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11. 把下面的证明过程补充完整.
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2=30°，∠1=60°. 试证明：AB//CD.
证明:因为GH⊥CD(),
所以∠CHG=90° ().
又因为∠2=30° (),
所以∠3=().
所以∠4=60° ().
又因为∠1=60° ()
所以∠1=∠4().
所以AB//CD().
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2=30°，∠1=60°. 试证明：AB//CD.
证明:因为GH⊥CD(),
所以∠CHG=90° ().
又因为∠2=30° (),
所以∠3=().
所以∠4=60° ().
又因为∠1=60° ()
所以∠1=∠4().
所以AB//CD().
答案
证明:因为$GH⊥ CD$(已知),
所以$∠ CHG=90°$ (垂直的定义).
又因为$∠ 2=30°$ (已知),
所以$∠ 3=60°$.
所以$∠ 4=60°$ (对顶角相等).
又因为$∠ 1=60°$ (已知)
所以$∠ 1=∠ 4$(等量代换).
所以$AB// CD$(同位角相等,两直线平行).
所以$∠ CHG=90°$ (垂直的定义).
又因为$∠ 2=30°$ (已知),
所以$∠ 3=60°$.
所以$∠ 4=60°$ (对顶角相等).
又因为$∠ 1=60°$ (已知)
所以$∠ 1=∠ 4$(等量代换).
所以$AB// CD$(同位角相等,两直线平行).
解析
【分析】
这是一道平行线判定的补充证明题，解题时按照证明的逻辑顺次推导即可：首先利用题目给出的已知垂直条件，结合垂直的定义得到90°角，再结合已知的∠2的度数计算出∠3的度数，之后根据对顶角相等的性质得到∠4的度数，将∠4和已知的∠1对比，发现二者是同位角且度数相等，最终根据平行线的判定定理得到AB//CD的结论。
【解析】
我们依次补充证明过程的空缺内容：
1. GH⊥CD是题目直接给出的条件，因此第一个括号填“已知”；
2. 由两条直线垂直的性质可得其夹角为90°，依据是垂直的定义，因此第二个括号填“垂直的定义”；
3. ∠2=30°是题目给出的已知条件，因此第三个括号填“已知”；
4. 因为∠2+∠3=∠CHG=90°，代入∠2=30°，可得∠3=90°-30°=60°；
5. ∠3和∠4是对顶角，根据对顶角相等的性质可得∠4=∠3=60°，因此第四个括号填“对顶角相等”；
6. ∠1=60°是题目给出的已知条件，因此第五个括号填“已知”；
7. ∠1和∠4的度数均为60°，因此二者相等，依据是等量代换，第六个括号填“等量代换”；
8. ∠1和∠4是直线AB、CD被EF所截形成的同位角，同位角相等可判定两直线平行，因此最后一个括号填“同位角相等，两直线平行”。
完整证明过程为：
因为$GH⊥ CD$(已知),
所以$∠ CHG=90°$ (垂直的定义).
又因为$∠ 2=30°$ (已知),
所以$∠ 3=60°$.
所以$∠ 4=60°$ (对顶角相等).
又因为$∠ 1=60°$ (已知)
所以$∠ 1=∠4$(等量代换).
所以$AB// CD$(同位角相等,两直线平行).
【答案】
证明:因为$GH⊥ CD$(已知),
所以$∠ CHG=90°$ (垂直的定义).
又因为$∠ 2=30°$ (已知),
所以$∠ 3=60°$.
所以$∠ 4=60°$ (对顶角相等).
又因为$∠ 1=60°$ (已知)
所以$∠ 1=∠4$(等量代换).
所以$AB// CD$(同位角相等,两直线平行).
【知识点】
垂直的定义；对顶角性质；平行线判定
【点评】
本题是几何入门阶段的典型基础题，主要考察几何证明的逻辑推导能力，以及基础几何定理的识记与应用，要求学生明确每一步推导的依据，养成严谨的几何证明习惯。
【难度系数】
0.8
这是一道平行线判定的补充证明题，解题时按照证明的逻辑顺次推导即可：首先利用题目给出的已知垂直条件，结合垂直的定义得到90°角，再结合已知的∠2的度数计算出∠3的度数，之后根据对顶角相等的性质得到∠4的度数，将∠4和已知的∠1对比，发现二者是同位角且度数相等，最终根据平行线的判定定理得到AB//CD的结论。
【解析】
我们依次补充证明过程的空缺内容：
1. GH⊥CD是题目直接给出的条件，因此第一个括号填“已知”；
2. 由两条直线垂直的性质可得其夹角为90°，依据是垂直的定义，因此第二个括号填“垂直的定义”；
3. ∠2=30°是题目给出的已知条件，因此第三个括号填“已知”；
4. 因为∠2+∠3=∠CHG=90°，代入∠2=30°，可得∠3=90°-30°=60°；
5. ∠3和∠4是对顶角，根据对顶角相等的性质可得∠4=∠3=60°，因此第四个括号填“对顶角相等”；
6. ∠1=60°是题目给出的已知条件，因此第五个括号填“已知”；
7. ∠1和∠4的度数均为60°，因此二者相等，依据是等量代换，第六个括号填“等量代换”；
8. ∠1和∠4是直线AB、CD被EF所截形成的同位角，同位角相等可判定两直线平行，因此最后一个括号填“同位角相等，两直线平行”。
完整证明过程为：
因为$GH⊥ CD$(已知),
所以$∠ CHG=90°$ (垂直的定义).
又因为$∠ 2=30°$ (已知),
所以$∠ 3=60°$.
所以$∠ 4=60°$ (对顶角相等).
又因为$∠ 1=60°$ (已知)
所以$∠ 1=∠4$(等量代换).
所以$AB// CD$(同位角相等,两直线平行).
【答案】
证明:因为$GH⊥ CD$(已知),
所以$∠ CHG=90°$ (垂直的定义).
又因为$∠ 2=30°$ (已知),
所以$∠ 3=60°$.
所以$∠ 4=60°$ (对顶角相等).
又因为$∠ 1=60°$ (已知)
所以$∠ 1=∠4$(等量代换).
所以$AB// CD$(同位角相等,两直线平行).
【知识点】
垂直的定义；对顶角性质；平行线判定
【点评】
本题是几何入门阶段的典型基础题，主要考察几何证明的逻辑推导能力，以及基础几何定理的识记与应用，要求学生明确每一步推导的依据，养成严谨的几何证明习惯。
【难度系数】
0.8
12.已知x的两个平方根是a+3与2a−15，且2b−1的算术平方根是3.
(1)求a,b的值；
(2)求a+b−1的立方根.
(1)求a,b的值；
(2)求a+b−1的立方根.
答案
解：
(1) ∵ x的两个平方根是$a+3$与$2a-15$，
∴ $a+3 + 2a -15 = 0$，
即 $3a = 12$，
解得 $a=4$。
∵ $2b-1$的算术平方根是3，
∴ $2b-1 = 3^2 =9$，
即 $2b=10$，
解得 $b=5$。
(2) 将$a=4$，$b=5$代入$a+b-1$，得
$a+b-1 = 4 +5 -1 =8$，
∵ $2^3=8$，
∴ $a+b-1$的立方根是2。
(1) ∵ x的两个平方根是$a+3$与$2a-15$，
∴ $a+3 + 2a -15 = 0$，
即 $3a = 12$，
解得 $a=4$。
∵ $2b-1$的算术平方根是3，
∴ $2b-1 = 3^2 =9$，
即 $2b=10$，
解得 $b=5$。
(2) 将$a=4$，$b=5$代入$a+b-1$，得
$a+b-1 = 4 +5 -1 =8$，
∵ $2^3=8$，
∴ $a+b-1$的立方根是2。
解析
【分析】
(1)求解a的值时，利用平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根相加和为0，可列关于a的一元一次方程求解；求解b的值时，根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，因此将3平方即可得到2b-1的取值，再解方程求出b即可。
(2)先将求得的a、b代入代数式a+b-1计算出结果，再根据立方根的定义，找到立方等于该结果的数，就是所求的立方根。
【解析】
(1)
∵ x的两个平方根是$a+3$与$2a-15$，正数的两个平方根互为相反数
∴ $a+3 + 2a -15 = 0$
合并同类项得 $3a = 12$
解得 $a=4$
∵ $2b-1$的算术平方根是3
∴ $2b-1 = 3^2 =9$
移项得 $2b=10$
解得 $b=5$
(2) 将$a=4$，$b=5$代入$a+b-1$，得
$a+b-1 = 4 +5 -1 =8$
∵ $2^3=8$
∴ $a+b-1$的立方根是2
【答案】
(1) $a=4$，$b=5$；(2) $2$
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题是实数相关概念的基础应用题，核心考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，熟练掌握各类开方运算的基本规则即可快速解题，是实数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
(1)求解a的值时，利用平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，因此两个平方根相加和为0，可列关于a的一元一次方程求解；求解b的值时，根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，因此将3平方即可得到2b-1的取值，再解方程求出b即可。
(2)先将求得的a、b代入代数式a+b-1计算出结果，再根据立方根的定义，找到立方等于该结果的数，就是所求的立方根。
【解析】
(1)
∵ x的两个平方根是$a+3$与$2a-15$，正数的两个平方根互为相反数
∴ $a+3 + 2a -15 = 0$
合并同类项得 $3a = 12$
解得 $a=4$
∵ $2b-1$的算术平方根是3
∴ $2b-1 = 3^2 =9$
移项得 $2b=10$
解得 $b=5$
(2) 将$a=4$，$b=5$代入$a+b-1$，得
$a+b-1 = 4 +5 -1 =8$
∵ $2^3=8$
∴ $a+b-1$的立方根是2
【答案】
(1) $a=4$，$b=5$；(2) $2$
【知识点】
平方根的性质；算术平方根的定义；立方根的定义
【点评】
本题是实数相关概念的基础应用题，核心考查平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，熟练掌握各类开方运算的基本规则即可快速解题，是实数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
13. 如图①，点C,D在直线AB上，∠ACE+∠BDF=180°,EF//AB.
(1)求证:CE//DF;
(2)如图②,∠DFE的角平分线FG交AB于点G,过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M.若∠CMF=55°,求∠CDF的度数.
(1)求证:CE//DF;
(2)如图②,∠DFE的角平分线FG交AB于点G,过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点M.若∠CMF=55°,求∠CDF的度数.
答案
(1) 证明：
∵ 点C，D在直线AB上，
∴ $∠ ACE + ∠ ECD = 180°$，
又∵ $∠ ACE + ∠ BDF = 180°$，
∴ $∠ ECD = ∠ BDF$，
∴ $CE// DF$。
---
(2) 解：
∵ $CE// DF$，即 $CM// DF$，
∴ $∠ CMF + ∠ DFM = 180°$，
∵ $∠ CMF = 55°$，
∴ $∠ DFM = 180° - 55° = 125°$，
∵ $FM⊥ FG$，
∴ $∠ GFM = 90°$，
∴ $∠ DFG = ∠ DFM - ∠ GFM = 125° - 90° = 35°$，
∵ $FG$ 平分 $∠ DFE$，
∴ $∠ DFE = 2∠ DFG = 70°$，
又∵ $EF// AB$，
∴ $∠ CDF + ∠ DFE = 180°$，
∴ $∠ CDF = 180° - 70° = 110°$。
答：$∠ CDF$ 的度数为 $110°$。
∵ 点C，D在直线AB上，
∴ $∠ ACE + ∠ ECD = 180°$，
又∵ $∠ ACE + ∠ BDF = 180°$，
∴ $∠ ECD = ∠ BDF$，
∴ $CE// DF$。
---
(2) 解：
∵ $CE// DF$，即 $CM// DF$，
∴ $∠ CMF + ∠ DFM = 180°$，
∵ $∠ CMF = 55°$，
∴ $∠ DFM = 180° - 55° = 125°$，
∵ $FM⊥ FG$，
∴ $∠ GFM = 90°$，
∴ $∠ DFG = ∠ DFM - ∠ GFM = 125° - 90° = 35°$，
∵ $FG$ 平分 $∠ DFE$，
∴ $∠ DFE = 2∠ DFG = 70°$，
又∵ $EF// AB$，
∴ $∠ CDF + ∠ DFE = 180°$，
∴ $∠ CDF = 180° - 70° = 110°$。
答：$∠ CDF$ 的度数为 $110°$。
解析
【分析】
(1) 要证明$CE// DF$，可通过证明同位角相等实现。已知点C、D在直线AB上，可得$∠ACE$与$∠ECD$组成平角，和为$180°$，结合已知$∠ACE+∠BDF=180°$，可推出$∠ECD=∠BDF$，根据同位角相等两直线平行即可得证。
(2) 首先利用(1)中$CE// DF$的结论，由两直线平行同旁内角互补，结合已知$∠CMF$的度数求出$∠DFM$的度数；再根据$FM⊥FG$得到$∠GFM=90°$，作差求出$∠DFG$的度数；然后利用角平分线的定义得到$∠DFE$的度数；最后根据$EF// AB$，两直线平行同旁内角互补，即可求出$∠CDF$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 点C，D在直线AB上，
∴ $∠ ACE + ∠ ECD = 180°$（平角的定义），
又
∵ $∠ ACE + ∠ BDF = 180°$（已知），
∴ $∠ ECD = ∠ BDF$（同角的补角相等），
∴ $CE// DF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ $CE// DF$，即 $CM// DF$，
∴ $∠ CMF + ∠ DFM = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠ CMF = 55°$（已知），
∴ $∠ DFM = 180° - 55° = 125°$，
∵ $FM⊥ FG$（已知），
∴ $∠ GFM = 90°$（垂直的定义），
∴ $∠ DFG = ∠ DFM - ∠ GFM = 125° - 90° = 35°$，
∵ $FG$ 平分 $∠ DFE$（已知），
∴ $∠ DFE = 2∠ DFG = 70°$（角平分线的定义），
又
∵ $EF// AB$（已知），
∴ $∠ CDF + ∠ DFE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ CDF = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
(1) $CE// DF$，证明成立；
(2) $\boldsymbol{110°}$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线判定、性质的灵活应用，解题时需结合已知条件逐步推导角度关系，结合平角、角平分线、垂直的相关性质即可完成求解，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$CE// DF$，可通过证明同位角相等实现。已知点C、D在直线AB上，可得$∠ACE$与$∠ECD$组成平角，和为$180°$，结合已知$∠ACE+∠BDF=180°$，可推出$∠ECD=∠BDF$，根据同位角相等两直线平行即可得证。
(2) 首先利用(1)中$CE// DF$的结论，由两直线平行同旁内角互补，结合已知$∠CMF$的度数求出$∠DFM$的度数；再根据$FM⊥FG$得到$∠GFM=90°$，作差求出$∠DFG$的度数；然后利用角平分线的定义得到$∠DFE$的度数；最后根据$EF// AB$，两直线平行同旁内角互补，即可求出$∠CDF$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 点C，D在直线AB上，
∴ $∠ ACE + ∠ ECD = 180°$（平角的定义），
又
∵ $∠ ACE + ∠ BDF = 180°$（已知），
∴ $∠ ECD = ∠ BDF$（同角的补角相等），
∴ $CE// DF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) 解：
∵ $CE// DF$，即 $CM// DF$，
∴ $∠ CMF + ∠ DFM = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵ $∠ CMF = 55°$（已知），
∴ $∠ DFM = 180° - 55° = 125°$，
∵ $FM⊥ FG$（已知），
∴ $∠ GFM = 90°$（垂直的定义），
∴ $∠ DFG = ∠ DFM - ∠ GFM = 125° - 90° = 35°$，
∵ $FG$ 平分 $∠ DFE$（已知），
∴ $∠ DFE = 2∠ DFG = 70°$（角平分线的定义），
又
∵ $EF// AB$（已知），
∴ $∠ CDF + ∠ DFE = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∴ $∠ CDF = 180° - 70° = 110°$。
【答案】
(1) $CE// DF$，证明成立；
(2) $\boldsymbol{110°}$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考查平行线判定、性质的灵活应用，解题时需结合已知条件逐步推导角度关系，结合平角、角平分线、垂直的相关性质即可完成求解，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
