20. (本小题满分10分)
观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1×2}$，………………①
$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2×$$}$，………………②
$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3×4}$，………………③
⋮
请利用你所发现的规律，解决下列问题.
(1)第4个式子为.
(2)求$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+$$+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+…+\sqrt{1+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}}$的值.
(3)请直接写出$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+…+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}$的结果.

20. (1) $\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4×5}$
(2) $\frac{48}{7}$
(3) $\frac{n^2+2n}{n+1}$

【分析】
首先观察已知的3个等式，归纳通用规律：第k个正整数对应的等式为$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}=1+\frac{1}{k(k+1)}$（k为正整数）。
(1) 第4个式子对应k=4，直接代入通用规律即可写出；
(2) 先将所求式子中的每个根式按照规律拆分，再利用$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$的裂项公式，抵消中间项后计算总和；
(3) 将(2)的计算方法推广到n项，合并化简代数式即可得到结果。
【解析】
(1) 根据规律，第4个式子对应k=4，代入得：
$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4×5}$
(2) 先将每一项按规律拆分：
原式$=(1+\frac{1}{1×2})+(1+\frac{1}{2×3})+(1+\frac{1}{3×4})+\dots+(1+\frac{1}{6×7})$
共有6个1相加，再拆分分数项：
$=6 + (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{6}-\frac{1}{7})$
中间项全部抵消，剩余：
$=6 + (1-\frac{1}{7})=6+\frac{6}{7}=\frac{42}{7}+\frac{6}{7}=\frac{48}{7}$
(3) 推广到n项，共有n个1相加：
原式$=n + (\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
抵消后化简：
$=n + (1-\frac{1}{n+1})=n+\frac{n}{n+1}=\frac{n(n+1)+n}{n+1}=\frac{n^2+n+n}{n+1}=\frac{n^2+2n}{n+1}$
【答案】
(1) $\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4×5}$
(2) $\frac{48}{7}$
(3) $\frac{n^2+2n}{n+1}$
【知识点】
二次根式规律探究，裂项相消求和，代数式化简
【点评】
本题属于规律探究结合运算的题型，需要先通过观察已知式子归纳通用规律，再结合裂项相消的简便计算方法求解，既考查观察归纳能力，也对分数运算、代数式化简的掌握程度有一定要求，是代数部分的常见题型。
【难度系数】
0.7