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7.若分式$\frac{|x|-1}{x+1}$的值为0，则x的值是(
A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.2
A
).A.1
B.$-1$
C.$\pm1$
D.2
答案
7.A
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（保证分式有意义），两个条件需同时满足。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：即$|x|-1=0$，
解得$|x|=1$，因此$x=1$或$x=-1$；
2. 分母不等于0：即$x+1≠0$，
解得$x≠-1$。
结合两个条件，排除$x=-1$，可得$x=1$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值的性质
【点评】
本题是分式相关的基础题型，易错点是解题时忽略分母不为0的前提，直接根据分子为0选择$\pm1$，做题时需牢记分式有意义是计算分式相关问题的前提。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先需明确分式值为0的两个必备条件：一是分子的值为0，二是分母的值不能为0（保证分式有意义），两个条件需同时满足。解题时先根据分子为0求出x的可能取值，再代入分母验证，排除使分母为0的x值，剩下的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足两个条件：
1. 分子等于0：即$|x|-1=0$，
解得$|x|=1$，因此$x=1$或$x=-1$；
2. 分母不等于0：即$x+1≠0$，
解得$x≠-1$。
结合两个条件，排除$x=-1$，可得$x=1$。
【答案】
A
【知识点】
分式值为0的条件、绝对值的性质
【点评】
本题是分式相关的基础题型，易错点是解题时忽略分母不为0的前提，直接根据分子为0选择$\pm1$，做题时需牢记分式有意义是计算分式相关问题的前提。
【难度系数】
0.7
8. 老师设计了一个接力游戏，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算。其中一个组的过程是：老师给甲，甲计算一步后写出结果给乙，乙计算一步后写出结果给丙，丙计算一步后写出结果给丁，丁最后算出结果如下。接力中，自己负责的一步出现错误的是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
B
).A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
8.B
解析
【分析】
本题考查分式减法的运算步骤，解题时需按照分式通分、分子去括号、合并同类项、约分的顺序，逐一核对每一步的运算是否正确：首先确定两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，依次检查甲的通分步骤、乙的分子去括号步骤、丙的合并同类项步骤、丁的约分步骤是否符合运算法则，即可找到出错的步骤。
【解析】
1. 核对甲的步骤：原式为$\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}$，通分后分母为$a^2-b^2$，第一个分式分子乘$(a+b)$得$a(a+b)$，第二个分式分子乘$(a-b)$得$b(a-b)$，因此甲得到的$\frac{a(a+b)}{a^2-b^2}-\frac{b(a-b)}{a^2-b^2}$运算正确。
2. 核对乙的步骤：对分子部分展开计算，$a(a+b)-b(a-b)=a^2+ab-(ab-b^2)=a^2+ab-ab+b^2$，但乙给出的分子为$a^2+ab-ab-b^2$，去括号时未给括号内的$-b^2$变号，运算错误。
3. 核对丙的步骤：丙承接乙的结果，将分子合并同类项得$a^2-b^2$，分母改写为$(a+b)(a-b)$，自身运算步骤正确。
4. 核对丁的步骤：对$\frac{a^2-b^2}{(a+b)(a-b)}$约分，分子因式分解后和分母约去公因式得1，运算正确。
因此负责的步骤出错的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式减法运算、去括号法则、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心易错点是去括号时的符号处理，当括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，运算时要格外注意符号规则，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式减法的运算步骤，解题时需按照分式通分、分子去括号、合并同类项、约分的顺序，逐一核对每一步的运算是否正确：首先确定两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，依次检查甲的通分步骤、乙的分子去括号步骤、丙的合并同类项步骤、丁的约分步骤是否符合运算法则，即可找到出错的步骤。
【解析】
1. 核对甲的步骤：原式为$\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}$，通分后分母为$a^2-b^2$，第一个分式分子乘$(a+b)$得$a(a+b)$，第二个分式分子乘$(a-b)$得$b(a-b)$，因此甲得到的$\frac{a(a+b)}{a^2-b^2}-\frac{b(a-b)}{a^2-b^2}$运算正确。
2. 核对乙的步骤：对分子部分展开计算，$a(a+b)-b(a-b)=a^2+ab-(ab-b^2)=a^2+ab-ab+b^2$，但乙给出的分子为$a^2+ab-ab-b^2$，去括号时未给括号内的$-b^2$变号，运算错误。
3. 核对丙的步骤：丙承接乙的结果，将分子合并同类项得$a^2-b^2$，分母改写为$(a+b)(a-b)$，自身运算步骤正确。
4. 核对丁的步骤：对$\frac{a^2-b^2}{(a+b)(a-b)}$约分，分子因式分解后和分母约去公因式得1，运算正确。
因此负责的步骤出错的是乙。
【答案】
B
【知识点】
分式减法运算、去括号法则、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心易错点是去括号时的符号处理，当括号前为负号时，括号内所有项都要改变符号，运算时要格外注意符号规则，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
9. 已知关于$x$的方程$\frac{3}{x}=\frac{k}{3-x}$的解是正整数，且$k$为整数，则$k$的值是(
A.0
B.－2
C.0或6
D.－2或6
D
).A.0
B.－2
C.0或6
D.－2或6
答案
9.D
解析
【分析】
解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，用含k的代数式表示出x；再根据方程的解是正整数，得到x＞0且x为整数，同时要注意分式方程分母不能为0，即x≠0且x≠3，排除增根的情况；最后结合k为整数的条件，筛选出符合要求的k值即可。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x(3-x)$（注意隐含条件：$x≠0$，$3-x≠0$即$x≠3$），得：
$3(3-x)=kx$
展开整理：
$9-3x=kx$
移项合并同类项：
$x(k+3)=9$
当$k+3≠0$时，解得：$x=\frac{9}{k+3}$
∵ 方程的解是正整数
∴ $\frac{9}{k+3}$是正整数，即$k+3$是9的正约数
9的正约数有1、3、9，分情况讨论：
1. 当$k+3=1$时，$k=-2$，此时$x=\frac{9}{1}=9$，是正整数，且$x≠3$，符合条件；
2. 当$k+3=3$时，$k=0$，此时$x=\frac{9}{3}=3$，$x=3$使原方程分母为0，是增根，舍去；
3. 当$k+3=9$时，$k=6$，此时$x=\frac{9}{9}=1$，是正整数，且$x≠3$，符合条件。
综上，k的值为-2或6。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；整数解的确定
【点评】
本题考查分式方程相关知识，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，忘记排除增根对应的k值，从而误选C，求解分式方程类问题时一定要记得验根。
【难度系数】
0.6
解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，用含k的代数式表示出x；再根据方程的解是正整数，得到x＞0且x为整数，同时要注意分式方程分母不能为0，即x≠0且x≠3，排除增根的情况；最后结合k为整数的条件，筛选出符合要求的k值即可。
【解析】
首先对原分式方程去分母，两边同乘最简公分母$x(3-x)$（注意隐含条件：$x≠0$，$3-x≠0$即$x≠3$），得：
$3(3-x)=kx$
展开整理：
$9-3x=kx$
移项合并同类项：
$x(k+3)=9$
当$k+3≠0$时，解得：$x=\frac{9}{k+3}$
∵ 方程的解是正整数
∴ $\frac{9}{k+3}$是正整数，即$k+3$是9的正约数
9的正约数有1、3、9，分情况讨论：
1. 当$k+3=1$时，$k=-2$，此时$x=\frac{9}{1}=9$，是正整数，且$x≠3$，符合条件；
2. 当$k+3=3$时，$k=0$，此时$x=\frac{9}{3}=3$，$x=3$使原方程分母为0，是增根，舍去；
3. 当$k+3=9$时，$k=6$，此时$x=\frac{9}{9}=1$，是正整数，且$x≠3$，符合条件。
综上，k的值为-2或6。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；整数解的确定
【点评】
本题考查分式方程相关知识，解题的易错点是容易忽略分式方程分母不为0的隐含条件，忘记排除增根对应的k值，从而误选C，求解分式方程类问题时一定要记得验根。
【难度系数】
0.6
10. 已知关于$x$的方程$\frac{2x}{x+3}=\frac{mx}{x+3}-3$无解，则$m$的值为(
A.2
B.5
C.$-3$
D.2或5
D
).A.2
B.5
C.$-3$
D.2或5
答案
10.D
解析
【分析】
分式方程无解分为两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先去分母将分式方程转化为整式方程，再分上述两种情况讨论求解m的值即可。
【解析】
解：原方程两边同时乘$(x+3)$（隐含条件$x≠ -3$），去分母得：
$2x = mx - 3(x+3)$
展开并整理整式方程：
$2x = mx - 3x - 9$
移项合并同类项得：
$(5 - m)x = -9$
分两种情况讨论方程无解的条件：
1. 当整式方程本身无解时，一次项系数为0：
即$5 - m = 0$，解得$m = 5$，此时方程变为$0· x = -9$，等式不成立，整式方程无解，对应原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x = -3$（使分母$x+3=0$的$x$值）：
将$x = -3$代入$(5 - m)x = -9$得：
$(5 - m)×(-3) = -9$
两边同时除以$-3$得：$5 - m = 3$，解得$m = 2$。
综上，$m$的值为2或5。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程无解的判定
2. 分式方程的增根
3. 解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程无解的分类讨论，解题时容易只考虑增根的情况，遗漏整式方程本身无解的情况，做题时要完整梳理所有可能的无解情形，避免漏解。
【难度系数】
0.6
分式方程无解分为两种情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。解题时先去分母将分式方程转化为整式方程，再分上述两种情况讨论求解m的值即可。
【解析】
解：原方程两边同时乘$(x+3)$（隐含条件$x≠ -3$），去分母得：
$2x = mx - 3(x+3)$
展开并整理整式方程：
$2x = mx - 3x - 9$
移项合并同类项得：
$(5 - m)x = -9$
分两种情况讨论方程无解的条件：
1. 当整式方程本身无解时，一次项系数为0：
即$5 - m = 0$，解得$m = 5$，此时方程变为$0· x = -9$，等式不成立，整式方程无解，对应原分式方程无解。
2. 当整式方程的解是原分式方程的增根时，增根为$x = -3$（使分母$x+3=0$的$x$值）：
将$x = -3$代入$(5 - m)x = -9$得：
$(5 - m)×(-3) = -9$
两边同时除以$-3$得：$5 - m = 3$，解得$m = 2$。
综上，$m$的值为2或5。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程无解的判定
2. 分式方程的增根
3. 解分式方程
【点评】
本题重点考查分式方程无解的分类讨论，解题时容易只考虑增根的情况，遗漏整式方程本身无解的情况，做题时要完整梳理所有可能的无解情形，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11. 化简$(\dfrac{x^2 + 4}{x} + 4) ÷ \dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 2x}$，结果是________
答案
11.$x+2$
解析
【分析】
这是一道分式混合运算化简题，解题思路如下：①先计算括号内的异分母分式加法，需先通分，将整式4转化为分母为x的分式，再合并分子；②将分式除法转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；③对所有分子、分母中能因式分解的多项式进行因式分解；④约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
解：原式$=( \dfrac{x^2+4}{x}+\dfrac{4x}{x} ) ÷ \dfrac{x^2-4}{x^2-2x}$
$=\dfrac{x^2+4x+4}{x} × \dfrac{x^2-2x}{x^2-4}$
对分子分母因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入得：
原式$=\dfrac{(x+2)^2}{x} × \dfrac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}$
约去公因式$x$、$x-2$、$x+2$（隐含条件：$x≠0$且$x≠\pm2$），可得：
原式$=x+2$
【答案】
$x+2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的约分
【点评】
本题是分式化简的常规题型，核心是遵循分式运算的顺序，熟练运用通分、因式分解、约分的方法进行计算，运算过程中要注意公因式要找全，保证约分彻底。
【难度系数】
0.8
这是一道分式混合运算化简题，解题思路如下：①先计算括号内的异分母分式加法，需先通分，将整式4转化为分母为x的分式，再合并分子；②将分式除法转化为乘法运算，即乘以除式的倒数；③对所有分子、分母中能因式分解的多项式进行因式分解；④约去分子分母的公因式，得到最简结果。
【解析】
解：原式$=( \dfrac{x^2+4}{x}+\dfrac{4x}{x} ) ÷ \dfrac{x^2-4}{x^2-2x}$
$=\dfrac{x^2+4x+4}{x} × \dfrac{x^2-2x}{x^2-4}$
对分子分母因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，$x^2-2x=x(x-2)$，$x^2-4=(x+2)(x-2)$，代入得：
原式$=\dfrac{(x+2)^2}{x} × \dfrac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)}$
约去公因式$x$、$x-2$、$x+2$（隐含条件：$x≠0$且$x≠\pm2$），可得：
原式$=x+2$
【答案】
$x+2$
【知识点】
分式的混合运算、因式分解、分式的约分
【点评】
本题是分式化简的常规题型，核心是遵循分式运算的顺序，熟练运用通分、因式分解、约分的方法进行计算，运算过程中要注意公因式要找全，保证约分彻底。
【难度系数】
0.8
12. 如果解关于$x$的方程$\frac{a}{x-3} - 2 = \frac{x-1}{x-3}$产生增根，那么$a$的值是
2
。答案
12.2
解析
【分析】
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：第一步先确定原方程的增根，即令分母x-3=0，得到增根x=3；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数a的值。
【解析】
∵ 分式方程产生增根时，原方程分母为0
∴ 令x-3=0，解得增根为$x=3$
将原方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$去分母，得：
$a - 2(x-3) = x - 1$
把$x=3$代入上述整式方程：
$a - 2×(3-3) = 3 - 1$
计算得：$a=2$
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程部分的常考题型，解题核心是掌握增根的两个特征：一是使原分式的分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，按照这两个特征逐步推导即可求出参数值。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程增根求参数的问题，首先要明确增根的定义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：第一步先确定原方程的增根，即令分母x-3=0，得到增根x=3；第二步将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数a的值。
【解析】
∵ 分式方程产生增根时，原方程分母为0
∴ 令x-3=0，解得增根为$x=3$
将原方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$去分母，得：
$a - 2(x-3) = x - 1$
把$x=3$代入上述整式方程：
$a - 2×(3-3) = 3 - 1$
计算得：$a=2$
【答案】
2
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程部分的常考题型，解题核心是掌握增根的两个特征：一是使原分式的分母为0，二是是去分母后所得整式方程的根，按照这两个特征逐步推导即可求出参数值。
【难度系数】
0.7
13.某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组的工作效率高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间少半小时，甲组每小时可加工
500
个零件。答案
13.500
解析
【分析】这是一道工程类分式方程应用题，解题核心是利用“工作时间=工作总量÷工作效率”的基本关系找等量关系。首先根据甲乙工作效率的倍数关系设未知数，再根据“乙组加工1800个零件的时间 - 甲组加工2000个零件的时间=0.5小时”的时间差列分式方程，求解后检验，最后计算甲组的工作效率即可。
【解析】
解：设乙组每小时可加工$ x $个零件，因为甲组工作效率比乙组高25%，所以甲组每小时可加工$ (1+25\%)x = \frac{5}{4}x $个零件。
根据题意列方程：
$\frac{1800}{x} - \frac{2000}{\frac{5}{4}x} = 0.5$
化简第二项得：$ \frac{2000}{\frac{5}{4}x} = \frac{1600}{x} $，方程变为：
$\frac{1800}{x} - \frac{1600}{x} = 0.5$
合并得：
$\frac{200}{x} = 0.5$
解得$ x = 400 $。
检验：当$ x = 400 $时，分母$ x ≠ 0 $，是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
则甲组每小时加工零件数为：$ 1.25 × 400 = 500 $（个）
【答案】500
【知识点】分式方程应用；工程问题；分式方程检验
【点评】本题属于典型的工程类应用题，解题关键是准确把握工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，列出正确的分式方程，求解后要注意双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证是否符合实际意义。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设乙组每小时可加工$ x $个零件，因为甲组工作效率比乙组高25%，所以甲组每小时可加工$ (1+25\%)x = \frac{5}{4}x $个零件。
根据题意列方程：
$\frac{1800}{x} - \frac{2000}{\frac{5}{4}x} = 0.5$
化简第二项得：$ \frac{2000}{\frac{5}{4}x} = \frac{1600}{x} $，方程变为：
$\frac{1800}{x} - \frac{1600}{x} = 0.5$
合并得：
$\frac{200}{x} = 0.5$
解得$ x = 400 $。
检验：当$ x = 400 $时，分母$ x ≠ 0 $，是原分式方程的解，且符合实际生产的意义。
则甲组每小时加工零件数为：$ 1.25 × 400 = 500 $（个）
【答案】500
【知识点】分式方程应用；工程问题；分式方程检验
【点评】本题属于典型的工程类应用题，解题关键是准确把握工作总量、工作效率、工作时间三者的对应关系，列出正确的分式方程，求解后要注意双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证是否符合实际意义。
【难度系数】0.7
14.已知$x$为整数，且分式$\frac{9x -7}{3x +1}$的值也为整数，则满足条件的所有$x$的值之和为
0
。答案
14.0
解析
【分析】
要解决分式值为整数且x为整数的问题，核心思路是用分离常数法对分式变形：将分子凑成分母的整数倍与常数的和，把分式拆成整式加分子为常数的分式，此时只需保证常数能被分母整除，再结合x为整数的条件筛选解，最后求和即可。
【解析】
先对分式进行分离常数变形：
$\frac{9x -7}{3x +1} = \frac{3(3x+1) - 3 -7}{3x+1} = \frac{3(3x+1) -10}{3x+1} = 3 - \frac{10}{3x+1}$
∵ 分式的值为整数，x为整数
∴ $\frac{10}{3x+1}$ 必须为整数，即 $3x+1$ 是10的整数因数
10的所有整数因数为：$\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$，分别代入求解：
1. 当$3x+1=1$时，解得$x=0$，是整数，符合条件；
2. 当$3x+1=-1$时，解得$x=-\frac{2}{3}$，不是整数，舍去；
3. 当$3x+1=2$时，解得$x=\frac{1}{3}$，不是整数，舍去；
4. 当$3x+1=-2$时，解得$x=-1$，是整数，符合条件；
5. 当$3x+1=5$时，解得$x=\frac{4}{3}$，不是整数，舍去；
6. 当$3x+1=-5$时，解得$x=-2$，是整数，符合条件；
7. 当$3x+1=10$时，解得$x=3$，是整数，符合条件；
8. 当$3x+1=-10$时，解得$x=-\frac{11}{3}$，不是整数，舍去。
符合条件的x值为：0，-1，-2，3，它们的和为：$0 + (-1) + (-2) + 3 = 0$
【答案】
0
【知识点】
分式化简，整数整除性质，分式有意义的条件
【点评】
本题的解题关键是熟练掌握分离常数法对分式变形，再结合整除的性质筛选出符合条件的整数解，求解时注意排除非整数解，避免多算错算。
【难度系数】
0.6
要解决分式值为整数且x为整数的问题，核心思路是用分离常数法对分式变形：将分子凑成分母的整数倍与常数的和，把分式拆成整式加分子为常数的分式，此时只需保证常数能被分母整除，再结合x为整数的条件筛选解，最后求和即可。
【解析】
先对分式进行分离常数变形：
$\frac{9x -7}{3x +1} = \frac{3(3x+1) - 3 -7}{3x+1} = \frac{3(3x+1) -10}{3x+1} = 3 - \frac{10}{3x+1}$
∵ 分式的值为整数，x为整数
∴ $\frac{10}{3x+1}$ 必须为整数，即 $3x+1$ 是10的整数因数
10的所有整数因数为：$\pm1,\pm2,\pm5,\pm10$，分别代入求解：
1. 当$3x+1=1$时，解得$x=0$，是整数，符合条件；
2. 当$3x+1=-1$时，解得$x=-\frac{2}{3}$，不是整数，舍去；
3. 当$3x+1=2$时，解得$x=\frac{1}{3}$，不是整数，舍去；
4. 当$3x+1=-2$时，解得$x=-1$，是整数，符合条件；
5. 当$3x+1=5$时，解得$x=\frac{4}{3}$，不是整数，舍去；
6. 当$3x+1=-5$时，解得$x=-2$，是整数，符合条件；
7. 当$3x+1=10$时，解得$x=3$，是整数，符合条件；
8. 当$3x+1=-10$时，解得$x=-\frac{11}{3}$，不是整数，舍去。
符合条件的x值为：0，-1，-2，3，它们的和为：$0 + (-1) + (-2) + 3 = 0$
【答案】
0
【知识点】
分式化简，整数整除性质，分式有意义的条件
【点评】
本题的解题关键是熟练掌握分离常数法对分式变形，再结合整除的性质筛选出符合条件的整数解，求解时注意排除非整数解，避免多算错算。
【难度系数】
0.6
15.若$a^3 + 3a^2 + a = 0$，则$\frac{2023a^2}{a^4 - 2023a^2 + 1} =$
$0或-\frac{2023}{2016}$
.答案
15.$0或-\frac{2023}{2016}$
解析
【分析】
解题时先对已知等式因式分解，分两种情况讨论：①a=0的情况，直接代入所求分式计算；②a≠0的情况，利用分式基本性质对已知等式和所求分式变形，结合完全平方公式求出整体代换的数值，代入计算即可。要注意避免直接默认a≠0漏掉解，也不要硬解a的值导致计算复杂。
【解析】
首先对已知等式因式分解：
$a^3 + 3a^2 + a = a(a^2 + 3a + 1) = 0$
分两种情况讨论：
1. 当$a=0$时：
代入所求分式，分子$2023a^2=0$，分母$a^4 - 2023a^2 + 1=0 - 0 +1=1≠0$，分式有意义，此时$\frac{2023a^2}{a^4 - 2023a^2 + 1}=0$。
2. 当$a≠0$时，可得$a^2 + 3a + 1 = 0$：
因为a≠0，等式两边同时除以a，得$a + 3 + \frac{1}{a}=0$，即$a + \frac{1}{a}=-3$。
将等式两边同时平方，根据完全平方公式得：
$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 9$，因此$a^2 + \frac{1}{a^2}=7$。
对所求分式变形，因为a≠0，分子分母同时除以$a^2$：
$\frac{2023a^2}{a^4 - 2023a^2 + 1}=\frac{2023}{a^2 + \frac{1}{a^2} - 2023}$
把$a^2 + \frac{1}{a^2}=7$代入，得：
$\frac{2023}{7 - 2023}=-\frac{2023}{2016}$
综上，原式的值为0或$-\frac{2023}{2016}$。
【答案】
$0或-\frac{2023}{2016}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，完全平方公式
【点评】
本题需要运用分类讨论思想，解题时注意不要遗漏a=0的情况，遇到高次幂的分式求值问题，可通过整体代换的方法简化计算，避免直接求未知数值带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.6
解题时先对已知等式因式分解，分两种情况讨论：①a=0的情况，直接代入所求分式计算；②a≠0的情况，利用分式基本性质对已知等式和所求分式变形，结合完全平方公式求出整体代换的数值，代入计算即可。要注意避免直接默认a≠0漏掉解，也不要硬解a的值导致计算复杂。
【解析】
首先对已知等式因式分解：
$a^3 + 3a^2 + a = a(a^2 + 3a + 1) = 0$
分两种情况讨论：
1. 当$a=0$时：
代入所求分式，分子$2023a^2=0$，分母$a^4 - 2023a^2 + 1=0 - 0 +1=1≠0$，分式有意义，此时$\frac{2023a^2}{a^4 - 2023a^2 + 1}=0$。
2. 当$a≠0$时，可得$a^2 + 3a + 1 = 0$：
因为a≠0，等式两边同时除以a，得$a + 3 + \frac{1}{a}=0$，即$a + \frac{1}{a}=-3$。
将等式两边同时平方，根据完全平方公式得：
$(a+\frac{1}{a})^2=a^2 + 2· a· \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2}=a^2 + \frac{1}{a^2} + 2 = 9$，因此$a^2 + \frac{1}{a^2}=7$。
对所求分式变形，因为a≠0，分子分母同时除以$a^2$：
$\frac{2023a^2}{a^4 - 2023a^2 + 1}=\frac{2023}{a^2 + \frac{1}{a^2} - 2023}$
把$a^2 + \frac{1}{a^2}=7$代入，得：
$\frac{2023}{7 - 2023}=-\frac{2023}{2016}$
综上，原式的值为0或$-\frac{2023}{2016}$。
【答案】
$0或-\frac{2023}{2016}$
【知识点】
因式分解，分式的基本性质，完全平方公式
【点评】
本题需要运用分类讨论思想，解题时注意不要遗漏a=0的情况，遇到高次幂的分式求值问题，可通过整体代换的方法简化计算，避免直接求未知数值带来的繁琐运算。
【难度系数】
0.6
