例1 解不等式组 $\begin{cases}2x-1＞-x,\mathrm{①} \\ \frac{1}{2}x＜3.\mathrm{②}\end{cases}$
错解:解不等式①,得 $x＞\frac{1}{3}$.
解不等式②,得 $x＜6$.
剖析:分别解了不等式组中的①和②后,没有写出此不等式组的解集,其原因是对不等式组的解不理解.
正解:

解：
解不等式①：
移项得 $2x + x ＞ 1$，
合并同类项得 $3x ＞ 1$，
系数化为1得 $x ＞ \frac{1}{3}$。
解不等式②：
不等式两边同时乘2，得 $x ＜ 6$。
所以该不等式组的解集为 $\frac{1}{3} ＜ x ＜ 6$。

【分析】
解一元一次不等式组遵循“先分后合”的思路：第一步先分别求解不等式组里的每个一元一次不等式，解单个不等式时按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤操作，注意遵守不等号方向的变化规则；第二步找到两个不等式解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的最终解集，不能仅完成单个不等式的求解就结束解题。
【解析】
解：
解不等式①：
移项得 $2x + x ＞ 1$，
合并同类项得 $3x ＞ 1$，
系数化为1得 $x ＞ \frac{1}{3}$。
解不等式②：
不等式两边同时乘2，得 $x ＜ 6$。
所以该不等式组的解集为 $\frac{1}{3} ＜ x ＜ 6$。
【答案】
$\frac{1}{3} ＜ x ＜ 6$
【知识点】
解一元一次不等式；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是解一元一次不等式组的常规基础题，核心考查解一元一次不等式的运算能力，以及确定不等式组公共解集的方法，解题时需注意解完所有单个不等式后，必须结合解集的取值规则写出最终的公共解集，避免出现漏写不等式组解集的错误。
【难度系数】
0.8

例2 解不等式组$\begin{cases} \dfrac{1}{2}(x+4)＜3, &① \\ \dfrac{x+2}{2}＞\dfrac{x+8}{3}. &② \end{cases}$
错解:解不等式①,得$x+4＜6$,即$x＜2$.
解不等式②,得$x＞10$.
所以不等式的解集为$2＜x＜10$.
剖析:一元一次不等式组的解集是指两个不等式解集的公共部分.本题错在对两个不等式解集的公共部分没有弄清楚.如果对解集的范围不是很清楚,可以先在数轴上表示出来,
标出公共部分后,再写出不等式组的解集.也可以利用口诀“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”确定两个不等式解集的公共部分.
正解:

解：解不等式①，
两边同时乘2，得$x+4＜6$，
计算得$x＜2$。
解不等式②，
两边同时乘6去分母，得$3(x+2)＞2(x+8)$，
去括号得$3x+6＞2x+16$，
移项合并同类项得$x＞10$。
两个不等式的解集$x＜2$和$x＞10$没有公共部分，
所以该不等式组无解。

【分析】
要解这个一元一次不等式组，需分两步进行：第一步先分别求解两个一元一次不等式的解集，第二步判断两个解集的公共部分，公共部分就是不等式组的解集，若没有公共部分则不等式组无解。解不等式①时，根据不等式的性质两边同时乘2消去分母，化简即可得到解集；解不等式②时，先找分母2和3的最小公倍数6，两边同时乘6去分母，再依次经过去括号、移项、合并同类项得到解集；最后可借助数轴或“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的口诀判断两个解集的公共部分情况，得出最终结果。
【解析】
解不等式①，
两边同时乘2，得$x+4＜6$，
计算得$x＜2$。
解不等式②，
两边同时乘6去分母，得$3(x+2)＞2(x+8)$，
去括号得$3x+6＞2x+16$，
移项、合并同类项得$x＞10$。
两个不等式的解集$x＜2$和$x＞10$没有公共部分，
所以该不等式组无解。
【答案】
该不等式组无解
【知识点】
一元一次不等式组的解法，不等式的性质，不等式组解集判定
【点评】
本题考查一元一次不等式组的求解，易错点是求出两个不等式的解集后，错误判断解集的公共部分，解题时可结合口诀或者数轴直观判断解集的公共部分，避免出现错写解集范围的问题。
【难度系数】
0.6

例3 求不等式组$-4 ≤ \frac{1}{2}(3x+4)-3 ≤ 7$的整数解.
错解:解不等式组,得$-2 ≤ x ≤ \frac{16}{3}$,故其整数解是$-2,-1,1,2,3,4,5$.
剖析:本例中解不等式组并没有任何错误,错在取整数解时漏掉了0,整数包括正整数、负整数、0.解决此类问题,一是正确求解不等式(组),二是借助数轴,三是看清要求,四是考虑包不包括分界点.
正解:

解：
对不等式$-4 ≤ \frac{1}{2}(3x+4)-3 ≤ 7$三边同时乘以2，得：
$-8 ≤ 3x + 4 - 6 ≤ 14$
化简得：
$-8 ≤ 3x - 2 ≤ 14$
不等式三边同时加2，得：
$-6 ≤ 3x ≤ 16$
不等式三边同时除以3，得：
$-2 ≤ x ≤ \frac{16}{3}$，即$-2 ≤ x ≤ 5\frac{1}{3}$
满足该取值范围的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5。
所以该不等式组的整数解是-2，-1，0，1，2，3，4，5。

【分析】
这是一道连写形式的一元一次不等式组求解问题，解题思路如下：1. 对于这种左右都带常数的连写不等式，可直接对三边做同步变形，无需拆成两个独立不等式，能简化计算；2. 变形时严格遵循不等式的基本性质，本题乘除的都是正数，不等号方向保持不变；3. 求出x的取值范围后，筛选范围内的整数，注意整数包含负整数、0、正整数，不能遗漏0，同时要注意右端点是分数，最大整数只能取到5，左端点-2包含在内需要算入。
【解析】
解：对不等式$-4 ≤ \frac{1}{2}(3x+4)-3 ≤ 7$三边同时乘以2，得：
$-8 ≤ 3x + 4 - 6 ≤ 14$
化简得：
$-8 ≤ 3x - 2 ≤ 14$
不等式三边同时加2，得：
$-6 ≤ 3x ≤ 16$
不等式三边同时除以3，得：
$-2 ≤ x ≤ \frac{16}{3}$，即$-2 ≤ x ≤ 5\frac{1}{3}$
满足该取值范围的所有整数为：-2，-1，0，1，2，3，4，5。
所以该不等式组的整数解是-2，-1，0，1，2，3，4，5。
【答案】
-2，-1，0，1，2，3，4，5
【知识点】
不等式的性质，一元一次不等式组求解，整数解确定
【点评】
本题属于基础题型，考查连写型不等式的求解及整数解的筛选，直接对三边同步变形可提高解题效率，取整数解时要注意整数包含0，同时明确取值范围的边界是否包含，避免出现漏解、多解的错误。
【难度系数】
0.7

例4 在数轴上把不等式组$-2≤x＜3$的解集表示出来.
错解:如图:

剖析:"实心点与空心圈的区别""射线的方向""数轴画得是否完整"是在数轴上表示不等式(组)解集过程中易错的三点.用数轴表示不等式的解集,应记住下面规律:大于向右画,小于向左画,有等号画实心点,无等号画空心圈.
正解:

解：
1. 画出带有原点、正方向、统一单位长度的完整数轴，依次标注-3、-2、-1、0、1、2、3各刻度。
2. 因为不等号$-2≤ x$包含等号，在数轴上-2对应的位置画实心圆点，表示-2属于解集。
3. 因为不等号$x＜3$不含等号，在数轴上3对应的位置画空心圆圈，表示3不属于解集。
4. 用线段连接-2处的实心圆点和3处的空心圆圈，两点之间覆盖的数轴区域，就是不等式组$-2≤ x＜3$的解集在数轴上的正确表示。

【分析】
要正确在数轴上表示不等式组的解集，首先要牢记相关规则：第一，数轴必须规范，具备原点、正方向、统一单位长度三个要素；第二，边界点的画法：不等号含等号时画实心圆点（说明该点属于解集），不含等号时画空心圆圈（说明该点不属于解集）；第三，解集范围的判断：大于向右延伸，小于向左延伸，不等式组的解集是多个不等式解集的公共部分。本题中不等式组为$-2≤x＜3$，我们先确定两个边界点的虚实，再取两个不等式解集的公共部分即可得到正确表示，要注意避免错解中边界点虚实颠倒、解集范围画成向外射线的错误。
【解析】
1. 画出带有原点、正方向、统一单位长度的完整数轴，依次标注-3、-2、-1、0、1、2、3各刻度。
2. 由于$-2≤ x$包含等号，说明-2属于解集，在数轴上-2对应的位置画实心圆点。
3. 由于$x＜3$不含等号，说明3不属于解集，在数轴上3对应的位置画空心圆圈。
4. 不等式组的解集是两个不等式的公共部分，因此用线段连接-2处的实心圆点和3处的空心圆圈，两点之间覆盖的数轴区域就是该不等式组解集的正确表示。
【答案】
1. 画出带有原点、正方向、统一单位长度的完整数轴，依次标注-3、-2、-1、0、1、2、3各刻度。
2. 因为不等号$-2≤ x$包含等号，在数轴上-2对应的位置画实心圆点，表示-2属于解集。
3. 因为不等号$x＜3$不含等号，在数轴上3对应的位置画空心圆圈，表示3不属于解集。
4. 用线段连接-2处的实心圆点和3处的空心圆圈，两点之间覆盖的数轴区域，就是不等式组$-2≤ x＜3$的解集在数轴上的正确表示。
【知识点】
数轴的画法、不等式解集的数轴表示、不等式组解集的确定
【点评】
本题考察不等式组解集在数轴上的表示，属于基础题型，易错点为混淆实心点与空心圈的使用场景、画错解集的范围，牢记“有等画实、无等画空，大于向右、小于向左”的规则即可准确解题。
【难度系数】
0.8