1. 按一定规律排列的代数式:$2x,3x^2,4x^3,5x^4,6x^5,···$,第$n$个代数式是 （）

A.$2x^n$
B.$(n-1)x^n$
C.$nx^{n+1}$
D.$(n+1)x^n$

(1)
①6，18，18，6（前四空答案不唯一），54
②27，27
(2)
4.42，0.026
(3)
217.5，2.175
(4)
0.21，210
(5)
=，＜，＜，＞
(6)
120
(7)
100，2813

【分析】要确定第n个代数式，可将代数式拆成系数和含x的部分两部分分别找规律，再合并结果。第一步先找系数的规律：第1个系数是2，第2个是3，第3个是4，第4个是5……可见系数比序号n大1，即系数为n+1；第二步找x的次数规律：第1个x的次数是1，第2个是2，第3个是3……可见x的次数和序号n相等，即xⁿ，合并两部分就能得到第n个代数式。
【解析】分别观察代数式的系数和字母部分的规律：
1. 观察系数：第1个代数式系数为$2=1+1$，第2个为$3=2+1$，第3个为$4=3+1$，因此第n个代数式的系数为$n+1$；
2. 观察x的次数：第1个代数式x的次数为1，第2个为2，第3个为3，因此第n个代数式x的次数为n，即$x^n$；
综上，第n个代数式是$(n+1)x^n$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】整式规律探究、单项式的系数与次数
【点评】本题是典型的代数式规律探究题，解题核心是将复杂的单项式拆分成分别找规律的多个部分，降低找规律的难度，该方法是解决规律类问题的常用思路。
【难度系数】0.8

2. 按一定规律排列的一列数依次为-2,5,-10,17,-26,…,按此规律排列下去,这列数中第n个数(n为正整数)是 ()

A.$-n^2+1$
B.$(-1)^n(n^2+1)$
C.$(-1)^n(n^2-1)$
D.$(-1)^{n+1}(n^2+1)$

(1) B

【分析】
解决这类数列规律题，我们可以分两步思考：第一步先观察符号的变化规律，第二步再观察数字绝对值的变化规律；也可以用代入特殊值（比如n=1、n=2）的方法排除错误选项，快速得到答案。首先看符号：第1个数为负、第2个为正、第3个为负，即奇数项为负，偶数项为正，符合$(-1)^n$的符号规律；再看绝对值：2、5、10、17…分别对应$1^2+1$、$2^2+1$、$3^2+1$…即第n个数的绝对值是$n^2+1$，组合起来就能得到通项；也可以把n=1代入4个选项，不符合第一个数-2的直接排除，就能快速选出答案。
【解析】
方法一：拆分法找规律
1. 符号规律：第n个数的符号，n为奇数时是负，n为偶数时是正，对应因式为$(-1)^n$；
2. 绝对值规律：第1个绝对值$2=1^2+1$，第2个绝对值$5=2^2+1$，第3个绝对值$10=3^2+1$……第n个绝对值为$n^2+1$；
3. 组合得第n个数为$(-1)^n(n^2+1)$。
方法二：特殊值排除法
将n=1分别代入4个选项验证：
A. $-1^2+1=0≠-2$，排除；
B. $(-1)^1×(1^2+1)=-2$，符合第一个数的特征；
C. $(-1)^1×(1^2-1)=0≠-2$，排除；
D. $(-1)^{1+1}×(1^2+1)=2≠-2$，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
数列规律探究、乘方的符号规律、代数式表示
【点评】
本题是整式规律探究的典型基础题，解题核心是将数列拆分为符号和绝对值两部分分别找规律，也可通过代入特殊值的方法快速排除错误选项，提高解题效率。
【难度系数】
0.7

3. 观察多项式:$2a+b,4a^2-b^3,6a^3+b^5,8a^4-b^7,···,$根据规律,第6个多项式为 ()

A.$12a^6+b^{11}$
B.$12a^6-b^{11}$
C.$10a^6-b^{13}$
D.$10a^6-b^{11}$

C

4. (2024·绵阳中考)如图,将全体正偶数排成一个三角数阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个数为2,第二行有2个数为4,6,…,第n行有n个数…….探究其中规律,你认为第n行从左至右第3个数不可能是 ()

A.36
B.96
C.226
D.426

7.6×48=364.8
```
7.6
× 48
----
608
304
----
364.8
```
---
☆14÷80=0.175
```
0.175
80)14.000
8 0
-------
6 00
5 60
-------
400
400
-------
0
```
验算：
```
0.175
× 80
------
14.000
```

5.（常德中考）观察上面的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数$\frac{20}{2023}$若排在第a行b列，则$a-b$的值为（）

A.2 003
B.2 004
C.2 022
D.2 023

6.3÷7×(50000÷10000)
= 0.9×5
= 4.5（吨）
答：这片森林一天可以吸收4.5吨二氧化碳。

6.(2024·潍坊中考)将连续的正整数排成如图所示的数表.记$a_{(i,j)}$为数表中第i行第j列位置的数字,如$a_{(1,2)}=4,a_{(3,2)}=8,a_{(5,4)}=22$.若$a_{(m,n)}=2024$,则$m=$,$n=$.

25 - 1 = 24（次）
18 ÷ 24 = 0.75（秒）
答：平均每次传递需要0.75秒。

【分析】
要确定2024在数表中的位置，首先观察数表特征：奇数行的第1列数字恰好是该行行号的平方，且奇数行的数字从左到右依次递减。我们先找到接近2024的平方数，定位2024所在的行，再根据行内规律确定列数即可。
【解析】
1. 总结数表规律：
观察可得，当行号$i$为奇数时，第$i$行第1列的数为$i^2$，且第$i$行的数从左到右依次减小，即第$i$行第$j$列的数满足$a_{(i,j)}=i^2-(j-1)$。
2. 定位2024所在的行：
计算接近2024的平方数：$44^2=1936$，$45^2=2025$，2025是奇数的平方，符合奇数行第1列的数字特征，因此2025的位置为$a_{(45,1)}=2025$。
3. 确定2024所在的列：
$2024=2025-1$，代入奇数行的数字规律：
$2025-(j-1)=2024$，解得$j=2$。
综上可得$m=45$，$n=2$。
【答案】
$m=45$，$n=2$
【知识点】
数字规律探究，平方数特征
【点评】
本题属于规律探究类题型，解题的核心是先找到特殊位置（奇数行首列）的数字规律，借助平方数快速缩小目标数字的范围，再结合行内变化规律求解位置，难度适中，需要学生具备一定的观察和归纳能力。
【难度系数】
0.65

7. (2024·宁夏中考)观察下列等式：
第1个：$1×2 - 2 = 2^2×0$，第2个：$4×3 - 3 = 3^2×1$，
第3个：$9×4 - 4 = 4^2×2$，第4个：$16×5 - 5 = 5^2×3$。
按照以上规律，第n个等式为。

5×8=40
40-1=39（人）
答：秧歌队至少有39人。

8. 阅读探究: $1^2=\frac{1×2×3}{6},1^2+2^2=\frac{2×3×5}{6},1^2+2^2+3^2=\frac{3×4×7}{6},···.$
(1) 根据上述规律: $1^2+2^2+3^2+4^2=$ ______ (填得数);
(2) 试用一个含有$n$($n$为正整数)的整式表示这个规律,请直接写出这个等式(不需要进行计算说明);
(3) 应用你发现的规律,计算下面算式的值:$21^2+22^2+23^2+24^2+25^2+26^2+27^2+28^2+29^2+30^2.$

8. (1) 30 解析:$1^2=\frac{1×2×3}{6},1^2+2^2=\frac{2×3×5}{6},1^2+2^2+3^2=\frac{3×4×7}{6},···$,根据规律,$1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{4×(4+1)×(2×4+1)}{6}=30$.
(2)$1^2+2^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. 解析:$1^2=\frac{1×2×3}{6},1^2+2^2=\frac{2×3×5}{6},1^2+2^2+3^2=\frac{3×4×7}{6},1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{4×(4+1)×(2×4+1)}{6}=30,···$,根据规律,$1^2+2^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
(3)$21^2+22^2+23^2+24^2+25^2+26^2+27^2+28^2+29^2+30^2=(1^2+2^2+…+30^2)-(1^2+2^2+…+20^2)=\frac{30×31×61}{6}-\frac{20×21×41}{6}=9455-2870=6585$.

【分析】
（1）先观察给出的前三个平方和算式的计算规律，发现等式右边均为“最后一个平方的底数×(底数+1)×(2×底数+1)÷6”的形式，将底数4代入该规律即可算出结果；
（2）将第一问发现的规律中的最后一个底数替换为正整数n，就能得到通用的规律等式；
（3）直接计算21到30的平方和计算量较大，可将所求算式转化为“前30个正整数的平方和减去前20个正整数的平方和”，再代入第二问得到的通用公式计算，即可简化运算。
【解析】
(1) 根据已知算式的规律：$1^2+2^2+\dots+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$，当$k=4$时：
$1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{4×(4+1)×(2×4+1)}{6}=\frac{4×5×9}{6}=30$
(2) 用$n$表示最后一个平方的底数（$n$为正整数），可得规律：
$1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
(3) 所求算式可变形为前30项平方和减去前20项平方和：
$\begin{split}&21^2+22^2+\dots+30^2\\=&(1^2+2^2+\dots+30^2)-(1^2+2^2+\dots+20^2)\\=&\frac{30×31×(2×30+1)}{6}-\frac{20×21×(2×20+1)}{6}\\=&\frac{30×31×61}{6}-\frac{20×21×41}{6}\\=&9455-2870\\=&6585\end{split}$
【答案】
(1) $\boxed{30}$；(2) $\boxed{1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$（$n$为正整数）；(3) $\boxed{6585}$
【知识点】
数字规律探究，平方和公式，有理数混合运算
【点评】
本题侧重考查归纳探究能力和公式的灵活应用能力，先通过有限的算式总结出通用的平方和计算规律，再利用整体转化的方法简化较大范围的平方和计算，能有效锻炼逻辑思维和运算能力。
【难度系数】
0.7