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三、解答题
16. 计算：
(1)$\frac{a^2}{a-b} - \frac{b^2}{a-b}$；
(2)$(a+1 - \frac{4a -5}{a-1}) ÷ (\frac{1}{a-1} - \frac{2}{a^2 -a})$。
16. 计算：
(1)$\frac{a^2}{a-b} - \frac{b^2}{a-b}$；
(2)$(a+1 - \frac{4a -5}{a-1}) ÷ (\frac{1}{a-1} - \frac{2}{a^2 -a})$。
答案
16.(1)$a + b$
(2)$a^2 - 2a$
(2)$a^2 - 2a$
解析
【分析】
（1）第(1)题首先观察到两个分式的分母相同，依据同分母分式减法法则，先保持分母不变，将两个分子相减，得到的分子是平方差形式，对分子因式分解后约去分子分母的公因式，即可得到化简结果。
（2）第(2)题是分式的混合运算，按照运算顺序先计算两个括号内的运算：第一个括号是整式减分式，把整式看作分母为1的分式，和后面的分式通分后计算分子；第二个括号的两个分式分母是多项式，先对分母因式分解找到最简公分母，通分后计算分子。再将除法运算转化为乘法运算，约去分子分母的公因式，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a^2 - b^2}{a - b}$
对分子因式分解得：
原式$=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}$
由分式有意义可知$a≠ b$，约去公因式$a - b$，得：
原式$=a + b$
(2) 先计算第一个括号内的运算：
$a + 1 - \frac{4a - 5}{a - 1} = \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1} - \frac{4a - 5}{a - 1}$
$=\frac{a^2 - 1 - (4a - 5)}{a - 1}$
$=\frac{a^2 - 1 - 4a + 5}{a - 1}$
$=\frac{a^2 - 4a + 4}{a - 1} = \frac{(a - 2)^2}{a - 1}$
再计算第二个括号内的运算，先对分母因式分解：$a^2 - a = a(a - 1)$
$\frac{1}{a - 1} - \frac{2}{a^2 - a} = \frac{a}{a(a - 1)} - \frac{2}{a(a - 1)}$
$=\frac{a - 2}{a(a - 1)}$
将除法转化为乘法：
原式$=\frac{(a - 2)^2}{a - 1} ÷ \frac{a - 2}{a(a - 1)} = \frac{(a - 2)^2}{a - 1} × \frac{a(a - 1)}{a - 2}$
由分式有意义可知$a≠ 0,a≠ 1,a≠ 2$，约去公因式得：
原式$=a(a - 2) = a^2 - 2a$
【答案】
(1)$a + b$；(2)$a^2 - 2a$
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 分式的乘除运算
3. 因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考查分式混合运算的顺序和运算法则，解题的关键是熟练掌握通分、因式分解、约分的方法，运算过程中要注意符号处理，避免漏乘或者符号错误。
【难度系数】
0.8
（1）第(1)题首先观察到两个分式的分母相同，依据同分母分式减法法则，先保持分母不变，将两个分子相减，得到的分子是平方差形式，对分子因式分解后约去分子分母的公因式，即可得到化简结果。
（2）第(2)题是分式的混合运算，按照运算顺序先计算两个括号内的运算：第一个括号是整式减分式，把整式看作分母为1的分式，和后面的分式通分后计算分子；第二个括号的两个分式分母是多项式，先对分母因式分解找到最简公分母，通分后计算分子。再将除法运算转化为乘法运算，约去分子分母的公因式，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 原式$=\frac{a^2 - b^2}{a - b}$
对分子因式分解得：
原式$=\frac{(a + b)(a - b)}{a - b}$
由分式有意义可知$a≠ b$，约去公因式$a - b$，得：
原式$=a + b$
(2) 先计算第一个括号内的运算：
$a + 1 - \frac{4a - 5}{a - 1} = \frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1} - \frac{4a - 5}{a - 1}$
$=\frac{a^2 - 1 - (4a - 5)}{a - 1}$
$=\frac{a^2 - 1 - 4a + 5}{a - 1}$
$=\frac{a^2 - 4a + 4}{a - 1} = \frac{(a - 2)^2}{a - 1}$
再计算第二个括号内的运算，先对分母因式分解：$a^2 - a = a(a - 1)$
$\frac{1}{a - 1} - \frac{2}{a^2 - a} = \frac{a}{a(a - 1)} - \frac{2}{a(a - 1)}$
$=\frac{a - 2}{a(a - 1)}$
将除法转化为乘法：
原式$=\frac{(a - 2)^2}{a - 1} ÷ \frac{a - 2}{a(a - 1)} = \frac{(a - 2)^2}{a - 1} × \frac{a(a - 1)}{a - 2}$
由分式有意义可知$a≠ 0,a≠ 1,a≠ 2$，约去公因式得：
原式$=a(a - 2) = a^2 - 2a$
【答案】
(1)$a + b$；(2)$a^2 - 2a$
【知识点】
1. 分式的加减运算
2. 分式的乘除运算
3. 因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规题型，核心考查分式混合运算的顺序和运算法则，解题的关键是熟练掌握通分、因式分解、约分的方法，运算过程中要注意符号处理，避免漏乘或者符号错误。
【难度系数】
0.8
17. 化简$( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{x^2 - x} ) ÷ \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2}$，并从$-1,0,1,2$中选择一个合适的数作为$x$的值，求代数式的值。
答案
解:原式=$\frac{x^2 - 1}{x(x - 1)} · \frac{x^2}{(x + 1)^2}$
=$\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)} · \frac{x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x}{x + 1}.$
$\because x + 1,x - 1,x$均不为0，
$\therefore x = 2$,此时原式=$\frac{2}{3}.$
=$\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)} · \frac{x^2}{(x + 1)^2} = \frac{x}{x + 1}.$
$\because x + 1,x - 1,x$均不为0，
$\therefore x = 2$,此时原式=$\frac{2}{3}.$
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：首先处理括号内的分式减法，先对第二个分母$x^2-x$因式分解，找到最简公分母为$x(x-1)$，通分后计算分子的差；接下来将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中能因式分解的多项式（如平方差$x^2-1$、完全平方式$x^2+2x+1$）进行因式分解；再约分化简得到最简结果，最后根据分式有意义的条件（所有分母、除式不能为0）排除不符合要求的$x$值，选择合法的$x$代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对原式变形计算：
原式$=( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{x(x - 1)} ) ÷ \frac{(x+1)^2}{x^2}$
$=\frac{x^2 - 1}{x(x - 1)} · \frac{x^2}{(x + 1)^2}$
对分子因式分解得：
$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)} · \frac{x^2}{(x + 1)^2}$
约分后可得化简结果：
$=\frac{x}{x + 1}$
再判断$x$的可取值：要使原式所有分式有意义，需满足$x≠0$，$x-1≠0$，$x+1≠0$，因此$x$不能取$-1,0,1$，只能选择$x=2$。
将$x=2$代入化简结果：
原式$=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{x}{x+1}$，选择$x=2$时代数式的值为$\frac{2}{3}$。
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式计算的常规题型，既考查了分式通分、约分、乘除运算的基本规则，也设置了取值陷阱，解题时需注意代入的数值必须保证原式中所有分式的分母和除式均不为0，不能仅依据化简后的式子选择$x$的取值。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值类题目，解题思路可分为三步：首先处理括号内的分式减法，先对第二个分母$x^2-x$因式分解，找到最简公分母为$x(x-1)$，通分后计算分子的差；接下来将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中能因式分解的多项式（如平方差$x^2-1$、完全平方式$x^2+2x+1$）进行因式分解；再约分化简得到最简结果，最后根据分式有意义的条件（所有分母、除式不能为0）排除不符合要求的$x$值，选择合法的$x$代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对原式变形计算：
原式$=( \frac{x}{x-1} - \frac{1}{x(x - 1)} ) ÷ \frac{(x+1)^2}{x^2}$
$=\frac{x^2 - 1}{x(x - 1)} · \frac{x^2}{(x + 1)^2}$
对分子因式分解得：
$=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x(x - 1)} · \frac{x^2}{(x + 1)^2}$
约分后可得化简结果：
$=\frac{x}{x + 1}$
再判断$x$的可取值：要使原式所有分式有意义，需满足$x≠0$，$x-1≠0$，$x+1≠0$，因此$x$不能取$-1,0,1$，只能选择$x=2$。
将$x=2$代入化简结果：
原式$=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$
【答案】
化简结果为$\frac{x}{x+1}$，选择$x=2$时代数式的值为$\frac{2}{3}$。
【知识点】
分式混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式计算的常规题型，既考查了分式通分、约分、乘除运算的基本规则，也设置了取值陷阱，解题时需注意代入的数值必须保证原式中所有分式的分母和除式均不为0，不能仅依据化简后的式子选择$x$的取值。
【难度系数】
0.7
18. 已知关于$x$的分式方程$\frac{m+x-1}{x} - \frac{3m+1}{x+1}=1$.
(1)当$m=-1$时,请判断这个方程是否有解,并说明理由;
(2)若这个分式方程有实数解,求$m$的取值范围.
(1)当$m=-1$时,请判断这个方程是否有解,并说明理由;
(2)若这个分式方程有实数解,求$m$的取值范围.
答案
18.(1)这个方程无解,理由略.
(2)$m≠±1或-\frac{1}{3}.$
(2)$m≠±1或-\frac{1}{3}.$
解析
【分析】
(1) 判断指定m值下分式方程是否有解，先代入m的值，再将分式方程去分母转化为整式方程，若整式方程矛盾无解，或整式方程的解为原分式的增根，则原方程无解；(2) 求方程有实数解时m的取值范围，先去分母转化为整式方程，首先保证整式方程有解，再排除使原分式分母为0（即增根）对应的m值，即可得到符合要求的取值范围。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，方程无解，理由如下：
将$m=-1$代入原方程得：$\frac{x-2}{x} - \frac{-3+1}{x+1}=1$，化简为$\frac{x-2}{x} + \frac{2}{x+1}=1$
方程两边同乘$x(x+1)$（$x≠0$且$x≠-1$）去分母得：
$(x-2)(x+1)+2x = x(x+1)$
展开整理得：$x^2 +x -2 = x^2 +x$
移项合并同类项得$-2=0$，等式不成立
因此当$m=-1$时，原分式方程无解。
(2) 对原分式方程去分母求解：
方程两边同乘$x(x+1)$（$x≠0$且$x≠-1$）得：
$(m+x-1)(x+1) - (3m+1)x = x(x+1)$
展开整理得：$x^2 - (2m+1)x + m-1 = x^2 +x$
移项合并同类项得：$(2m+2)x = m-1$
① 整式方程有解的前提是一次项系数不为0，即$2m+2≠0$，解得$m≠-1$，此时解为$x=\frac{m-1}{2m+2}$
② 分式方程的解不能为增根，即$x≠0$且$x≠-1$：
若$x=0$，则$\frac{m-1}{2m+2}=0$，得$m=1$，故$m≠1$；
若$x=-1$，则$\frac{m-1}{2m+2}=-1$，解得$m=-\frac{1}{3}$，故$m≠-\frac{1}{3}$。
综上，$m$的取值范围为$m≠±1$且$m≠-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 这个方程无解，理由见解析；
(2) $m≠±1$且$m≠-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程增根的判定，分式方程有解的条件
【点评】
本题重点考查分式方程的计算逻辑，解题时要先将分式方程转化为整式方程，注意分式方程有解需要同时满足整式方程有解、解不是原分式的增根两个条件，切勿遗漏检验环节导致出错。
【难度系数】
0.6
(1) 判断指定m值下分式方程是否有解，先代入m的值，再将分式方程去分母转化为整式方程，若整式方程矛盾无解，或整式方程的解为原分式的增根，则原方程无解；(2) 求方程有实数解时m的取值范围，先去分母转化为整式方程，首先保证整式方程有解，再排除使原分式分母为0（即增根）对应的m值，即可得到符合要求的取值范围。
【解析】
(1) 当$m=-1$时，方程无解，理由如下：
将$m=-1$代入原方程得：$\frac{x-2}{x} - \frac{-3+1}{x+1}=1$，化简为$\frac{x-2}{x} + \frac{2}{x+1}=1$
方程两边同乘$x(x+1)$（$x≠0$且$x≠-1$）去分母得：
$(x-2)(x+1)+2x = x(x+1)$
展开整理得：$x^2 +x -2 = x^2 +x$
移项合并同类项得$-2=0$，等式不成立
因此当$m=-1$时，原分式方程无解。
(2) 对原分式方程去分母求解：
方程两边同乘$x(x+1)$（$x≠0$且$x≠-1$）得：
$(m+x-1)(x+1) - (3m+1)x = x(x+1)$
展开整理得：$x^2 - (2m+1)x + m-1 = x^2 +x$
移项合并同类项得：$(2m+2)x = m-1$
① 整式方程有解的前提是一次项系数不为0，即$2m+2≠0$，解得$m≠-1$，此时解为$x=\frac{m-1}{2m+2}$
② 分式方程的解不能为增根，即$x≠0$且$x≠-1$：
若$x=0$，则$\frac{m-1}{2m+2}=0$，得$m=1$，故$m≠1$；
若$x=-1$，则$\frac{m-1}{2m+2}=-1$，解得$m=-\frac{1}{3}$，故$m≠-\frac{1}{3}$。
综上，$m$的取值范围为$m≠±1$且$m≠-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 这个方程无解，理由见解析；
(2) $m≠±1$且$m≠-\frac{1}{3}$
【知识点】
分式方程的解法，分式方程增根的判定，分式方程有解的条件
【点评】
本题重点考查分式方程的计算逻辑，解题时要先将分式方程转化为整式方程，注意分式方程有解需要同时满足整式方程有解、解不是原分式的增根两个条件，切勿遗漏检验环节导致出错。
【难度系数】
0.6
