1. 用适当的方法解下列方程组：
(1) $\begin{cases} y=2x-3, \\ 3x+2y=8; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x-y=5, \\ 3x+4y=2; \end{cases}$
(3)
(4)

解：
(1) $\begin{cases} y=2x-3&① \\ 3x+2y=8&② \end{cases}$
将①代入②，得：
$3x+2(2x-3)=8$
$3x+4x-6=8$
$7x=14$
解得$x=2$
把$x=2$代入①，得：
$y=2×2-3=1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x-y=5&① \\ 3x+4y=2&② \end{cases}$
①$×4$，得：$8x-4y=20$ ③
③+②，得：
$11x=22$
解得$x=2$
把$x=2$代入①，得：
$2×2 - y=5$
解得$y=-1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} \dfrac{y+1}{4}=\dfrac{x+2}{3}&① \\ 2x-3y=1&② \end{cases}$
将①去分母整理，得：
$3(y+1)=4(x+2)$
$3y+3=4x+8$
$4x-3y=-5$ ③
③$-$②，得：
$2x=-6$
解得$x=-3$
把$x=-3$代入②，得：
$2×(-3)-3y=1$
解得$y=-\dfrac{7}{3}$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=-3 \\ y=-\dfrac{7}{3} \end{cases}$
(4) $\begin{cases} \dfrac{2x+3y}{4}=1+y&① \\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=4&② \end{cases}$
将①去分母整理，得：
$2x+3y=4+4y$
$2x-y=4$ ③
将②去分母整理，得：
$2x+3y=24$ ④
④$-$③，得：
$4y=20$
解得$y=5$
把$y=5$代入③，得：
$2x-5=4$
解得$x=\dfrac{9}{2}$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{9}{2} \\ y=5 \end{cases}$

【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，将二元方程转化为我们熟悉的一元一次方程求解。解题时可根据方程组的形式灵活选择方法：若方程组中给出了一个未知数用另一个未知数表示的形式，优先选择代入消元法；若两个方程中同一未知数的系数互为相反数或成整数倍，优先选择加减消元法；若方程组含有分母，先去分母、整理为整系数的标准二元一次方程组，再选择合适的消元方法，求出一个未知数的解后，代入原方程组中较简单的式子即可求出另一个未知数的解，最后可代入验证解是否满足所有方程。
【解析】
(1) $\begin{cases} y=2x-3&① \\ 3x+2y=8&② \end{cases}$
将①代入②，得：
$3x+2(2x-3)=8$
$3x+4x-6=8$
$7x=14$
解得$x=2$
把$x=2$代入①，得：
$y=2×2-3=1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x-y=5&① \\ 3x+4y=2&② \end{cases}$
①$×4$，得：$8x-4y=20$ ③
③+②，得：
$11x=22$
解得$x=2$
把$x=2$代入①，得：
$2×2 - y=5$
解得$y=-1$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} \dfrac{y+1}{4}=\dfrac{x+2}{3}&① \\ 2x-3y=1&② \end{cases}$
将①去分母整理，得：
$3(y+1)=4(x+2)$
$3y+3=4x+8$
$4x-3y=-5$ ③
③$-$②，得：
$2x=-6$
解得$x=-3$
把$x=-3$代入②，得：
$2×(-3)-3y=1$
解得$y=-\dfrac{7}{3}$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=-3 \\ y=-\dfrac{7}{3} \end{cases}$
(4) $\begin{cases} \dfrac{2x+3y}{4}=1+y&① \\ \dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{2}=4&② \end{cases}$
将①去分母整理，得：
$2x+3y=4+4y$
$2x-y=4$ ③
将②去分母整理，得：
$2x+3y=24$ ④
④$-$③，得：
$4y=20$
解得$y=5$
把$y=5$代入③，得：
$2x-5=4$
解得$x=\dfrac{9}{2}$
所以方程组的解为$\begin{cases} x=\dfrac{9}{2} \\ y=5 \end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=2 \\ y=-1 \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x=-3 \\ y=-\dfrac{7}{3} \end{cases}$
(4) $\begin{cases} x=\dfrac{9}{2} \\ y=5 \end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解能力，解题时要结合方程组的特征灵活选择消元方法，遇到含分母的方程要先去分母化为整系数方程，计算过程中要注意符号变化，避免出现漏乘常数项、移项未变号等错误。
【难度系数】
0.75

2. 用整体法解二元一次方程组：
(1) $\begin{cases}57x + 65y = 179, \\65x + 57y = 187;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}8359x + 1641y = 28359, \\1641x + 8359y = 21641.\end{cases}$

解：
(1) $\begin{cases}57x + 65y = 179 \quad ① \\65x + 57y = 187 \quad ②\end{cases}$
①+②，得：
$122x + 122y = 366$
化简得：$x + y = 3 \quad ③$
②-①，得：
$8x - 8y = 8$
化简得：$x - y = 1 \quad ④$
③+④，得：$2x = 4$，解得$x=2$
把$x=2$代入③，得$2 + y = 3$，解得$y=1$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}8359x + 1641y = 28359 \quad ① \\1641x + 8359y = 21641 \quad ②\end{cases}$
①+②，得：
$10000x + 10000y = 50000$
化简得：$x + y = 5 \quad ③$
①-②，得：
$6718x - 6718y = 6718$
化简得：$x - y = 1 \quad ④$
③+④，得：$2x = 6$，解得$x=3$
把$x=3$代入③，得$3 + y = 5$，解得$y=2$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$

【分析】
观察这两组二元一次方程组，都具备x、y的系数在两个方程中互换的特征，直接用代入消元或常规加减消元计算量很大，所以采用整体法简化：第一步将两个方程相加，提取相同的公因式后可快速得到x+y的最简表达式；第二步将两个方程相减，同样提取公因式得到x-y的最简表达式；最后将得到的x+y、x-y两个新方程联立，用加减消元就能快速求出x、y的值。
【解析】
(1) $\begin{cases}57x + 65y = 179 \quad ① \\65x + 57y = 187 \quad ②\end{cases}$
①+②，得：
$122x + 122y = 366$
化简得：$x + y = 3 \quad ③$
②-①，得：
$8x - 8y = 8$
化简得：$x - y = 1 \quad ④$
③+④，得：$2x = 4$，解得$x=2$
把$x=2$代入③，得$2 + y = 3$，解得$y=1$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$
(2) $\begin{cases}8359x + 1641y = 28359 \quad ① \\1641x + 8359y = 21641 \quad ②\end{cases}$
①+②，得：
$10000x + 10000y = 50000$
化简得：$x + y = 5 \quad ③$
①-②，得：
$6718x - 6718y = 6718$
化简得：$x - y = 1 \quad ④$
③+④，得：$2x = 6$，解得$x=3$
把$x=3$代入③，得$3 + y = 5$，解得$y=2$
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=2 \\ y=1\end{cases}$；(2) $\begin{cases}x=3 \\ y=2\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，整体思想，二元一次方程组求解
【点评】
本题考查特殊结构二元一次方程组的解法，利用整体加减的技巧可避免大系数运算的繁琐，有效降低计算出错概率，熟悉这类方程组的特征能快速找到解题突破口，提升解题效率。
【难度系数】
0.7

3. 用换元法解二元一次方程组：
(1) $\begin{cases} 2(x+1)+3(y-2)=1, \\ (x+1)-2(y-2)=4; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{5}=-3, \\ 2(x+y)-3x+3y=26. \end{cases}$

解：
(1) 令 $ u = x+1 $，$ v = y-2 $，原方程组化为：
$\begin{cases}2u + 3v = 1 \\u - 2v = 4\end{cases}$
由第二个方程得 $ u = 2v + 4 $，代入第一个方程：
$ 2(2v+4) + 3v = 1 $
$ 7v = -7 $
解得 $ v = -1 $
将 $ v=-1 $ 代入 $ u=2v+4 $，得 $ u = 2 $
因此有：
$\begin{cases}x+1 = 2 \\y-2 = -1\end{cases}$
解得 $ \begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases} $
(2) 令 $ a = x+y $，$ b = x-y $，原方程组化为：
$\begin{cases}\dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{5} = -3 \\2a - 3b = 26\end{cases}$
第一个方程两边同乘10去分母，得 $ 5a + 2b = -30 $，联立得：
$\begin{cases}5a + 2b = -30 \\2a - 3b = 26\end{cases}$
将第一个方程乘3，第二个方程乘2后相加：
$ 19a = -38 $
解得 $ a = -2 $
把 $ a=-2 $ 代入 $ 2a - 3b = 26 $，得 $ b = -10 $
因此有：
$\begin{cases}x + y = -2 \\x - y = -10\end{cases}$
两式相加得 $ 2x = -12 $，解得 $ x=-6 $，代入得 $ y=4 $
解得 $ \begin{cases} x=-6 \\ y=4 \end{cases} $
综上，(1)的解为$\boldsymbol{\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}}$，(2)的解为$\boldsymbol{\begin{cases} x=-6 \\ y=4 \end{cases}}$。

【分析】
观察两个方程组的结构，都存在重复出现的代数式整体，采用换元法可以简化计算。解题思路如下：第一步，识别方程组中重复出现的整体，将其设为新的未知数；第二步，把原方程组转化为关于新未知数的简单二元一次方程组，用代入消元法或加减消元法求出新未知数的值；第三步，将新未知数的值代回所设的式子，反解出原未知数x、y的值即可。
【解析】
(1) 令 $ u = x+1 $，$ v = y-2 $，原方程组化为：
$\begin{cases}2u + 3v = 1 \\u - 2v = 4\end{cases}$
由第二个方程得 $ u = 2v + 4 $，代入第一个方程：
$ 2(2v+4) + 3v = 1 $
$ 7v = -7 $
解得 $ v = -1 $
将 $ v=-1 $ 代入 $ u=2v+4 $，得 $ u = 2 $
因此有：
$\begin{cases}x+1 = 2 \\y-2 = -1\end{cases}$
解得 $ \begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases} $
(2) 令 $ a = x+y $，$ b = x-y $，原方程组化为：
$\begin{cases}\dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{5} = -3 \\2a - 3b = 26\end{cases}$
第一个方程两边同乘10去分母，得 $ 5a + 2b = -30 $，联立得：
$\begin{cases}5a + 2b = -30 \\2a - 3b = 26\end{cases}$
将第一个方程乘3，第二个方程乘2后相加：
$ 19a = -38 $
解得 $ a = -2 $
把 $ a=-2 $ 代入 $ 2a - 3b = 26 $，得 $ b = -10 $
因此有：
$\begin{cases}x + y = -2 \\x - y = -10\end{cases}$
两式相加得 $ 2x = -12 $，解得 $ x=-6 $，代入得 $ y=4 $
解得 $ \begin{cases} x=-6 \\ y=4 \end{cases} $
【答案】
(1) $\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$；(2) $\begin{cases} x=-6 \\ y=4 \end{cases}$
【知识点】
换元法，解二元一次方程组，整体思想
【点评】
本题考查换元法解二元一次方程组的应用，通过将重复出现的代数式整体换元，能够简化计算步骤，减少计算失误。解题时需要准确识别可换元的整体结构，熟练掌握代入消元、加减消元两种解二元一次方程组的方法。
【难度系数】
0.7

4. 解下列不等式(组):
(1)$2(x-1)+5＜3x$;
(2)$\frac{x}{5} ≥ 3+\frac{x-2}{2}$;

解：
(1) 去括号，得：
$2x - 2 + 5 ＜ 3x$
合并同类项，得：
$2x + 3 ＜ 3x$
移项，得：
$3x - 2x ＞ 3$
解得：
$x ＞ 3$
(2) 去分母，两边同乘10，得：
$2x ≥ 30 + 5(x - 2)$
去括号，得：
$2x ≥ 30 + 5x - 10$
合并同类项，得：
$2x ≥ 5x + 20$
移项，得：
$2x - 5x ≥ 20$
合并同类项，得：
$-3x ≥ 20$
系数化为1，得：
$x ≤ -\dfrac{20}{3}$

【分析】
本题考查一元一次不等式的求解，解题步骤与一元一次方程解法相似，通用步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。解题时需注意两个核心易错点：①去分母时，不等式两端所有项都要乘各分母的最小公倍数，不可漏乘不含分母的常数项；②系数化为1时，若不等式两边同时除以负数，不等号方向必须改变。第(1)题不含分母，可直接从去括号步骤开始计算；第(2)题含分母，先找分母5和2的最小公倍数10去分母，再按后续步骤计算即可。
【解析】
(1) 去括号，得：
$2x - 2 + 5 ＜ 3x$
合并同类项，得：
$2x + 3 ＜ 3x$
移项，得：
$3x - 2x ＞ 3$
解得：
$x ＞ 3$
(2) 去分母，两边同乘10，得：
$2x ≥ 30 + 5(x - 2)$
去括号，得：
$2x ≥ 30 + 5x - 10$
合并同类项，得：
$2x ≥ 5x + 20$
移项，得：
$2x - 5x ≥ 20$
合并同类项，得：
$-3x ≥ 20$
系数化为1，得：
$x ≤ -\dfrac{20}{3}$
【答案】
(1) $x ＞ 3$；(2) $x ≤ -\dfrac{20}{3}$
【知识点】
1. 一元一次不等式解法 2. 不等式的基本性质 3. 去括号与去分母法则
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础运算题，重点考查解一元一次不等式的常规步骤，易错点为去分母时常数项漏乘公倍数、系数为负时忘记改变不等号方向，解题时细心计算即可得分。
【难度系数】
0.75

平方数的特征
1. 偶数的平方一定能被4整除.
2. 奇数的平方被8除余1.
3. 末尾数字为1,5,6的数的任何次方,末尾数字不变.
(3) $\begin{cases} 2x+5 ≤ 3(x+2), \\ 2x - \dfrac{1+3x}{2} ＜ 1; \end{cases}$
(4) $0 ≤ 76 -5(x-1) ＜5.$

解：
(3) 解不等式 $2x + 5 ≤ 3(x + 2)$：
去括号得 $2x + 5 ≤ 3x + 6$，
移项合并得 $-x ≤ 1$，
系数化为1得 $x ≥ -1$。
解不等式 $2x - \frac{1+3x}{2} ＜ 1$：
去分母得 $4x - (1 + 3x) ＜ 2$，
去括号得 $4x - 1 - 3x ＜ 2$，
移项合并得 $x ＜ 3$。
所以原不等式组的解集为 $-1 ≤ x ＜ 3$。
(4) 原不等式可化为：
$\begin{cases}76 - 5(x - 1) ≥ 0 \\76 - 5(x - 1) ＜ 5\end{cases}$
解不等式 $76 - 5(x - 1) ≥ 0$：
去括号得 $76 - 5x + 5 ≥ 0$，
合并得 $81 - 5x ≥ 0$，
移项系数化为1得 $x ≤ \frac{81}{5}$。
解不等式 $76 - 5(x - 1) ＜ 5$：
去括号得 $76 - 5x + 5 ＜ 5$，
合并得 $81 - 5x ＜ 5$，
移项得 $-5x ＜ -76$，
系数化为1得 $x ＞ \frac{76}{5}$。
所以原不等式的解集为 $\frac{76}{5} ＜ x ≤ \frac{81}{5}$（或 $15.2 ＜ x ≤ 16.2$）。

【分析】
解一元一次不等式组的核心思路是先分别求解组内的每一个一元一次不等式，再取各个解集的公共部分作为不等式组的最终解集。对于（3）的不等式组，分别对两个不等式按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，注意当未知数系数为负时，不等号方向要改变；对于（4）的连写型不等式，可先将其拆分为两个不等式组成的不等式组，再按照常规步骤分别求解，最后取两个解集的公共部分即可得到结果。
【解析】
(3) 先解不等式 $2x + 5 ≤ 3(x + 2)$：
去括号得 $2x + 5 ≤ 3x + 6$，
移项合并同类项得 $-x ≤ 1$，
系数化为1得 $x ≥ -1$。
再解不等式 $2x - \frac{1+3x}{2} ＜ 1$：
去分母得 $4x - (1 + 3x) ＜ 2$，
去括号得 $4x - 1 - 3x ＜ 2$，
移项合并同类项得 $x ＜ 3$。
取两个解集的公共部分，可得原不等式组的解集。
(4) 先将原连写不等式拆分为不等式组：
$\begin{cases}76 - 5(x - 1) ≥ 0 \\76 - 5(x - 1) ＜ 5\end{cases}$
解不等式 $76 - 5(x - 1) ≥ 0$：
去括号得 $76 - 5x + 5 ≥ 0$，
合并同类项得 $81 - 5x ≥ 0$，
移项后系数化为1得 $x ≤ \frac{81}{5}$。
解不等式 $76 - 5(x - 1) ＜ 5$：
去括号得 $76 - 5x + 5 ＜ 5$，
合并同类项得 $81 - 5x ＜ 5$，
移项得 $-5x ＜ -76$，
系数化为1得 $x ＞ \frac{76}{5}$。
取两个解集的公共部分，可得原不等式的解集。
【答案】
(3) $\boldsymbol{-1 ≤ x ＜ 3}$；(4) $\boldsymbol{\frac{76}{5} ＜ x ≤ \frac{81}{5}}$（或$\boldsymbol{15.2 ＜ x ≤ 16.2}$）
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组求解；不等式基本性质
【点评】
本题属于不等式运算的基础题型，重点考察一元一次不等式的运算规则和不等式组公共解集的确定方法，解题时需注意去括号、去分母时的运算准确性，当未知数系数为负时要记得改变不等号方向，熟练掌握基础运算步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.75