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1. 在式子$\frac{x}{π},\frac{a^2}{a},\frac{1}{m}(x+y),9x+\frac{10}{y}$中，分式的个数为（
A.4
B.3
C.2
D.1
B
）。A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确分式的判断标准：判断一个式子是否为分式，核心看两点，一是式子为两个整式相除的形式，二是分母中含有字母；需要特别注意π是固定常数，不属于字母，且判断时要以原式的结构为准，不能先约分再判断。接下来我们逐个分析给出的4个式子，就能统计出分式的个数。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，我们逐个判断：
1. 对于$\frac{x}{π}$：π是圆周率，属于固定常数，分母不含字母，因此是整式，不是分式；
2. 对于$\frac{a^2}{a}$：原式分母中含有字母a，符合分式定义，属于分式（不能约分为$a$后再判断，需以原式为准）；
3. 对于$\frac{1}{m}(x+y)$：可变形为$\frac{x+y}{m}$，分母含有字母m，符合分式定义，属于分式；
4. 对于$9x+\frac{10}{y}$：式子中$\frac{10}{y}$的分母含字母y，整个式子属于分式。
综上，分式共有3个。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 分式的判定
【点评】
本题是分式概念的基础考察题，易错点主要有两个：一是误将π当作字母判断，二是对$\frac{a^2}{a}$这类式子先约分再判断是否为分式。只要牢牢抓住“原式分母含字母”这个核心判断标准，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要明确分式的判断标准：判断一个式子是否为分式，核心看两点，一是式子为两个整式相除的形式，二是分母中含有字母；需要特别注意π是固定常数，不属于字母，且判断时要以原式的结构为准，不能先约分再判断。接下来我们逐个分析给出的4个式子，就能统计出分式的个数。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式，我们逐个判断：
1. 对于$\frac{x}{π}$：π是圆周率，属于固定常数，分母不含字母，因此是整式，不是分式；
2. 对于$\frac{a^2}{a}$：原式分母中含有字母a，符合分式定义，属于分式（不能约分为$a$后再判断，需以原式为准）；
3. 对于$\frac{1}{m}(x+y)$：可变形为$\frac{x+y}{m}$，分母含有字母m，符合分式定义，属于分式；
4. 对于$9x+\frac{10}{y}$：式子中$\frac{10}{y}$的分母含字母y，整个式子属于分式。
综上，分式共有3个。
【答案】
B
【知识点】
1. 分式的定义
2. 分式的判定
【点评】
本题是分式概念的基础考察题，易错点主要有两个：一是误将π当作字母判断，二是对$\frac{a^2}{a}$这类式子先约分再判断是否为分式。只要牢牢抓住“原式分母含字母”这个核心判断标准，就能顺利解题。
【难度系数】
0.7
2. 要使分式$\frac{x-2}{(x-1)(x-2)}$有意义，$x$应满足的条件是(
A.$x≠1$
B.$x≠2$
C.$x≠1$或$x≠2$
D.$x≠1$且$x≠2$
D
).A.$x≠1$
B.$x≠2$
C.$x≠1$或$x≠2$
D.$x≠1$且$x≠2$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决分式有意义的问题，首先回忆分式的基本规定：分式有意义的核心要求是分母不能为0，若分母取值为0，分式无意义。本题中分母是两个整式的乘积，根据乘法的性质，只要其中一个因式为0，乘积就为0，因此要让分母不为0，必须保证两个因式都不为0。同时要明确“或”和“且”的区别：“或”表示满足任意一个条件即可，“且”表示两个条件都要满足，此处要求两个因式同时不为0，所以要用“且”连接限制条件。
【解析】
解：分式有意义的条件是分母不等于0。
由题意得，分母$(x-1)(x-2) ≠ 0$
根据乘法零乘积的性质，可得：
$x-1 ≠ 0$ 且 $x-2 ≠ 0$
解得 $x ≠ 1$ 且 $x ≠ 2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 乘积不为0的性质
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，重点考查对分式有意义条件的理解，易错点有两个：一是部分同学会先约分化简分式，漏掉$x≠2$的限制；二是混淆“或”与“且”的逻辑关系，误选C选项。
【难度系数】
0.7
要解决分式有意义的问题，首先回忆分式的基本规定：分式有意义的核心要求是分母不能为0，若分母取值为0，分式无意义。本题中分母是两个整式的乘积，根据乘法的性质，只要其中一个因式为0，乘积就为0，因此要让分母不为0，必须保证两个因式都不为0。同时要明确“或”和“且”的区别：“或”表示满足任意一个条件即可，“且”表示两个条件都要满足，此处要求两个因式同时不为0，所以要用“且”连接限制条件。
【解析】
解：分式有意义的条件是分母不等于0。
由题意得，分母$(x-1)(x-2) ≠ 0$
根据乘法零乘积的性质，可得：
$x-1 ≠ 0$ 且 $x-2 ≠ 0$
解得 $x ≠ 1$ 且 $x ≠ 2$
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 乘积不为0的性质
【点评】
本题是分式章节的基础常考题，重点考查对分式有意义条件的理解，易错点有两个：一是部分同学会先约分化简分式，漏掉$x≠2$的限制；二是混淆“或”与“且”的逻辑关系，误选C选项。
【难度系数】
0.7
3. 如果将分式$\frac{xy}{2x+3y}$中的$x$和$y$都扩大到原来的3倍，那么分式的值（
A.不变
B.扩大到原来的9倍
C.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
D.扩大到原来的3倍
D
）。A.不变
B.扩大到原来的9倍
C.缩小到原来的$\frac{1}{3}$
D.扩大到原来的3倍
答案
3.D
解析
【分析】
要判断x和y都扩大到原来的3倍后分式的值的变化，首先按照题目要求，将原分式中的x替换为3x、y替换为3y，得到新的分式，再利用分式的基本性质化简新分式，最后和原分式对比，就能得出值的变化倍数。
【解析】
将原分式中的x、y分别替换为3x、3y，代入得：
新分式的分子：$3x · 3y = 9xy$
新分式的分母：$2· 3x + 3· 3y = 6x + 9y = 3(2x + 3y)$
因此新分式为：
$\frac{9xy}{3(2x+3y)} = \frac{3xy}{2x+3y} = 3 × \frac{xy}{2x+3y}$
对比原分式$\frac{xy}{2x+3y}$，可知新分式的值是原分式值的3倍，即扩大到原来的3倍。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的约分
【点评】
本题是分式性质的典型应用题型，解题核心是准确代入扩大后的变量，通过化简对比得到结果，只要掌握分式的基本运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要判断x和y都扩大到原来的3倍后分式的值的变化，首先按照题目要求，将原分式中的x替换为3x、y替换为3y，得到新的分式，再利用分式的基本性质化简新分式，最后和原分式对比，就能得出值的变化倍数。
【解析】
将原分式中的x、y分别替换为3x、3y，代入得：
新分式的分子：$3x · 3y = 9xy$
新分式的分母：$2· 3x + 3· 3y = 6x + 9y = 3(2x + 3y)$
因此新分式为：
$\frac{9xy}{3(2x+3y)} = \frac{3xy}{2x+3y} = 3 × \frac{xy}{2x+3y}$
对比原分式$\frac{xy}{2x+3y}$，可知新分式的值是原分式值的3倍，即扩大到原来的3倍。
【答案】
D
【知识点】
1.分式的基本性质
2.分式的约分
【点评】
本题是分式性质的典型应用题型，解题核心是准确代入扩大后的变量，通过化简对比得到结果，只要掌握分式的基本运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 解分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x+2}{1-x}=3$时，去分母后变形为（
A.$2+(x+2)=3(x-1)$
B.$2 - x + 2 = 3(x -1)$
C.$2 - (x +2)=3(1 -x)$
D.$2 - (x +2)=3(x -1)$
D
）.A.$2+(x+2)=3(x-1)$
B.$2 - x + 2 = 3(x -1)$
C.$2 - (x +2)=3(1 -x)$
D.$2 - (x +2)=3(x -1)$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先明确分式方程去分母的核心思路：找到最简公分母，方程两边同时乘最简公分母消去分母，注意每一项都要乘，还要注意符号变化。首先观察两个分母：$x-1$和$1-x$互为相反数，可得$1-x=-(x-1)$，因此最简公分母为$x-1$。接下来给方程每一项乘$x-1$，注意第二个分式的分母转化后符号要对应变化，右侧的常数项3也要乘公分母，整理后即可得到变形结果。
【解析】
首先对原方程的分母进行变形：
∵ $1-x=-(x-1)$
∴ 原方程可改写为：$\frac{2}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=3$
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（此时默认$x≠1$），每一项均乘$x-1$：
$\frac{2}{x-1}×(x-1) - \frac{x+2}{x-1}×(x-1) = 3×(x-1)$
约分后得到：$2 - (x+2) = 3(x-1)$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母 2. 等式的基本性质 3. 分式符号法则
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查去分母过程中的符号处理，尤其是当两个分母互为相反数时的变形规则，易错点是去分母时漏乘常数项、或者符号处理错误，掌握该类变形是正确求解分式方程的前提。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确分式方程去分母的核心思路：找到最简公分母，方程两边同时乘最简公分母消去分母，注意每一项都要乘，还要注意符号变化。首先观察两个分母：$x-1$和$1-x$互为相反数，可得$1-x=-(x-1)$，因此最简公分母为$x-1$。接下来给方程每一项乘$x-1$，注意第二个分式的分母转化后符号要对应变化，右侧的常数项3也要乘公分母，整理后即可得到变形结果。
【解析】
首先对原方程的分母进行变形：
∵ $1-x=-(x-1)$
∴ 原方程可改写为：$\frac{2}{x-1}-\frac{x+2}{x-1}=3$
方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（此时默认$x≠1$），每一项均乘$x-1$：
$\frac{2}{x-1}×(x-1) - \frac{x+2}{x-1}×(x-1) = 3×(x-1)$
约分后得到：$2 - (x+2) = 3(x-1)$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 分式方程去分母 2. 等式的基本性质 3. 分式符号法则
【点评】
本题是分式方程求解的基础题型，重点考查去分母过程中的符号处理，尤其是当两个分母互为相反数时的变形规则，易错点是去分母时漏乘常数项、或者符号处理错误，掌握该类变形是正确求解分式方程的前提。
【难度系数】
0.8
5. 目前，纳米技术广泛应用于光学、医药、通信等领域.纳米丝是一个广义上的概念，通常5微米以下的材料均可以称作纳米丝.已知1纳米是1米的十亿分之一，某种纳米丝的平均直径为25纳米，该数据用科学记数法可以表示为(
A.$2.5× 10^{-9}$米
B.$2.5× 10^{-8}$米
C.$0.25× 10^{-7}$米
D.$25× 10^{-9}$米
B
).A.$2.5× 10^{-9}$米
B.$2.5× 10^{-8}$米
C.$0.25× 10^{-7}$米
D.$25× 10^{-9}$米
答案
5.B
解析
【分析】
要解决这道题可按三步思考：第一步，明确纳米和米的换算关系，题目给出1纳米是1米的十亿分之一，即1纳米=10⁻⁹米；第二步，将25纳米换算为以米为单位的数值，用25乘换算系数即可；第三步，把得到的数值调整为符合科学记数法规范的形式，科学记数法要求系数a满足1≤|a|＜10，据此调整10的指数，最后匹配选项即可。
【解析】
首先根据题意可得单位换算关系：$1\mathrm{纳}\mathrm{米}=10^{-9}\mathrm{米}$。
因此25纳米换算为米为：$25×10^{-9}\mathrm{米}$。
科学记数法的标准形式为$a×10^n$，要求$1≤|a|＜10$，n为整数，将25改写为$2.5×10^1$，代入计算得：
$25×10^{-9}=2.5×10^1×10^{-9}=2.5×10^{-8}\mathrm{米}$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法、长度单位换算
【点评】
本题考查用科学记数法表示较小的数，解题核心是掌握纳米和米的换算规则，以及科学记数法的书写规范，调整系数时要注意10的指数的正确计算，避免指数运算失误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题可按三步思考：第一步，明确纳米和米的换算关系，题目给出1纳米是1米的十亿分之一，即1纳米=10⁻⁹米；第二步，将25纳米换算为以米为单位的数值，用25乘换算系数即可；第三步，把得到的数值调整为符合科学记数法规范的形式，科学记数法要求系数a满足1≤|a|＜10，据此调整10的指数，最后匹配选项即可。
【解析】
首先根据题意可得单位换算关系：$1\mathrm{纳}\mathrm{米}=10^{-9}\mathrm{米}$。
因此25纳米换算为米为：$25×10^{-9}\mathrm{米}$。
科学记数法的标准形式为$a×10^n$，要求$1≤|a|＜10$，n为整数，将25改写为$2.5×10^1$，代入计算得：
$25×10^{-9}=2.5×10^1×10^{-9}=2.5×10^{-8}\mathrm{米}$。
综上答案选B。
【答案】
B
【知识点】
科学记数法、长度单位换算
【点评】
本题考查用科学记数法表示较小的数，解题核心是掌握纳米和米的换算规则，以及科学记数法的书写规范，调整系数时要注意10的指数的正确计算，避免指数运算失误。
【难度系数】
0.7
6. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75 km，线路二全程90 km. 汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时. 设汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，则下面所列方程正确的是(
A.$\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8x} + \frac{1}{2}$
B.$\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8x} - \frac{1}{2}$
C.$\frac{75}{1.8x} = \frac{90}{x} + \frac{1}{2}$
D.$\frac{75}{1.8x} = \frac{90}{x} - \frac{1}{2}$
A
).A.$\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8x} + \frac{1}{2}$
B.$\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8x} - \frac{1}{2}$
C.$\frac{75}{1.8x} = \frac{90}{x} + \frac{1}{2}$
D.$\frac{75}{1.8x} = \frac{90}{x} - \frac{1}{2}$
答案
6.A
解析
【分析】
这是一道行程类的分式方程列解题，解题首先回忆行程问题的基本公式：时间=路程÷速度。首先梳理已知条件：设线路一的平均速度为x km/h，则线路二的平均速度为1.8x km/h，线路一全程75km，线路二全程90km。题目的核心等量关系是“线路二的用时比线路一用时少半小时”，即线路一的用时=线路二的用时+半小时，我们只需分别表示出两条线路的用时，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
第一步：分别表示两条线路的行驶时间
已知汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，线路一全程75km，根据时间=路程÷速度，线路一的用时为$\frac{75}{x}$ h；
汽车在线路二上的平均速度是线路一的1.8倍，即线路二速度为1.8x km/h，线路二全程90km，因此线路二的用时为$\frac{90}{1.8x}$ h。
第二步：根据等量关系列方程
由“线路二用时比线路一少半小时（即$\frac{1}{2}$h）”可知，线路一用时比线路二多$\frac{1}{2}$h，可得方程：
$\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8x} + \frac{1}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题基本公式；分式方程实际应用
【点评】
本题考查实际问题中分式方程的列写，解题核心是找准题目的等量关系，同时要注意速度、路程、时间三个量的对应关系，不要混淆两条线路的速度、路程的对应项。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类的分式方程列解题，解题首先回忆行程问题的基本公式：时间=路程÷速度。首先梳理已知条件：设线路一的平均速度为x km/h，则线路二的平均速度为1.8x km/h，线路一全程75km，线路二全程90km。题目的核心等量关系是“线路二的用时比线路一用时少半小时”，即线路一的用时=线路二的用时+半小时，我们只需分别表示出两条线路的用时，代入等量关系即可列出方程。
【解析】
第一步：分别表示两条线路的行驶时间
已知汽车在线路一上行驶的平均速度为x km/h，线路一全程75km，根据时间=路程÷速度，线路一的用时为$\frac{75}{x}$ h；
汽车在线路二上的平均速度是线路一的1.8倍，即线路二速度为1.8x km/h，线路二全程90km，因此线路二的用时为$\frac{90}{1.8x}$ h。
第二步：根据等量关系列方程
由“线路二用时比线路一少半小时（即$\frac{1}{2}$h）”可知，线路一用时比线路二多$\frac{1}{2}$h，可得方程：
$\frac{75}{x} = \frac{90}{1.8x} + \frac{1}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
行程问题基本公式；分式方程实际应用
【点评】
本题考查实际问题中分式方程的列写，解题核心是找准题目的等量关系，同时要注意速度、路程、时间三个量的对应关系，不要混淆两条线路的速度、路程的对应项。
【难度系数】
0.8
