19.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，$∠ ACB = 90°$，$AC = 80$米，$BC = 60$米.若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

19.解:当CD为斜边上的高时,CD最短,从而水渠造价最低.
$\because ∠ACB=90°,AC=80$米,$BC=60$米，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{60^2+80^2}=100$(米).
$\because CD·AB=AC·BC$，
即$CD·100=80×60$，
$\therefore CD=48$米.
$\therefore$在$Rt△ACD$中,$AC=80$米,$CD=48$米，
$\therefore AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{80^2-48^2}=64$(米).
所以,D点在距A点64米的地方,水渠的造价最低,其最低造价为480元.

【分析】
要使水渠造价最低，已知水渠造价为10元/米，因此只需让水渠长度CD最短即可。根据“点到直线的距离中，垂线段最短”的性质，当CD为斜边AB上的高时，CD长度最短。接下来按步骤计算：第一步用勾股定理算出斜边AB的长度；第二步利用直角三角形的两种面积计算方法，通过等积法求出CD的长度；第三步在Rt△ACD中用勾股定理求出AD的长度；最后用CD的长度乘单价得到最低造价。
【解析】
当CD为斜边上的高时，CD最短，此时水渠造价最低。
1. 计算斜边AB的长度：
∵ ∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，
由勾股定理得 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{80^2+60^2}=\sqrt{6400+3600}=\sqrt{10000}=100$（米）。
2. 用等积法求CD的长度：
直角三角形ABC的面积可表示为 $\frac{1}{2}AC·BC$，也可表示为 $\frac{1}{2}AB·CD$，因此：
$AC·BC=AB·CD$，
代入数值得 $80×60=100×CD$，
解得 $CD=48$ 米。
3. 计算AD的长度：
在Rt△ACD中，AC=80米，CD=48米，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{80^2-48^2}=\sqrt{4096}=64$（米）。
4. 计算最低造价：
最低造价为 $48×10=480$（元）。
【答案】
D点在距A点64米处时水渠造价最低，最低造价是480元。
【知识点】
1. 垂线段最短
2. 勾股定理
3. 等积法求高
【点评】
本题结合实际生活中的造价问题，将实际问题转化为几何最值问题进行求解，既考查了对几何基础性质的理解，也考查了运用勾股定理、等积法进行计算的能力，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7