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22.如图,直线$ l_1 $的函数表达式为$ y=-3x+3 $,且$ l_1 $与$ x $轴交于点$ D $,直线$ l_2 $经过点$ A,B $,直线$ l_1,l_2 $交于点$ C $.
(1)图中点$ D $的坐标为________.
(2)求直线$ l_2 $的函数解析式;
(3)求$ △ ADC $的面积;
(4)在直线$ l_2 $上是否存在点$ P $,使得$ △ PDC $的面积是$ △ ADC $面积的2倍?若存在,请直接写出点$ P $的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)图中点$ D $的坐标为________.
(2)求直线$ l_2 $的函数解析式;
(3)求$ △ ADC $的面积;
(4)在直线$ l_2 $上是否存在点$ P $,使得$ △ PDC $的面积是$ △ ADC $面积的2倍?若存在,请直接写出点$ P $的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
22.解:(1)$\because D$在直线$l_1:y=-3x+3$的图象上，
$\therefore$当$y=0$时,$0=-3x+3$，
解得$x=1$.
$\therefore D(1,0)$.
故答案为:$(1,0)$.
(2)设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$.
$\because$直线$l_2$过$(3,-\frac{3}{2}),(4,0)$，
$\therefore\begin{cases}-\frac{3}{2}=3k+b,\\0=4k+b,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2},\\b=-6.\end{cases}$
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=\frac{3}{2}x-6$.
(3)$\because\begin{cases}y=-3x+3,\\y=\frac{3}{2}x-6,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2,\\y=-3.\end{cases}$
$\therefore C(2,-3)$.
$\therefore △ADC$的面积为$\frac{1}{2}×AD×3=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$.
(4)存在.
$\because △PDC$的面积是$△ADC$面积的2倍，
$\therefore △PDC$的面积是9.
当点P在第一象限时,$△PDA$的面积为$\frac{9}{2}$，
$\therefore$点P的纵坐标为3.
$\because$点P在直线$l_2$上，
$\therefore$点P的横坐标为6.
$\therefore P(6,3)$.
当点P在第三象限时,$△DPA$的面积为$\frac{27}{2}$，
$\therefore$点P的纵坐标为-9.
$\because$点P在直线$l_2$上，
$\therefore$点P的横坐标为-2，
$\therefore P(-2,-9)$.
综上,$P(-2,-9)$或$(6,3)$.
解析
【分析】
(1) 点D是直线$l_1$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，将$y=0$代入$l_1$的解析式即可求出D点横坐标，得到D的坐标。
(2) 求直线$l_2$的解析式使用待定系数法：设解析式为$y=kx+b$，将$l_2$经过的A、B两点坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。
(3) 求$△ ADC$的面积，首先联立$l_1$和$l_2$的解析式，解方程组得到交点C的坐标；底AD的长度为A、D两点横坐标的差（两点均在x轴上），高为C点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
(4) 存在性问题：$△ PDC$与$△ ADC$共边DC，面积为2倍则点P到DC的距离是点A到DC距离的2倍，分P在C点上方、下方两种情况讨论，先由面积关系得到P点纵坐标，再代入$l_2$解析式求横坐标即可。
【解析】
(1) 已知直线$l_1:y=-3x+3$，点D是$l_1$与x轴的交点，令$y=0$，得：
$0=-3x+3$，解得$x=1$，
$\therefore D(1,0)$。
(2) 设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，
由图可知$l_2$过$A(4,0)$、$B(3,-\frac{3}{2})$，代入得：
$\begin{cases}-\frac{3}{2}=3k+b\\0=4k+b\end{cases}$
两式相减得$k=\frac{3}{2}$，将$k=\frac{3}{2}$代入$0=4k+b$，解得$b=-6$，
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=\frac{3}{2}x-6$。
(3) 联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-3x+3\\y=\frac{3}{2}x-6\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$，即$C(2,-3)$。
$AD$的长度为$4-1=3$，$△ ADC$的高为$|-3|=3$，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
(4) 存在满足条件的点P。
$S_{△ PDC}=2×\frac{9}{2}=9$，分两种情况：
① 当P在C点上方时，P点纵坐标为3，代入$y=\frac{3}{2}x-6$得$3=\frac{3}{2}x-6$，解得$x=6$，即$P(6,3)$；
② 当P在C点下方时，P点纵坐标为-9，代入$y=\frac{3}{2}x-6$得$-9=\frac{3}{2}x-6$，解得$x=-2$，即$P(-2,-9)$。
【答案】
(1) $\boxed{(1,0)}$
(2) $\boxed{y=\frac{3}{2}x-6}$
(3) $\boxed{\frac{9}{2}}$
(4) 存在，点P的坐标为$\boxed{(6,3)}$或$\boxed{(-2,-9)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点问题，一次函数与面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的常规考点与拓展应用，前三问属于基础题型，难度较低；第四问需要结合面积关系分类讨论，考查分类讨论思想，做题时需注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 点D是直线$l_1$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，将$y=0$代入$l_1$的解析式即可求出D点横坐标，得到D的坐标。
(2) 求直线$l_2$的解析式使用待定系数法：设解析式为$y=kx+b$，将$l_2$经过的A、B两点坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。
(3) 求$△ ADC$的面积，首先联立$l_1$和$l_2$的解析式，解方程组得到交点C的坐标；底AD的长度为A、D两点横坐标的差（两点均在x轴上），高为C点纵坐标的绝对值，代入三角形面积公式计算即可。
(4) 存在性问题：$△ PDC$与$△ ADC$共边DC，面积为2倍则点P到DC的距离是点A到DC距离的2倍，分P在C点上方、下方两种情况讨论，先由面积关系得到P点纵坐标，再代入$l_2$解析式求横坐标即可。
【解析】
(1) 已知直线$l_1:y=-3x+3$，点D是$l_1$与x轴的交点，令$y=0$，得：
$0=-3x+3$，解得$x=1$，
$\therefore D(1,0)$。
(2) 设直线$l_2$的解析式为$y=kx+b$，
由图可知$l_2$过$A(4,0)$、$B(3,-\frac{3}{2})$，代入得：
$\begin{cases}-\frac{3}{2}=3k+b\\0=4k+b\end{cases}$
两式相减得$k=\frac{3}{2}$，将$k=\frac{3}{2}$代入$0=4k+b$，解得$b=-6$，
$\therefore$直线$l_2$的解析式为$y=\frac{3}{2}x-6$。
(3) 联立$l_1$和$l_2$的解析式：
$\begin{cases}y=-3x+3\\y=\frac{3}{2}x-6\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=2\\y=-3\end{cases}$，即$C(2,-3)$。
$AD$的长度为$4-1=3$，$△ ADC$的高为$|-3|=3$，
$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
(4) 存在满足条件的点P。
$S_{△ PDC}=2×\frac{9}{2}=9$，分两种情况：
① 当P在C点上方时，P点纵坐标为3，代入$y=\frac{3}{2}x-6$得$3=\frac{3}{2}x-6$，解得$x=6$，即$P(6,3)$；
② 当P在C点下方时，P点纵坐标为-9，代入$y=\frac{3}{2}x-6$得$-9=\frac{3}{2}x-6$，解得$x=-2$，即$P(-2,-9)$。
【答案】
(1) $\boxed{(1,0)}$
(2) $\boxed{y=\frac{3}{2}x-6}$
(3) $\boxed{\frac{9}{2}}$
(4) 存在，点P的坐标为$\boxed{(6,3)}$或$\boxed{(-2,-9)}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点问题，一次函数与面积计算
【点评】
本题综合考查一次函数的常规考点与拓展应用，前三问属于基础题型，难度较低；第四问需要结合面积关系分类讨论，考查分类讨论思想，做题时需注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
