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21.某市为创建“国家级森林城市”，决定栽植甲、乙两种不同的树苗共6 000棵，且甲种树苗的棵数不得多于乙种树苗.某承包商以26万元的报价中标承包了这项工程.根据调查及相关资料表明:移栽一棵树苗的平均费用为8元，甲、乙两种树苗的购买价及成活率如下表。
|品种|购买价/(元/棵)|成活率|
|----|----|----|
|甲|
|90％|
|乙|32|95％|
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元.请根据以上信息回答下列问题:
(1)设y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)承包商要获得不低于中标价16％的利润，应如何选购树苗？
(3)政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93％，否则承包商出资补栽.若成活率达到94％以上(含94％)，则政府另给予工程款总额6％的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
|品种|购买价/(元/棵)|成活率|
|----|----|----|
|甲|
|90％||乙|32|95％|
设购买甲种树苗x棵，承包商获得的利润为y元.请根据以上信息回答下列问题:
(1)设y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)承包商要获得不低于中标价16％的利润，应如何选购树苗？
(3)政府与承包商的合同要求，栽植这批树苗的成活率必须不低于93％，否则承包商出资补栽.若成活率达到94％以上(含94％)，则政府另给予工程款总额6％的奖励，该承包商应如何选购树苗才能获得最大利润？最大利润是多少？
答案
21.解:(1)$y=260000-[20x+32(6000-x)+8×6000]=12x+20000$.
自变量x的取值范围是$0＜x≤3000$.
(2)由题意得$12x+20000≥260000×16\%$,解得$x≥1800$，
$\therefore 1800≤x≤3000$.
购买甲种树苗不少于1800棵且不多于3000棵.
(3)①若成活率不低于93%且低于94%时,由题意得
$\begin{cases}0.9x+0.95(6000-x)≥0.93×6000,\\0.9x+0.95(6000-x)＜0.94×6000,\end{cases}$
解得$1200＜x≤2400$,在$y=12x+20000$中，
$\because 12＞0$,$\therefore y$随x的增大而增大，
$\therefore$当$x=2400$时,$y_{最大}=48800$.
②若成活率达到94%以上(含94%),则$0.9x+0.95(6000-x)≥0.94×6000$,解得$x≤1200$，
由题意得$y=12x+20000+260000×6\%=12x+35600$,$\because 12＞0$,$\therefore y$随x的增大而增大，
$\therefore$当$x=1200$时,$y_{最大值}=50000$.综上所述,$50000＞48800$,$\therefore$购买甲种树苗1200棵,乙种树苗4800棵,可获得最大利润,最大利润是50000元.
自变量x的取值范围是$0＜x≤3000$.
(2)由题意得$12x+20000≥260000×16\%$,解得$x≥1800$，
$\therefore 1800≤x≤3000$.
购买甲种树苗不少于1800棵且不多于3000棵.
(3)①若成活率不低于93%且低于94%时,由题意得
$\begin{cases}0.9x+0.95(6000-x)≥0.93×6000,\\0.9x+0.95(6000-x)＜0.94×6000,\end{cases}$
解得$1200＜x≤2400$,在$y=12x+20000$中，
$\because 12＞0$,$\therefore y$随x的增大而增大，
$\therefore$当$x=2400$时,$y_{最大}=48800$.
②若成活率达到94%以上(含94%),则$0.9x+0.95(6000-x)≥0.94×6000$,解得$x≤1200$，
由题意得$y=12x+20000+260000×6\%=12x+35600$,$\because 12＞0$,$\therefore y$随x的增大而增大，
$\therefore$当$x=1200$时,$y_{最大值}=50000$.综上所述,$50000＞48800$,$\therefore$购买甲种树苗1200棵,乙种树苗4800棵,可获得最大利润,最大利润是50000元.
解析
【分析】
(1) 利润等于总中标价减去总成本，总成本包含甲、乙树苗的购买费用和所有树苗的移栽费用。先表示出购买乙种树苗的数量为(6000-x)棵，分别计算两类成本后代入利润公式，即可得到y与x的函数关系式；再根据“甲种树苗棵数不得多于乙种树苗”以及树苗棵数为正的实际要求，求出自变量x的取值范围。
(2) “不低于中标价16%的利润”即利润$y≥260000×16\%$，代入(1)的函数关系式解不等式，结合x的取值范围即可得到选购方案。
(3) 分两种情况讨论：①成活率在93%（含）到94%之间，②成活率≥94%。先根据成活率的要求分别列出不等式，求出两种情况对应的x的取值范围，再结合一次函数的增减性分别求出两种情况下的最大利润，比较两个最大值即可得到最优方案。
【解析】
(1) 已知购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗$(6000-x)$棵，总利润=中标总价 - 购苗成本 - 移栽成本：
$\begin{aligned}y&=260000 - [20x + 32(6000 - x) + 8×6000]\\&=260000 - (240000 - 12x)\\&=12x + 20000\end{aligned}$
由题意得$x≤6000-x$，解得$x≤3000$，结合树苗棵数为正，自变量x的取值范围是$0＜x≤3000$（x为整数）。
(2) 由题意得利润不低于中标价的16%：
$12x + 20000 ≥ 260000×16\%$
解得$x≥1800$，结合x的取值范围得$1800≤x≤3000$。
(3) 分两种情况讨论：
① 若成活率不低于93%且低于94%：
$\begin{cases}0.9x + 0.95(6000 - x) ≥ 0.93×6000\\0.9x + 0.95(6000 - x) ＜ 0.94×6000\end{cases}$
解得$1200＜x≤2400$，在$y=12x+20000$中，$12＞0$，y随x的增大而增大，因此当$x=2400$时，$y_{最大}=12×2400 + 20000=48800$元。
② 若成活率达到94%以上（含94%）：
$0.9x + 0.95(6000 - x) ≥ 0.94×6000$
解得$x≤1200$，此时利润需加上政府奖励：
$y=12x + 20000 + 260000×6\% = 12x + 35600$
$12＞0$，y随x的增大而增大，因此当$x=1200$时，$y_{最大}=12×1200 + 35600=50000$元。
比较得$50000＞48800$，即购买甲种树苗1200棵，乙种树苗4800棵时利润最大。
【答案】
(1) $y=12x+20000$，自变量x的取值范围是$0＜x≤3000$（x为整数）；
(2) 购买甲种树苗不少于1800棵且不多于3000棵；
(3) 购买甲种树苗1200棵，乙种树苗4800棵时可获得最大利润，最大利润是50000元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用、一次函数的性质
【点评】
本题结合工程实际场景，综合考查了函数与不等式的相关知识，解题时要注意结合自变量的实际意义确定取值范围，分类讨论时不要遗漏情况，求最值时要结合函数的增减性分析。
【难度系数】
0.55
(1) 利润等于总中标价减去总成本，总成本包含甲、乙树苗的购买费用和所有树苗的移栽费用。先表示出购买乙种树苗的数量为(6000-x)棵，分别计算两类成本后代入利润公式，即可得到y与x的函数关系式；再根据“甲种树苗棵数不得多于乙种树苗”以及树苗棵数为正的实际要求，求出自变量x的取值范围。
(2) “不低于中标价16%的利润”即利润$y≥260000×16\%$，代入(1)的函数关系式解不等式，结合x的取值范围即可得到选购方案。
(3) 分两种情况讨论：①成活率在93%（含）到94%之间，②成活率≥94%。先根据成活率的要求分别列出不等式，求出两种情况对应的x的取值范围，再结合一次函数的增减性分别求出两种情况下的最大利润，比较两个最大值即可得到最优方案。
【解析】
(1) 已知购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗$(6000-x)$棵，总利润=中标总价 - 购苗成本 - 移栽成本：
$\begin{aligned}y&=260000 - [20x + 32(6000 - x) + 8×6000]\\&=260000 - (240000 - 12x)\\&=12x + 20000\end{aligned}$
由题意得$x≤6000-x$，解得$x≤3000$，结合树苗棵数为正，自变量x的取值范围是$0＜x≤3000$（x为整数）。
(2) 由题意得利润不低于中标价的16%：
$12x + 20000 ≥ 260000×16\%$
解得$x≥1800$，结合x的取值范围得$1800≤x≤3000$。
(3) 分两种情况讨论：
① 若成活率不低于93%且低于94%：
$\begin{cases}0.9x + 0.95(6000 - x) ≥ 0.93×6000\\0.9x + 0.95(6000 - x) ＜ 0.94×6000\end{cases}$
解得$1200＜x≤2400$，在$y=12x+20000$中，$12＞0$，y随x的增大而增大，因此当$x=2400$时，$y_{最大}=12×2400 + 20000=48800$元。
② 若成活率达到94%以上（含94%）：
$0.9x + 0.95(6000 - x) ≥ 0.94×6000$
解得$x≤1200$，此时利润需加上政府奖励：
$y=12x + 20000 + 260000×6\% = 12x + 35600$
$12＞0$，y随x的增大而增大，因此当$x=1200$时，$y_{最大}=12×1200 + 35600=50000$元。
比较得$50000＞48800$，即购买甲种树苗1200棵，乙种树苗4800棵时利润最大。
【答案】
(1) $y=12x+20000$，自变量x的取值范围是$0＜x≤3000$（x为整数）；
(2) 购买甲种树苗不少于1800棵且不多于3000棵；
(3) 购买甲种树苗1200棵，乙种树苗4800棵时可获得最大利润，最大利润是50000元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式（组）的应用、一次函数的性质
【点评】
本题结合工程实际场景，综合考查了函数与不等式的相关知识，解题时要注意结合自变量的实际意义确定取值范围，分类讨论时不要遗漏情况，求最值时要结合函数的增减性分析。
【难度系数】
0.55
