20.如图,在$□ ABCD$中,DE平分$∠ ADC$交AB于点G,交CB延长线于点E,BF平分$∠ ABC$交AD的延长线于点F.
(1)若$AD=5$,$AB=8$,求$GB$的长.
(2)求证:$∠ E=∠ F$.

20.(1)解:$\because$在$□ABCD$中,DE平分$∠ADC$交AB于点G,BF平分$∠ABC$交AD的延长线于点F，
$\therefore ∠1=∠2,∠3=∠4,AB// DC$.
$\therefore ∠2=∠AGD$.
$\therefore ∠1=∠AGD$.
$\therefore AD=AG=5$.
$\because AB=8$，
$\therefore BG=8-5=3$.
(2)证明:$\because$四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore ∠ADC=∠ABC,DC// AB,AD// BC$.
$\because DE$平分$∠ADC$，
$\therefore ∠CDE=\frac{1}{2}∠ADC$.
$\because BF$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠ABF=\frac{1}{2}∠ABC$.
$\therefore ∠CDE=∠ABF$.
$\because DC// AB$，
$\therefore ∠AGD=∠CDE$.
$\therefore ∠AGD=∠FBA$.
$\therefore ED// FB$.
$\because AF// CE$，
$\therefore$四边形BFDE是平行四边形.
$\therefore ∠E=∠F$.

【分析】
(1) 求GB的长时，已知AB长度，只需先求出AG的长度即可。首先利用平行四边形对边平行的性质得到AB//DC，结合角平分线的定义可推出∠1=∠AGD，证得△ADG为等腰三角形，得到AD=AG，最后用AB减去AG即可算出GB的长。
(2) 要证∠E=∠F，可通过证明四边形BFDE是平行四边形，利用平行四边形对角相等的性质得证。首先根据平行四边形对角相等的性质得∠ADC=∠ABC，结合角平分线定义推出∠CDE=∠ABF，再结合平行线的性质证得ED//FB，结合已知的AD//BC（即AF//CE），即可判定四边形BFDE是平行四边形，进而得到∠E=∠F。
【解析】
(1) 解：$\because$在$□ABCD$中，DE平分$∠ADC$交AB于点G，BF平分$∠ABC$交AD的延长线于点F，
$\therefore ∠1=∠2,∠3=∠4,AB// DC$，
$\therefore ∠2=∠AGD$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠1=∠AGD$，
$\therefore AD=AG=5$（等角对等边），
$\because AB=8$，
$\therefore BG=AB-AG=8-5=3$。
(2) 证明：$\because$四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore ∠ADC=∠ABC,DC// AB,AD// BC$，
$\because DE$平分$∠ADC$，
$\therefore ∠CDE=\frac{1}{2}∠ADC$，
$\because BF$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠ABF=\frac{1}{2}∠ABC$，
$\therefore ∠CDE=∠ABF$，
$\because DC// AB$，
$\therefore ∠AGD=∠CDE$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠AGD=∠FBA$，
$\therefore ED// FB$（同位角相等，两直线平行），
$\because AF// CE$（平行四边形对边平行），
$\therefore$四边形BFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
$\therefore ∠E=∠F$（平行四边形对角相等）。
【答案】
(1) $GB=3$；
(2) 证明见上述解析过程。

【知识点】
平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础题，综合考查了角平分线、平行线和平行四边形的相关知识，解题的核心是掌握角与角、线与线之间的转化逻辑，是平行四边形章节的常考题型。
【难度系数】
0.7