14. 如图所示，在由火柴棒拼出的图形中，第n个图形由n个正六边形组成，通过观察可以发现：
（1）第4个图形中火柴棒有根，第n个图形中火柴棒有根.
（2）前10个图形中的火柴棒共有根.

14. （1）21 $(5n+1)$ （2）285(提示:用倒序叠加法,可得共有$\frac{(6+51)×10}{2}=285$(根))

【分析】
解决本题首先从已知的前几个图形入手，数出每个图形的火柴棒数量，观察变化规律：每多拼1个正六边形，就会新增5根火柴棒（相邻两个正六边形共用1根火柴，因此不会新增6根）。第一问先根据规律计算第4个图形的火柴棒数量，再推导通用的第n个图形的火柴棒数量代数式；第二问先得出前10个图形各自的火柴棒数量，用倒序相加的方法计算总和即可。
【解析】
（1）先统计前3个图形的火柴棒根数：
第1个图形：共6根，可表示为$5×1 +1$；
第2个图形：比第1个多5根，共$6+5=11$根，可表示为$5×2 +1$；
第3个图形：比第2个多5根，共$11+5=16$根，可表示为$5×3 +1$；
按照此规律，第4个图形的火柴棒根数为$16+5=21$根；
以此类推，第n个图形的火柴棒根数为$5n+1$根。
（2）前10个图形的火柴棒根数，对应n=1到n=10时代数式$5n+1$的结果：
n=1时为6，n=2时为11，……，n=10时为$5×10+1=51$。
将这10个数倒序和原序列对应相加：$6+51=57$，$11+46=57$，……，$51+6=57$，共10组和为57的数，总和为$57×10$，因此原序列的和为$\frac{57×10}{2}=285$根。
【答案】
（1）$\boxed{21}$，$\boxed{5n+1}$；（2）$\boxed{285}$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，求和计算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是通过观察相邻图形的变化特征找到不变的增量，再结合代数式表示规律，求和时巧用倒序相加的方法可以简化计算，能有效锻炼观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.65

1.（海南中考）当$x=2$时，代数式$2x - 3$的值为 【 】

A.1
B.7
C.$-1$
D.$-5$

A

【分析】
本题考查代数式的值的求解，解题思路很清晰：求代数式的值时，只需将已知的未知数取值代入代数式，再按照四则运算规则算出结果，最后对应选项选择即可。
【解析】
将$x=2$代入代数式$2x - 3$中：
原式$=2×2 - 3$
$=4 - 3$
$=1$
所以选A选项。
【答案】
A
【知识点】
代数式求值；有理数四则运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式求值的基本方法，计算量小，只要掌握代入求值的步骤，计算时细心就能得到正确结果。
【难度系数】
0.9

2. 当$a=\frac{1}{2}$，$b=1$时，下列代数式的值相等的是
【 】
① $a^2 - b^2$；② $a^2 + b^2$；③ $(a+b)(a-b)$；④ $2ab$.

A.①②
B.②③
C.①③
D.③④

C

【分析】
本题考查代数式求值，解题思路清晰：首先明确已知的a、b的取值，分别代入四个代数式计算出对应的值，再对比各代数式的结果，找出值相等的组即可；也可先观察代数式结构，①是a与b的平方差，③是a与b的和乘差，二者运算结果恒相等，可先锁定①③，再代入验证提升解题速度。
【解析】
已知$a=\frac{1}{2}$，$b=1$，分别代入四个代数式计算：
① $a^2 - b^2 = (\frac{1}{2})^2 - 1^2 = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$；
② $a^2 + b^2 = (\frac{1}{2})^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$；
③ $(a+b)(a-b) = (\frac{1}{2} + 1) × (\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{2} × (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4}$；
④ $2ab = 2 × \frac{1}{2} × 1 = 1$。
对比计算结果可知，①和③的代数式值相等，故选C。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值，有理数混合运算，平方差公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查代数式的代入计算能力，计算时注意遵循有理数的运算规则，避免符号错误即可轻松得分。
【难度系数】
0.8

3.（定州期末）已知$a - b = 4$，则代数式$3a - 3b - 5$的值为【 】

A.9
B.5
C.7
D.−7

C

【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联，已知$a-b=4$，所求代数式中的$3a-3b$刚好是$a-b$的3倍，因此不需要单独求$a$、$b$的具体值，采用整体代入的思路即可简化计算：先对所求代数式变形，把$a-b$看作整体代入求值即可。
【解析】
先对代数式$3a-3b-5$变形，逆用乘法分配律可得：
$3a-3b-5=3(a-b)-5$
将已知条件$a-b=4$代入上式：
原式$=3×4-5=12-5=7$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
代数式求值；整体代入思想；乘法分配律逆用
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体代入的解题思想，无需计算单个字母的取值，仅对所求代数式做简单变形后整体代入已知条件即可求解，属于必须掌握的基础类题型。
【难度系数】
0.8

4. 当$a=-2$，$b=3$，$c=\frac{1}{3}$时，求下列代数式的值：
（1）$b^2 - 4ac =$ ；
（2）$(a - b)(b - c)(c - a) =$ 。

4. (1) $\frac{35}{3}$ (2) $-\frac{280}{9}$

【分析】
本题是代数式求值类基础题，解题思路清晰：首先明确a、b、c的对应取值，再将数值准确代入目标代数式中，最后按照有理数运算规则计算即可。计算时要注意运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的部分，同时重点关注正负号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
已知$a=-2$，$b=3$，$c=\frac{1}{3}$
（1）将数值代入$b^2-4ac$计算：
$\begin{aligned}b^2-4ac&=3^2 - 4×(-2)×\frac{1}{3}\\&=9 - (-\frac{8}{3})\\&=9+\frac{8}{3}\\&=\frac{27}{3}+\frac{8}{3}\\&=\frac{35}{3}\end{aligned}$
（2）将数值代入$(a-b)(b-c)(c-a)$计算：
先分别计算每个括号内的结果：
$a-b=-2-3=-5$
$b-c=3-\frac{1}{3}=\frac{9}{3}-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}$
$c-a=\frac{1}{3}-(-2)=\frac{1}{3}+2=\frac{1}{3}+\frac{6}{3}=\frac{7}{3}$
再计算三个数的乘积：
$\begin{aligned}(a-b)(b-c)(c-a)&=(-5)×\frac{8}{3}×\frac{7}{3}\\&=-\frac{5×8×7}{3×3}\\&=-\frac{280}{9}\end{aligned}$
【答案】
（1）$\frac{35}{3}$；（2）$-\frac{280}{9}$
【知识点】
代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是准确代入数值，严格遵循有理数运算顺序和符号规则，常见易错点是负数参与运算时符号处理错误，以及分数运算时分母、分子计算出错。
【难度系数】
0.8

5. 若三角形的一边长为$a$，这条边上的高是$h$，则这个三角形的面积为________；
当$a=2\ \mathrm{cm}$，$h=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$时，这个三角形的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。

$\frac{1}{2}ah$ $\frac{1}{2}$

【分析】
解题时先回忆三角形面积的计算规则：三角形的面积等于底与对应底上高乘积的一半，第一空直接将题目给出的底边长a、对应高h代入公式即可得到表示面积的代数式；第二空属于代数式求值问题，把给定的a、h的具体数值代入第一空得到的面积代数式中，按照有理数乘法法则计算就能得到结果。
【解析】
1. 求面积的代数式：
根据三角形面积公式，三角形面积 = $\frac{1}{2}$×底×底边上的高，已知底为$a$，对应高为$h$，因此面积为$\frac{1}{2}ah$。
2. 代入数值计算：
把$a=2\ \mathrm{cm}$，$h=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$代入面积公式得：
$\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}×2×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
$\frac{1}{2}ah$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
三角形面积计算；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，考查对三角形面积公式的掌握程度和代数式代入求值的基本运算能力，牢记公式、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

6. 已知$a+b=5$，$ab=-6$，则代数式$\frac{1}{5}(a+b)-\frac{ab+1}{a+b}$的值为.

6. 2

【分析】
本题是代数式求值类题目，观察所求代数式可以发现，式中仅含有$a+b$和$ab$两个整体未知量，而题目已经直接给出了这两个整体的数值，因此无需单独求解$a$、$b$的值，直接将已知的$a+b=5$、$ab=-6$整体代入代数式，再按照有理数混合运算的规则计算即可得到结果。
【解析】
已知$a+b=5$，$ab=-6$，将其代入代数式$\frac{1}{5}(a+b)-\frac{ab+1}{a+b}$中：
1. 计算$\frac{1}{5}(a+b)$：$\frac{1}{5} × 5 = 1$；
2. 计算$\frac{ab+1}{a+b}$：$\frac{-6 + 1}{5} = \frac{-5}{5} = -1$；
3. 计算原式：$1 - (-1) = 1 + 1 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
代数式求值；整体代入法；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练运用整体代入的思想，避免不必要的解方程运算，计算时注意符号的处理即可顺利得分。
【难度系数】
0.9

7. 当$a=\frac{2}{3}$，$b=3$，$c=-4$时，求代数式$(b+c)^2 - a^2$的值.

$\frac{5}{9}$

【分析】
本题属于代数式求值类基础题，解题思路分为三步：第一步先明确题目给出的a、b、c三个字母的对应取值；第二步按照有理数运算顺序，先计算括号内b与c的和，再分别计算两个平方项的结果；最后计算两个平方项的差即可。计算时要注意：负数的平方结果为正，分数的平方需要分子、分母分别平方，严格遵循先乘方后加减、有括号先算括号内的运算顺序。
【解析】
解：当$a=\frac{2}{3}$，$b=3$，$c=-4$时，
先计算括号内的和：$b+c=3+(-4)=-1$
再分别计算平方项：
$(b+c)^2=(-1)^2=1$
$a^2=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$
最后计算差值：
$(b+c)^2 - a^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$
【答案】
$\frac{5}{9}$
【知识点】
代数式求值；有理数乘方运算；有理数混合运算
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考察有理数运算的规范性和准确性，计算时需格外注意负数、分数的乘方运算规则，避免出现符号错误或分数平方计算错误。
【难度系数】
0.9