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9. 如图中的程序所示,输入一个整数便会按程序进行计算:
设输入的x值为18,那么根据程序,第1次计算的结果为9;第2次计算的结果为4,…,这样下去,第5次计算的结果是
设输入的x值为18,那么根据程序,第1次计算的结果为9;第2次计算的结果为4,…,这样下去,第5次计算的结果是
-4
;第299次计算的结果是-4
.答案
推理①:因为a＞b，所以a+c＞b+c。
推理②:如果a＞b，那么a+a＞b+a，a+b＞b+b，即2a＞b+a，a+b＞2b，所以2a＞2b。
推理②:如果a＞b，那么a+a＞b+a，a+b＞b+b，即2a＞b+a，a+b＞2b，所以2a＞2b。
解析
【分析】首先按照程序给定的运算规则，从输入x=18开始依次计算前若干次的结果，观察结果的变化规律，找到循环周期后，再根据总次数与循环的对应关系求解第299次的结果。解题时先准确计算前几次结果，确定循环的起始位置和周期长度，再用总次数减去非循环部分的次数，除以周期得到余数，即可对应到循环中的数值。
【解析】我们按照程序规则逐步计算：
输入x=18，
第1次：18是偶数，计算得$\frac{18}{2}=9$；
第2次：9是奇数，计算得$9-5=4$；
第3次：4是偶数，计算得$\frac{4}{2}=2$；
第4次：2是偶数，计算得$\frac{2}{2}=1$；
第5次：1是奇数，计算得$1-5=-4$；
第6次：-4是偶数，计算得$\frac{-4}{2}=-2$；
第7次：-2是偶数，计算得$\frac{-2}{2}=-1$；
第8次：-1是奇数，计算得$-1-5=-6$；
第9次：-6是偶数，计算得$\frac{-6}{2}=-3$；
第10次：-3是奇数，计算得$-3-5=-8$；
第11次：-8是偶数，计算得$\frac{-8}{2}=-4$；
可以发现：从第5次开始，计算结果按照$-4、-2、-1、-6、-3、-8$的顺序每6次为一个循环周期。
求第299次的结果：
前4次不属于循环部分，因此$299-4=295$，计算295除以6的余数：$295÷6=49······1$，余数为1，对应循环周期的第1个数值，即$-4$。
【答案】$\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{-4}$
【知识点】有理数运算，周期规律探究
【点评】本题结合程序运算考查规律探究能力，需要先准确执行运算规则找到循环周期，再利用周期求解多次运算的结果，计算时要注意正负号，同时找准循环的起始位置是避免出错的关键。
【难度系数】0.6
【解析】我们按照程序规则逐步计算：
输入x=18，
第1次：18是偶数，计算得$\frac{18}{2}=9$；
第2次：9是奇数，计算得$9-5=4$；
第3次：4是偶数，计算得$\frac{4}{2}=2$；
第4次：2是偶数，计算得$\frac{2}{2}=1$；
第5次：1是奇数，计算得$1-5=-4$；
第6次：-4是偶数，计算得$\frac{-4}{2}=-2$；
第7次：-2是偶数，计算得$\frac{-2}{2}=-1$；
第8次：-1是奇数，计算得$-1-5=-6$；
第9次：-6是偶数，计算得$\frac{-6}{2}=-3$；
第10次：-3是奇数，计算得$-3-5=-8$；
第11次：-8是偶数，计算得$\frac{-8}{2}=-4$；
可以发现：从第5次开始，计算结果按照$-4、-2、-1、-6、-3、-8$的顺序每6次为一个循环周期。
求第299次的结果：
前4次不属于循环部分，因此$299-4=295$，计算295除以6的余数：$295÷6=49······1$，余数为1，对应循环周期的第1个数值，即$-4$。
【答案】$\boldsymbol{-4}$；$\boldsymbol{-4}$
【知识点】有理数运算，周期规律探究
【点评】本题结合程序运算考查规律探究能力，需要先准确执行运算规则找到循环周期，再利用周期求解多次运算的结果，计算时要注意正负号，同时找准循环的起始位置是避免出错的关键。
【难度系数】0.6
10. (2024·成都中考)在综合实践活动中，数学兴趣小组对1~n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究.发现：
当$n=2$时，只有$\{1,2\}$一种取法，即$k=1$；当$n=3$时，有$\{1,3\}$和$\{2,3\}$两种取法，即$k=2$；当$n=4$时，可得$k=4$；$···$.若$n=6$，则$k$的值为________；若$n=24$，则$k$的值为________.
当$n=2$时，只有$\{1,2\}$一种取法，即$k=1$；当$n=3$时，有$\{1,3\}$和$\{2,3\}$两种取法，即$k=2$；当$n=4$时，可得$k=4$；$···$.若$n=6$，则$k$的值为________；若$n=24$，则$k$的值为________.
答案
(1) D
解析
【分析】
我们可以通过固定较大数的方法计数，避免重复：设取出的两个数为a、b，且a＜b，只需满足a+b＞n，分别计算当b取不同值时符合条件的a的个数，再相加就能得到总取法k，也可以通过小数值总结规律后代入计算。
【解析】
计算n=6时的k值
设两个数满足a＜b，要求a+b＞6：
1. 当b=6时，a可以取1、2、3、4、5，共5种；
2. 当b=5时，a需满足a+5＞6即a＞1，a可以取2、3、4，共3种；
3. 当b=4时，a需满足a+4＞6即a＞2，a可以取3，共1种；
4. 当b≤3时，a＜b≤3，a+b＜3+3=6，没有符合条件的取法。
总取法k=5+3+1=9。
计算n=24时的k值
同样设a＜b，要求a+b＞24：
b=24时，a可取1~23，共23种；
b=23时，a可取2~22，共21种；
b=22时，a可取3~21，共19种；
……
b=13时，a可取12，共1种；
b≤12时，a＜b≤12，a+b＜12+12=24，无符合条件的取法。
总取法是首项为1、末项为23、公差为2的等差数列的和，项数为$\frac{23-1}{2}+1=12$项，和为$\frac{(1+23)×12}{2}=144$。
【答案】
9；144
【知识点】
规律探究、分类计数、等差数列求和
【点评】
本题考查数字类规律探究，采用固定较大数分类计数的方法可以避免重复或遗漏，也可以先推导一般规律再代入计算，锻炼分类讨论和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
我们可以通过固定较大数的方法计数，避免重复：设取出的两个数为a、b，且a＜b，只需满足a+b＞n，分别计算当b取不同值时符合条件的a的个数，再相加就能得到总取法k，也可以通过小数值总结规律后代入计算。
【解析】
计算n=6时的k值
设两个数满足a＜b，要求a+b＞6：
1. 当b=6时，a可以取1、2、3、4、5，共5种；
2. 当b=5时，a需满足a+5＞6即a＞1，a可以取2、3、4，共3种；
3. 当b=4时，a需满足a+4＞6即a＞2，a可以取3，共1种；
4. 当b≤3时，a＜b≤3，a+b＜3+3=6，没有符合条件的取法。
总取法k=5+3+1=9。
计算n=24时的k值
同样设a＜b，要求a+b＞24：
b=24时，a可取1~23，共23种；
b=23时，a可取2~22，共21种；
b=22时，a可取3~21，共19种；
……
b=13时，a可取12，共1种；
b≤12时，a＜b≤12，a+b＜12+12=24，无符合条件的取法。
总取法是首项为1、末项为23、公差为2的等差数列的和，项数为$\frac{23-1}{2}+1=12$项，和为$\frac{(1+23)×12}{2}=144$。
【答案】
9；144
【知识点】
规律探究、分类计数、等差数列求和
【点评】
本题考查数字类规律探究，采用固定较大数分类计数的方法可以避免重复或遗漏，也可以先推导一般规律再代入计算，锻炼分类讨论和归纳总结的能力。
【难度系数】
0.6
11. (2024·重庆中考)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质,下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢原子,第2种如图②有6个氢原子,第3种如图③有8个氢原子,…,按照这一规律,第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 (
A.20
B.22
C.24
D.26
B
)A.20
B.22
C.24
D.26
答案
D
12.（枣庄中考）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（
D
）答案
(1) $s=a+2$；$s=a-2$
(2)
$2.6-2=0.6$（千米）
答：小芳家到学校的距离至少是0.6千米。
(2)
$2.6-2=0.6$（千米）
答：小芳家到学校的距离至少是0.6千米。
13. 某校建立了一个身份识别系统，如图是某个学生的识别图案，灰色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为$a,b,c,d$，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为$a×2^3 + b×2^2 + c×2^1 + d×2^0$。图中第一行数字从左到右依次为1,0,0,1，序号为$1×2^3 + 0×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 =9$（其中$2^0=1$），表示该生为9班学生，下面表示5班学生的识别图案是（
A
B
C D
B
）A
B
C D
答案
(1) $q=6a$
(2)
$54÷(0.06×100)=9$（小时）
答：行驶时间a最大为9小时。
(2)
$54÷(0.06×100)=9$（小时）
答：行驶时间a最大为9小时。
14.（大庆中考改编）如图，把同样大小的黑色棋子摆放在各边长均相等的多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为
440
。答案
(1)
$2a+2b=6b$
$2a=6b-2b$
$2a=4b$
$a=2b$
可得$a=\underline{2}b$。
(2)
把$a=2b$代入$a+b+c=6b$：
$2b+b+c=6b$
$3b+c=6b$
$c=6b-3b$
$c=3b$
可得$c=\underline{3}b$。
$2a+2b=6b$
$2a=6b-2b$
$2a=4b$
$a=2b$
可得$a=\underline{2}b$。
(2)
把$a=2b$代入$a+b+c=6b$：
$2b+b+c=6b$
$3b+c=6b$
$c=6b-3b$
$c=3b$
可得$c=\underline{3}b$。
解析
【分析】
首先观察图形特征：第1个是3条边的三角形，第2个是4条边的四边形，第3个是5条边的五边形，可得第n个图形是(n+2)条边的正多边形。再统计前几个图形的棋子数：第1个有3个，第2个有8个，第3个有15个，第4个有24个，分析数字规律：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，可推导出第n个图形的棋子数为n(n+2)，最后代入n=20计算即可。
【解析】
1. 统计前4个图形的黑色棋子数量：
第1个图：共3个棋子，满足$1×(1+2)=3$；
第2个图：共8个棋子，满足$2×(2+2)=8$；
第3个图：共15个棋子，满足$3×(3+2)=15$；
第4个图：共24个棋子，满足$4×(4+2)=24$；
2. 推导通用规律：
综上可得，第$n$个图形的黑色棋子个数为$n(n+2)$（或$n^2+2n$）。
3. 代入计算第20个图的棋子数：
当$n=20$时，棋子个数$=20×(20+2)=20×22=440$。
【答案】
440
【知识点】
图形规律探究，整式的应用
【点评】
解决这类规律探究题，需要先观察图形的变化共性，再通过枚举前几组数据总结出通用规律，最后验证规律无误后代入目标序号计算即可。
【难度系数】
0.7
首先观察图形特征：第1个是3条边的三角形，第2个是4条边的四边形，第3个是5条边的五边形，可得第n个图形是(n+2)条边的正多边形。再统计前几个图形的棋子数：第1个有3个，第2个有8个，第3个有15个，第4个有24个，分析数字规律：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6，可推导出第n个图形的棋子数为n(n+2)，最后代入n=20计算即可。
【解析】
1. 统计前4个图形的黑色棋子数量：
第1个图：共3个棋子，满足$1×(1+2)=3$；
第2个图：共8个棋子，满足$2×(2+2)=8$；
第3个图：共15个棋子，满足$3×(3+2)=15$；
第4个图：共24个棋子，满足$4×(4+2)=24$；
2. 推导通用规律：
综上可得，第$n$个图形的黑色棋子个数为$n(n+2)$（或$n^2+2n$）。
3. 代入计算第20个图的棋子数：
当$n=20$时，棋子个数$=20×(20+2)=20×22=440$。
【答案】
440
【知识点】
图形规律探究，整式的应用
【点评】
解决这类规律探究题，需要先观察图形的变化共性，再通过枚举前几组数据总结出通用规律，最后验证规律无误后代入目标序号计算即可。
【难度系数】
0.7
15. 在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例:作一个正方形,设每边长为$a$,将每边四等分,作一凸一凹的两个边长为$\frac{a}{4}$的小正方形,如此连续作几次,便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案(如图③).下列步骤:
(1)作一个正方形,设边长为$a$(如图①),此正方形的面积为
(2)对正方形进行第1次分形:将每边四等分,作一凸一凹的两个边长为$\frac{a}{4}$的小正方形,得到图②,此图形的周长为
(3)重复上述的作法,图①经过第
(4)观察探究:上述分形过程中,经过$n$次分形得到的图形周长是
(1)作一个正方形,设边长为$a$(如图①),此正方形的面积为
$a^2$
;(2)对正方形进行第1次分形:将每边四等分,作一凸一凹的两个边长为$\frac{a}{4}$的小正方形,得到图②,此图形的周长为
$8a$
;(3)重复上述的作法,图①经过第
2
次分形后得到图③的图形;(4)观察探究:上述分形过程中,经过$n$次分形得到的图形周长是
$2^{n+2}a$
,面积是$a^2$
.答案
15. (1)$a^2$ (2)$8a$ (3)2 (4)$2^{n+2}a$ $a^2$ 解析:分形过程中,每增加一个小正方形的同时又减少一个相同的小正方形,所以面积不变;仍然是$a^2$.每进行1次分形,周长增加1倍,起始为$4a=2^2a$,第一次分形周长为$8a=2^3a$,第二次分形周长为$16a=2^4a$,第三次分形周长为$32a=2^5a$,…,根据规律可得第n次分形的周长是$2^{n+2}a$.
解析
【分析】
本题是图形分形的规律探究题，各小问解题思路如下：
(1) 直接运用正方形面积公式即可求解；
(2) 对比原正方形周长，观察每边分形后的长度变化：原正方形每边长为a，每边四等分后作一凸一凹的边长为$\frac{a}{4}$的小正方形，每边长度变为原来的2倍，总周长也随之变为原来的2倍；
(3) 观察图形特征：图①为初始图形，图②是第1次分形结果，图③的凹凸层级比图②多1层，即可判断分形次数；
(4) 找规律时，周长部分观察每次分形后的周长倍数关系，结合初始周长推导通式；面积部分注意每次分形凸出来的面积和凹进去的面积相等，总面积不变。
【解析】
(1) 已知正方形边长为$a$，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，可得面积为$a^2$；
(2) 原正方形周长为$4a$，第1次分形后，每边的长度变为原来的2倍，因此总周长为$4a×2=8a$；
(3) 图①是初始图形，图②是第1次分形的结果，图③的边部分形的凹凸程度比图②多1层，因此是第2次分形得到的图形；
(4) 周长规律：初始周长为$4a=2^{2}a$，第1次分形后周长为$8a=2^{3}a$，第2次分形后周长为$16a=2^{4}a$，以此类推，第$n$次分形后周长为$2^{n+2}a$；
面积规律：每次分形时，凸出来的小正方形总面积与凹进去的小正方形总面积相等，因此图形总面积始终等于原正方形的面积，即$a^2$。
【答案】
(1)$a^2$；(2)$8a$；(3)$2$；(4)$2^{n+2}a$，$a^2$
【知识点】
正方形周长与面积；图形规律探究；整式规律应用
【点评】
本题结合趣味分形图形考查规律探究能力，解题的核心是抓住分形过程中周长的倍数变化、面积不变的特征，需要具备一定的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.65
本题是图形分形的规律探究题，各小问解题思路如下：
(1) 直接运用正方形面积公式即可求解；
(2) 对比原正方形周长，观察每边分形后的长度变化：原正方形每边长为a，每边四等分后作一凸一凹的边长为$\frac{a}{4}$的小正方形，每边长度变为原来的2倍，总周长也随之变为原来的2倍；
(3) 观察图形特征：图①为初始图形，图②是第1次分形结果，图③的凹凸层级比图②多1层，即可判断分形次数；
(4) 找规律时，周长部分观察每次分形后的周长倍数关系，结合初始周长推导通式；面积部分注意每次分形凸出来的面积和凹进去的面积相等，总面积不变。
【解析】
(1) 已知正方形边长为$a$，根据正方形面积公式$S=\mathrm{边长}×\mathrm{边长}$，可得面积为$a^2$；
(2) 原正方形周长为$4a$，第1次分形后，每边的长度变为原来的2倍，因此总周长为$4a×2=8a$；
(3) 图①是初始图形，图②是第1次分形的结果，图③的边部分形的凹凸程度比图②多1层，因此是第2次分形得到的图形；
(4) 周长规律：初始周长为$4a=2^{2}a$，第1次分形后周长为$8a=2^{3}a$，第2次分形后周长为$16a=2^{4}a$，以此类推，第$n$次分形后周长为$2^{n+2}a$；
面积规律：每次分形时，凸出来的小正方形总面积与凹进去的小正方形总面积相等，因此图形总面积始终等于原正方形的面积，即$a^2$。
【答案】
(1)$a^2$；(2)$8a$；(3)$2$；(4)$2^{n+2}a$，$a^2$
【知识点】
正方形周长与面积；图形规律探究；整式规律应用
【点评】
本题结合趣味分形图形考查规律探究能力，解题的核心是抓住分形过程中周长的倍数变化、面积不变的特征，需要具备一定的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.65
