利用三角形内角和定理判断出△BDE是直角三角形，接着用勾股定理求出BE的长度，最后用BE减去BC的长度即可得到CE的长度。
【解析】
1. 计算∠CBD的度数：
∵AC为直线，∠ABD=150°，根据邻补角的性质，
∴∠CBD=180°-∠ABD=180°-150°=30°。
2. 判断△BDE的形状：
在△BDE中，∠DBE=30°，∠BDE=60°，
根据三角形内角和为180°，可得∠BED=180°-30°-60°=90°，
即△BDE是直角三角形，∠BED为直角。
3. 计算BE的长度：
已知BD=520m，DE=260m，在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2 - DE^2}=\sqrt{520^2 - 260^2}=\sqrt{260^2×3}=260\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
4. 计算CE的长度：
∵点B、C、E在同一直线AC上，BC=80m，
∴$CE=BE - BC=(260\sqrt{3} - 80)\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
邻补角性质，三角形内角和，勾股定理
【点评】
本题结合实际施工场景考查了三角形基础性质与勾股定理的综合应用，解题的核心是先判定△BDE为直角三角形，再逐步推导计算所求线段长度，注重对基础知识点灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据邻补角的性质求出∠CBD的度数，再结合已知的∠BDE的度数，利用三角形内角和定理判断出△BDE是直角三角形，接着用勾股定理求出BE的长度，最后用BE减去BC的长度即可得到CE的长度。
【解析】
1. 计算∠CBD的度数：
∵AC为直线，∠ABD=150°，根据邻补角的性质，
∴∠CBD=180°-∠ABD=180°-150°=30°。
2. 判断△BDE的形状：
在△BDE中，∠DBE=30°，∠BDE=60°，
根据三角形内角和为180°，可得∠BED=180°-30°-60°=90°，
即△BDE是直角三角形，∠BED为直角。
3. 计算BE的长度：
已知BD=520m，DE=260m，在Rt△BDE中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2 - DE^2}=\sqrt{520^2 - 260^2}=\sqrt{260^2×3}=260\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
4. 计算CE的长度：
∵点B、C、E在同一直线AC上，BC=80m，
∴$CE=BE - BC=(260\sqrt{3} - 80)\ \mathrm{m}$。
【答案】
C
【知识点】
邻补角性质，三角形内角和，勾股定理
【点评】
本题结合实际施工场景考查了三角形基础性质与勾股定理的综合应用，解题的核心是先判定△BDE为直角三角形，再逐步推导计算所求线段长度，注重对基础知识点灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
3.在$△ ABC$中，$AB=3$，$BC=4$，$AC=2$，$D$，$E$，$F$分别为$AB$，$BC$，$AC$的中点，连接$DF$，$FE$，则四边形$DBEF$的周长是（
A.5
B.7
C.9
D.11
B
）A.5
B.7
C.9
D.11
答案
3.B
解析
【分析】
首先观察题目已知条件，D、E、F分别是△ABC三边的中点，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。要求四边形DBEF的周长，需先确定四边形四条边的长度：DB是AB的一半，BE是BC的一半，DF是对应BC的中位线，EF是对应AB的中位线，分别算出各边长度后相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴$DB=\frac{1}{2}AB$，$BE=\frac{1}{2}BC$，
且DF、EF都是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
已知AB=3，BC=4，代入得：
$DB=\frac{1}{2}×3=1.5$，
$BE=\frac{1}{2}×4=2$，
$DF=\frac{1}{2}×4=2$，
$EF=\frac{1}{2}×3=1.5$，
∴四边形DBEF的周长 = $DB+BE+EF+DF=1.5+2+1.5+2=7$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，线段中点的定义，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形中位线性质的应用，解题的关键是准确判断中位线对应的第三边，结合线段中点的性质求出各边长度后求和即可，计算难度低，掌握中位线定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先观察题目已知条件，D、E、F分别是△ABC三边的中点，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半。要求四边形DBEF的周长，需先确定四边形四条边的长度：DB是AB的一半，BE是BC的一半，DF是对应BC的中位线，EF是对应AB的中位线，分别算出各边长度后相加即可得到周长。
【解析】
解：
∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴$DB=\frac{1}{2}AB$，$BE=\frac{1}{2}BC$，
且DF、EF都是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DF=\frac{1}{2}BC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，
已知AB=3，BC=4，代入得：
$DB=\frac{1}{2}×3=1.5$，
$BE=\frac{1}{2}×4=2$，
$DF=\frac{1}{2}×4=2$，
$EF=\frac{1}{2}×3=1.5$，
∴四边形DBEF的周长 = $DB+BE+EF+DF=1.5+2+1.5+2=7$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，线段中点的定义，周长计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形中位线性质的应用，解题的关键是准确判断中位线对应的第三边，结合线段中点的性质求出各边长度后求和即可，计算难度低，掌握中位线定理就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4.园林作业队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间.已知绿化面积S m²与工作时间t h的函数关系的图象如图所示，则休息后园林作业队每小时绿化的面积为 （
A.100 m²
B.50 m²
C.80 m²
D.40 m²
B
）A.100 m²
B.50 m²
C.80 m²
D.40 m²
答案
4.B
解析
【分析】
解题首先要读懂横轴、纵轴代表的含义：横轴t是工作时间，纵轴S是绿化面积。首先找到休息对应的时间段：图象中水平线段部分说明绿化面积没有增加，就是休息时间，即1~2h是休息时间。要求休息后每小时绿化面积，也就是求休息后工作阶段的工作效率，只需要算出休息后完成的绿化总面积，除以对应的工作时长即可。
【解析】
观察图象可知：
1. 1~2h期间绿化面积保持60m²不变，因此该时间段为休息时间；
2. 休息后工作的时长为 $ 4\mathrm{h} - 2\mathrm{h} = 2\mathrm{h} $；
3. 休息后完成的绿化面积为 $ 160\mathrm{m}^2 - 60\mathrm{m}^2 = 100\mathrm{m}^2 $；
4. 休息后每小时绿化面积为 $ 100\mathrm{m}^2 ÷ 2\mathrm{h} = 50\mathrm{m}^2 $。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
函数图象分析，工作效率计算
【点评】
本题结合实际绿化工作场景，考查从函数图象中提取有效信息的能力，只要能正确区分休息阶段和工作阶段，结合“工作效率=总工作量÷工作时间”的公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题首先要读懂横轴、纵轴代表的含义：横轴t是工作时间，纵轴S是绿化面积。首先找到休息对应的时间段：图象中水平线段部分说明绿化面积没有增加，就是休息时间，即1~2h是休息时间。要求休息后每小时绿化面积，也就是求休息后工作阶段的工作效率，只需要算出休息后完成的绿化总面积，除以对应的工作时长即可。
【解析】
观察图象可知：
1. 1~2h期间绿化面积保持60m²不变，因此该时间段为休息时间；
2. 休息后工作的时长为 $ 4\mathrm{h} - 2\mathrm{h} = 2\mathrm{h} $；
3. 休息后完成的绿化面积为 $ 160\mathrm{m}^2 - 60\mathrm{m}^2 = 100\mathrm{m}^2 $；
4. 休息后每小时绿化面积为 $ 100\mathrm{m}^2 ÷ 2\mathrm{h} = 50\mathrm{m}^2 $。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
函数图象分析，工作效率计算
【点评】
本题结合实际绿化工作场景，考查从函数图象中提取有效信息的能力，只要能正确区分休息阶段和工作阶段，结合“工作效率=总工作量÷工作时间”的公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
5.同一平面直角坐标系中，一次函数$y=mx+n$与$y=nx+m$（$m,n$为常数）的图象可能是（
B
）答案
5.B
解析
【分析】
解题时要用到一次函数y=kx+b（k≠0）的图象性质：k的符号决定直线的倾斜方向，k＞0时直线过一、三象限，k＜0时直线过二、四象限；b的符号决定直线与y轴的交点位置，b＞0时交点在y轴正半轴，b＜0时交点在y轴负半轴。我们可以先根据某条直线的图象推出对应m、n的符号，再验证另一条直线的图象是否符合该符号下的性质，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
1. 选项A：若其中斜率为正、与y轴交于正半轴的直线是y=mx+n，可得m＞0，n＞0，那么另一个函数y=nx+m的斜率n＞0、截距m＞0，图象也应为斜率正、与y轴交于正半轴的直线，但A中另一条直线斜率为负，矛盾，排除A。
2. 选项B：观察斜率为正的直线，它与y轴交于负半轴，若它是y=mx+n，则m＞0，n＜0；此时另一个函数y=nx+m的斜率n＜0（倾斜方向为左上到右下），截距m＞0（与y轴交于正半轴），正好和选项中另一条直线的特征吻合，符合要求。
3. 选项C：若斜率为正的直线与y轴交于正半轴，可得m＞0，n＞0，那么另一个函数斜率也应为正，但C中另一条直线斜率为负，矛盾，排除C。
4. 选项D：两条直线斜率都为正，说明m＞0，n＞0，那么两条直线的截距都应为正，但D中一条直线与y轴交于负半轴，矛盾，排除D。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，系数与图象的对应关系
【点评】
本题是一次函数图象的典型考题，核心是掌握一次函数中k和b分别对图象的影响，用代入验证或分类讨论的方法就能快速解题，注意要结合两个函数的系数关联判断，避免只看单条直线出错。
【难度系数】
0.7
解题时要用到一次函数y=kx+b（k≠0）的图象性质：k的符号决定直线的倾斜方向，k＞0时直线过一、三象限，k＜0时直线过二、四象限；b的符号决定直线与y轴的交点位置，b＞0时交点在y轴正半轴，b＜0时交点在y轴负半轴。我们可以先根据某条直线的图象推出对应m、n的符号，再验证另一条直线的图象是否符合该符号下的性质，逐一排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
1. 选项A：若其中斜率为正、与y轴交于正半轴的直线是y=mx+n，可得m＞0，n＞0，那么另一个函数y=nx+m的斜率n＞0、截距m＞0，图象也应为斜率正、与y轴交于正半轴的直线，但A中另一条直线斜率为负，矛盾，排除A。
2. 选项B：观察斜率为正的直线，它与y轴交于负半轴，若它是y=mx+n，则m＞0，n＜0；此时另一个函数y=nx+m的斜率n＜0（倾斜方向为左上到右下），截距m＞0（与y轴交于正半轴），正好和选项中另一条直线的特征吻合，符合要求。
3. 选项C：若斜率为正的直线与y轴交于正半轴，可得m＞0，n＞0，那么另一个函数斜率也应为正，但C中另一条直线斜率为负，矛盾，排除C。
4. 选项D：两条直线斜率都为正，说明m＞0，n＞0，那么两条直线的截距都应为正，但D中一条直线与y轴交于负半轴，矛盾，排除D。
综上，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质，系数与图象的对应关系
【点评】
本题是一次函数图象的典型考题，核心是掌握一次函数中k和b分别对图象的影响，用代入验证或分类讨论的方法就能快速解题，注意要结合两个函数的系数关联判断，避免只看单条直线出错。
【难度系数】
0.7
