21.（本小题满分12分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E是AB边的中点，以BE为边作等边三角形BDE，连接AD，CD.
(1)求证：AD＝CD.
(2)①画图：在AC边上找一点H，使BH＋EH最小.（写出作图过程并画出图形，不用说明作图依据）
②当BC＝2时，求BH＋EH的最小值.

21. (1)证明：在Rt△ABC 中，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，E是AB边的中点，
∴∠ABC=60°，$BC=\frac{1}{2}AB=BE=EA$.
∵△BDE 是等边三角形，
∴DE=DB，∠DEB=∠DBE=60°.
∴∠DEA = 120°，∠DBC = ∠ABC + ∠DBE=120°.
∴∠DEA=∠DBC.
在△ADE 和△CDB 中，
∵$\begin{cases} EA=BC, \\ ∠DEA=∠DBC, \\ DE=DB, \end{cases}$
∴△ADE≌△CDB(SAS).
∴AD=CD.
(2)①作图方法不唯一. 示例：如图，延长 BC 到点 F，使 CF=BC，连接 EF，交 AC 于点 H，则点 H 即为所求.
②
∵∠ACB=90°，CF=BC，
∴BH=FH.
∴BH+EH=FH+EH=FE.
在Rt△ABC 中，
∵BC=2，
∴AB=4.
∴$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，
FB=2BC=AB.
在△FBE 和△ABC 中，
∵$\begin{cases} FB=AB, \\ ∠FBE=∠ABC, \\ BE=BC, \end{cases}$
∴△FBE≌△ABC(SAS).
∴FE=AC=2√3.
∴当BC=2时，BH+EH 的最小值为$2\sqrt{3}$.

【分析】
(1)要证明AD=CD，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先根据Rt△ABC中30°角的性质和斜边中点的性质，得到BC=EA，∠ABC=60°；再结合等边△BDE的性质得到DE=DB，推导得出∠DEA=∠DBC=120°，即可利用SAS证明△ADE≌△CDB，从而得到AD=CD。
(2)①要找AC上的点H使BH+EH最小，属于最短路径问题，利用轴对称的性质，作点B关于AC的对称点F，连接EF与AC的交点即为所求点H，此时BH=FH，BH+EH的最小值就是EF的长度。②求最小值时，先根据直角三角形的性质求出AB、AC的长度，再证明△FBE≌△ABC，得到FE=AC，即可求出最小值。
【解析】
(1)证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，E是AB边的中点，
∴∠ABC=60°，$BC=\frac{1}{2}AB=BE=EA$。
∵△BDE是等边三角形，
∴DE=DB，∠DEB=∠DBE=60°。
∴∠DEA = 180°-∠DEB=120°，∠DBC = ∠ABC + ∠DBE=60°+60°=120°，
∴∠DEA=∠DBC。
在△ADE和△CDB中，
$\begin{cases} EA=BC, \\ ∠DEA=∠DBC, \\ DE=DB, \end{cases}$
∴△ADE≌△CDB(SAS)，
∴AD=CD。
(2)①作图过程：延长BC到点F，使CF=BC，连接EF，交AC于点H，则点H即为所求。
②解：
∵∠ACB=90°，CF=BC，
∴AC垂直平分BF，
∴BH=FH，
∴BH+EH=FH+EH=FE，此时FE的长就是BH+EH的最小值。
在Rt△ABC中，
∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，
∴$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$，FB=2BC=4=AB。
在△FBE和△ABC中，
$\begin{cases} FB=AB, \\ ∠FBE=∠ABC, \\ BE=BC=2, \end{cases}$
∴△FBE≌△ABC(SAS)，
∴FE=AC=2√3。
【答案】
(1)证明成立；
(2)①
②$2\sqrt{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；轴对称-最短路径问题；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形、等边三角形的性质，全等三角形的判定和最短路径问题的应用，第一问侧重考查全等三角形的证明逻辑，第二问需要学生熟练掌握最短路径的轴对称模型，将线段和的最小值转化为两点之间线段的长度求解，是几何综合类的典型考题。
【难度系数】
0.65