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例5 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases} x＞2k+1, \\ x＜3k-2 \end{cases}$无解，求$k$的取值范围.
错解:由“大大小小找不到”,可知$2k+1＞3k-2$,解得$k＜3$.
剖析:在确定不等式组的解集时,按常规得出$2k+1＞3k-2$,而忽略了$2k+1$与$3k-2$有可能相等这一情况.解决此类问题要注意:(1)在不等式两边同时乘或除以带字母的式子时,根据不等号方向是否改变来判断其正负;(2)借助数轴或口诀;(3)特别注意是否带等号.
正解:
错解:由“大大小小找不到”,可知$2k+1＞3k-2$,解得$k＜3$.
剖析:在确定不等式组的解集时,按常规得出$2k+1＞3k-2$,而忽略了$2k+1$与$3k-2$有可能相等这一情况.解决此类问题要注意:(1)在不等式两边同时乘或除以带字母的式子时,根据不等号方向是否改变来判断其正负;(2)借助数轴或口诀;(3)特别注意是否带等号.
正解:
答案
解：
∵不等式组$\begin{cases} x＞2k+1 \\ x＜3k-2 \end{cases}$无解，
根据不等式组“大大小小找不到”的解集规律，可得
$2k+1 ≥ 3k-2$，
移项，得：$2k-3k ≥ -2-1$，
合并同类项，得：$-k ≥ -3$，
系数化为1，得：$k ≤ 3$。
∴$k$的取值范围是$k ≤ 3$。
∵不等式组$\begin{cases} x＞2k+1 \\ x＜3k-2 \end{cases}$无解，
根据不等式组“大大小小找不到”的解集规律，可得
$2k+1 ≥ 3k-2$，
移项，得：$2k-3k ≥ -2-1$，
合并同类项，得：$-k ≥ -3$，
系数化为1，得：$k ≤ 3$。
∴$k$的取值范围是$k ≤ 3$。
解析
【分析】
要确定不等式组无解时k的取值范围，首先回忆一元一次不等式组无解的规律：“大大小小找不到”，即x大于的数大于或等于x小于的数时，不等式组没有公共解集。这里需要注意，当2k+1与3k-2相等时，x要同时满足大于和小于同一个数，同样属于无解的情况，不能遗漏等号的情况，接下来列出对应的不等式求解即可。
【解析】
∵不等式组$\begin{cases} x＞2k+1 \\ x＜3k-2 \end{cases}$无解，
根据不等式组“大大小小找不到”的解集规律，可得
$2k+1 ≥ 3k-2$，
移项，得：$2k-3k ≥ -2-1$，
合并同类项，得：$-k ≥ -3$，
系数化为1（不等号方向改变），得：$k ≤ 3$。
【答案】
$k ≤ 3$
【知识点】
1. 不等式组解集判定
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式组无解问题，易错点是容易遗漏两个边界值相等的情况，解题时要注意对临界值进行验证，避免因漏写等号导致取值范围错误。
【难度系数】
0.6
要确定不等式组无解时k的取值范围，首先回忆一元一次不等式组无解的规律：“大大小小找不到”，即x大于的数大于或等于x小于的数时，不等式组没有公共解集。这里需要注意，当2k+1与3k-2相等时，x要同时满足大于和小于同一个数，同样属于无解的情况，不能遗漏等号的情况，接下来列出对应的不等式求解即可。
【解析】
∵不等式组$\begin{cases} x＞2k+1 \\ x＜3k-2 \end{cases}$无解，
根据不等式组“大大小小找不到”的解集规律，可得
$2k+1 ≥ 3k-2$，
移项，得：$2k-3k ≥ -2-1$，
合并同类项，得：$-k ≥ -3$，
系数化为1（不等号方向改变），得：$k ≤ 3$。
【答案】
$k ≤ 3$
【知识点】
1. 不等式组解集判定
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式组无解问题，易错点是容易遗漏两个边界值相等的情况，解题时要注意对临界值进行验证，避免因漏写等号导致取值范围错误。
【难度系数】
0.6
例6 关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x＜3(x-3)+1,① \\ \dfrac{3x+2}{4}＞x+a②\end{cases}$
有四个整数解,求$a$的取值范围.
错解:解不等式①,得$x＞8$.解不等式②,得$x＜2-4a$.因为不等式组有四个整数解,所以$8＜x＜2-4a$中的整数解有4个,即9,10,11,12.故$2-4a≤13$,解得$a≥-\dfrac{11}{4}$.
剖析:本题错误原因是对题意不够理解,从$8＜x＜2-4a$中的整数解有4个,即9,10,11,12,得到$2-4a≤13$,将隐含的$2-4a＞12$的范围漏掉致错.
正解:
有四个整数解,求$a$的取值范围.
错解:解不等式①,得$x＞8$.解不等式②,得$x＜2-4a$.因为不等式组有四个整数解,所以$8＜x＜2-4a$中的整数解有4个,即9,10,11,12.故$2-4a≤13$,解得$a≥-\dfrac{11}{4}$.
剖析:本题错误原因是对题意不够理解,从$8＜x＜2-4a$中的整数解有4个,即9,10,11,12,得到$2-4a≤13$,将隐含的$2-4a＞12$的范围漏掉致错.
正解:
答案
解：
解不等式①：
去括号，得 $2x ＜ 3x -9 +1$，
移项、合并同类项，得 $-x ＜ -8$，
系数化为1，得 $x ＞ 8$。
解不等式②：
去分母，得 $3x + 2 ＞ 4x + 4a$，
移项、合并同类项，得 $-x ＞ 4a -2$，
系数化为1，得 $x ＜ 2 - 4a$。
所以原不等式组的解集为 $8 ＜ x ＜ 2 - 4a$。
因为不等式组有四个整数解，可知这四个整数解为9，10，11，12，
因此可得 $12 ＜ 2 - 4a ≤ 13$，
不等式三边同时减2，得 $10 ＜ -4a ≤ 11$，
三边同时除以$-4$，不等号方向改变，得 $-\dfrac{11}{4} ≤ a ＜ -\dfrac{5}{2}$。
解不等式①：
去括号，得 $2x ＜ 3x -9 +1$，
移项、合并同类项，得 $-x ＜ -8$，
系数化为1，得 $x ＞ 8$。
解不等式②：
去分母，得 $3x + 2 ＞ 4x + 4a$，
移项、合并同类项，得 $-x ＞ 4a -2$，
系数化为1，得 $x ＜ 2 - 4a$。
所以原不等式组的解集为 $8 ＜ x ＜ 2 - 4a$。
因为不等式组有四个整数解，可知这四个整数解为9，10，11，12，
因此可得 $12 ＜ 2 - 4a ≤ 13$，
不等式三边同时减2，得 $10 ＜ -4a ≤ 11$，
三边同时除以$-4$，不等号方向改变，得 $-\dfrac{11}{4} ≤ a ＜ -\dfrac{5}{2}$。
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步，先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到不等式组的解集；第二步，结合解集的下限x＞8以及“有四个整数解”的条件，可确定这四个整数解为9、10、11、12；第三步，根据整数解的范围确定解集上限2-4a的边界：要保证12属于解集、13不属于解集，即可得到关于a的不等式，最后解这个不等式得到a的取值范围，注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【解析】
解不等式①：
去括号，得 $2x ＜ 3x -9 +1$，
移项、合并同类项，得 $-x ＜ -8$，
系数化为1，得 $x ＞ 8$。
解不等式②：
去分母，得 $3x + 2 ＞ 4x + 4a$，
移项、合并同类项，得 $-x ＞ 4a -2$，
系数化为1，得 $x ＜ 2 - 4a$。
所以原不等式组的解集为 $8 ＜ x ＜ 2 - 4a$。
因为不等式组有四个整数解，可知这四个整数解为9，10，11，12，
因此可得 $12 ＜ 2 - 4a ≤ 13$，
不等式三边同时减2，得 $10 ＜ -4a ≤ 11$，
三边同时除以$-4$，不等号方向改变，得 $-\dfrac{11}{4} ≤ a ＜ -\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{11}{4} ≤ a ＜ -\dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组整数解应用，不等式基本性质
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式组整数解的常考题型，解题核心是准确判断参数对应的边界取值，要注意验证端点是否符合题意，避免因漏写边界范围或不等号方向错误失分。
【难度系数】
0.4
解题时可按以下步骤思考：第一步，先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到不等式组的解集；第二步，结合解集的下限x＞8以及“有四个整数解”的条件，可确定这四个整数解为9、10、11、12；第三步，根据整数解的范围确定解集上限2-4a的边界：要保证12属于解集、13不属于解集，即可得到关于a的不等式，最后解这个不等式得到a的取值范围，注意不等式两边除以负数时不等号方向要改变。
【解析】
解不等式①：
去括号，得 $2x ＜ 3x -9 +1$，
移项、合并同类项，得 $-x ＜ -8$，
系数化为1，得 $x ＞ 8$。
解不等式②：
去分母，得 $3x + 2 ＞ 4x + 4a$，
移项、合并同类项，得 $-x ＞ 4a -2$，
系数化为1，得 $x ＜ 2 - 4a$。
所以原不等式组的解集为 $8 ＜ x ＜ 2 - 4a$。
因为不等式组有四个整数解，可知这四个整数解为9，10，11，12，
因此可得 $12 ＜ 2 - 4a ≤ 13$，
不等式三边同时减2，得 $10 ＜ -4a ≤ 11$，
三边同时除以$-4$，不等号方向改变，得 $-\dfrac{11}{4} ≤ a ＜ -\dfrac{5}{2}$。
【答案】
$-\dfrac{11}{4} ≤ a ＜ -\dfrac{5}{2}$
【知识点】
一元一次不等式组解法，不等式组整数解应用，不等式基本性质
【点评】
本题是含参数的一元一次不等式组整数解的常考题型，解题核心是准确判断参数对应的边界取值，要注意验证端点是否符合题意，避免因漏写边界范围或不等号方向错误失分。
【难度系数】
0.4
例7 一些课外书分给若干个小朋友,若每人分3本,则剩余4本;若每人分4本,则有一人不足3本,求小朋友的人数.
错解:设小朋友有$x$人,则课外书一共有$(3x+4)$本.根据题意,得
$3x+4-4(x-1)＜3.$
剖析:错解忽略了实际问题中隐含的不等关系“每人分4本时,最后一个小朋友得到的书最少是0本”.
正解:
错解:设小朋友有$x$人,则课外书一共有$(3x+4)$本.根据题意,得
$3x+4-4(x-1)＜3.$
剖析:错解忽略了实际问题中隐含的不等关系“每人分4本时,最后一个小朋友得到的书最少是0本”.
正解:
答案
解：设小朋友有$x$人，则课外书一共有$(3x+4)$本。
根据题意，得
$\begin{cases}3x+4 - 4(x-1) ＜ 3 \\3x+4 - 4(x-1) \ge 0\end{cases}$
解不等式$3x+4 - 4(x-1) ＜ 3$，得：
$3x+4-4x+4 ＜ 3$
$-x ＜ -5$
$x ＞ 5$
解不等式$3x+4 - 4(x-1) \ge 0$，得：
$3x+4-4x+4 \ge 0$
$-x \ge -8$
$x \le 8$
∴不等式组的解集为$5 ＜ x \le 8$。
∵$x$为正整数，
∴$x$可取6，7，8。
答：小朋友的人数为6人或7人或8人。
根据题意，得
$\begin{cases}3x+4 - 4(x-1) ＜ 3 \\3x+4 - 4(x-1) \ge 0\end{cases}$
解不等式$3x+4 - 4(x-1) ＜ 3$，得：
$3x+4-4x+4 ＜ 3$
$-x ＜ -5$
$x ＞ 5$
解不等式$3x+4 - 4(x-1) \ge 0$，得：
$3x+4-4x+4 \ge 0$
$-x \ge -8$
$x \le 8$
∴不等式组的解集为$5 ＜ x \le 8$。
∵$x$为正整数，
∴$x$可取6，7，8。
答：小朋友的人数为6人或7人或8人。
解析
【分析】
这是一道一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：①先设小朋友人数为$x$，根据第一种分书方式表示出总书量为$(3x+4)$本；②分析第二种分书的情况：前面$(x-1)$个小朋友每人分4本，剩下的书分给最后1个小朋友，这个小朋友分得的书数需满足两个条件：一是“不足3本”即小于3，二是实际分书数量不能为负数，即大于等于0；③根据这两个不等关系列出不等式组，求解后结合$x$是正整数的实际意义筛选出符合条件的解即可。
【解析】
设小朋友有$x$人，则课外书一共有$(3x+4)$本。
根据题意，得
$\begin{cases}3x+4 - 4(x-1) ＜ 3 \\3x+4 - 4(x-1) \ge 0\end{cases}$
解不等式$3x+4 - 4(x-1) ＜ 3$，得：
$3x+4-4x+4 ＜ 3$
$-x ＜ -5$
$x ＞ 5$
解不等式$3x+4 - 4(x-1) \ge 0$，得：
$3x+4-4x+4 \ge 0$
$-x \ge -8$
$x \le 8$
∴不等式组的解集为$5 ＜ x \le 8$。
∵$x$为正整数，
∴$x$可取6，7，8。
答：小朋友的人数为6人或7人或8人。
【答案】
小朋友的人数为6人或7人或8人
【知识点】
一元一次不等式组应用、解一元一次不等式组、实际问题整数解
【点评】
本题属于不等式组的典型实际应用题，易错点是容易忽略“最后一名小朋友分得的书数不能为负数”这个隐含的不等关系，仅列出单侧不等式导致解的范围偏大。解题时要结合实际场景挖掘所有限制条件，求出解集后还要注意对未知数的取值进行符合实际意义的筛选。
【难度系数】
0.6
这是一道一元一次不等式组的实际应用问题，解题思路如下：①先设小朋友人数为$x$，根据第一种分书方式表示出总书量为$(3x+4)$本；②分析第二种分书的情况：前面$(x-1)$个小朋友每人分4本，剩下的书分给最后1个小朋友，这个小朋友分得的书数需满足两个条件：一是“不足3本”即小于3，二是实际分书数量不能为负数，即大于等于0；③根据这两个不等关系列出不等式组，求解后结合$x$是正整数的实际意义筛选出符合条件的解即可。
【解析】
设小朋友有$x$人，则课外书一共有$(3x+4)$本。
根据题意，得
$\begin{cases}3x+4 - 4(x-1) ＜ 3 \\3x+4 - 4(x-1) \ge 0\end{cases}$
解不等式$3x+4 - 4(x-1) ＜ 3$，得：
$3x+4-4x+4 ＜ 3$
$-x ＜ -5$
$x ＞ 5$
解不等式$3x+4 - 4(x-1) \ge 0$，得：
$3x+4-4x+4 \ge 0$
$-x \ge -8$
$x \le 8$
∴不等式组的解集为$5 ＜ x \le 8$。
∵$x$为正整数，
∴$x$可取6，7，8。
答：小朋友的人数为6人或7人或8人。
【答案】
小朋友的人数为6人或7人或8人
【知识点】
一元一次不等式组应用、解一元一次不等式组、实际问题整数解
【点评】
本题属于不等式组的典型实际应用题，易错点是容易忽略“最后一名小朋友分得的书数不能为负数”这个隐含的不等关系，仅列出单侧不等式导致解的范围偏大。解题时要结合实际场景挖掘所有限制条件，求出解集后还要注意对未知数的取值进行符合实际意义的筛选。
【难度系数】
0.6
