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8.（银川期末）如图，在一个底为a、高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆.
（1）用含有a、h、r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S；
（2）请求出当a＝8，h＝6，r＝2时，S的值（结果保留π）.
（1）用含有a、h、r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S；
（2）请求出当a＝8，h＝6，r＝2时，S的值（结果保留π）.
答案
(1) $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$ (2) $24-2π$
解析
【分析】
本题求解阴影部分面积，可采用“整体减空白”的割补法思考：
1. 先确定整体图形是底为a、高为h的三角形，空白部分是半径为r的半圆，阴影面积等于三角形面积减去半圆面积，据此可列出表示S的代数式；
2. 第二问属于代数式求值，将给定的a、h、r的数值直接代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算即可，结果保留π。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式，底为a、高为h的三角形面积为 $\frac{1}{2}ah$；
空白部分是半径为r的半圆，半圆面积为圆面积的一半，即 $\frac{1}{2}π r^2$；
因此阴影部分面积 = 三角形面积 - 半圆面积，即 $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$。
(2) 把 $a=8$，$h=6$，$r=2$ 代入 $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$ 计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × 8 × 6 - \frac{1}{2} × π × 2^2 \\&=24 - \frac{1}{2} × π × 4 \\&=24-2π\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$
(2) $24-2π$
【知识点】
面积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题核心是利用割补法求解不规则图形的面积，需要熟练掌握三角形、圆的基本面积公式，同时考查代数式代入求值的运算能力，解题时注意半圆面积不要漏乘$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8
本题求解阴影部分面积，可采用“整体减空白”的割补法思考：
1. 先确定整体图形是底为a、高为h的三角形，空白部分是半径为r的半圆，阴影面积等于三角形面积减去半圆面积，据此可列出表示S的代数式；
2. 第二问属于代数式求值，将给定的a、h、r的数值直接代入第一问得到的代数式，按照运算顺序计算即可，结果保留π。
【解析】
(1) 根据三角形面积公式，底为a、高为h的三角形面积为 $\frac{1}{2}ah$；
空白部分是半径为r的半圆，半圆面积为圆面积的一半，即 $\frac{1}{2}π r^2$；
因此阴影部分面积 = 三角形面积 - 半圆面积，即 $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$。
(2) 把 $a=8$，$h=6$，$r=2$ 代入 $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$ 计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × 8 × 6 - \frac{1}{2} × π × 2^2 \\&=24 - \frac{1}{2} × π × 4 \\&=24-2π\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}ah-\frac{1}{2}π r^2$
(2) $24-2π$
【知识点】
面积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题核心是利用割补法求解不规则图形的面积，需要熟练掌握三角形、圆的基本面积公式，同时考查代数式代入求值的运算能力，解题时注意半圆面积不要漏乘$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8
9. (河北中考)若$a=-3$，则$\dfrac{a^2 + 12a + 36}{a^2 + 6a}=$ 【 】
A.$-3$
B.$-1$
C.$3$
D.$6$
A.$-3$
B.$-1$
C.$3$
D.$6$
答案
B
解析
【分析】
拿到这道分式求值题，优先选择先化简再代入的方法，比直接代入数值计算更简便，也能降低出错概率。首先观察分式结构：分子是完全平方式，可以用完全平方公式因式分解；分母有公因式a，可以提取公因式因式分解，之后约去分子分母的公因式得到最简式，再将a=-3代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对原式化简：
分子$a^2+12a+36$符合完全平方公式，分解得：$a^2+12a+36=(a+6)^2$
分母$a^2+6a$提取公因式a，分解得：$a^2+6a=a(a+6)$
因此原式可写为：$\dfrac{(a+6)^2}{a(a+6)}$
当$a=-3$时，$a+6=-3+6=3≠0$，可以约去分子分母的公因式$(a+6)$，化简得：
$\dfrac{a+6}{a}$
将$a=-3$代入化简后的式子计算：
$\dfrac{-3+6}{-3}=\dfrac{3}{-3}=-1$
【答案】
B
【知识点】
分式化简，代数式求值，因式分解
【点评】
本题考查代数式求值的常用方法，先化简再代入的思路能有效减少计算量，熟练掌握提公因式、公式法等基础因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
拿到这道分式求值题，优先选择先化简再代入的方法，比直接代入数值计算更简便，也能降低出错概率。首先观察分式结构：分子是完全平方式，可以用完全平方公式因式分解；分母有公因式a，可以提取公因式因式分解，之后约去分子分母的公因式得到最简式，再将a=-3代入最简式计算即可。
【解析】
解：先对原式化简：
分子$a^2+12a+36$符合完全平方公式，分解得：$a^2+12a+36=(a+6)^2$
分母$a^2+6a$提取公因式a，分解得：$a^2+6a=a(a+6)$
因此原式可写为：$\dfrac{(a+6)^2}{a(a+6)}$
当$a=-3$时，$a+6=-3+6=3≠0$，可以约去分子分母的公因式$(a+6)$，化简得：
$\dfrac{a+6}{a}$
将$a=-3$代入化简后的式子计算：
$\dfrac{-3+6}{-3}=\dfrac{3}{-3}=-1$
【答案】
B
【知识点】
分式化简，代数式求值，因式分解
【点评】
本题考查代数式求值的常用方法，先化简再代入的思路能有效减少计算量，熟练掌握提公因式、公式法等基础因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
10. 当代数式$a^2 + 4$有最小值时，代数式$-a -1$的值为 【 】
A.$-2$
B.$0$
C.$-1$
D.$1$
A.$-2$
B.$0$
C.$-1$
D.$1$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用平方数的性质：任意数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，由此可推出$a^2+4$取最小值时$a$的取值，再将该值代入代数式$-a-1$计算即可得到结果。
【解析】
根据平方的非负性可知，对任意有理数$a$，都有$a^2≥0$，因此$a^2$的最小值为0，当且仅当$a=0$时，$a^2=0$，此时代数式$a^2+4$取得最小值。
将$a=0$代入$-a-1$得：
$-0 -1 = -1$
所以应选C选项。
【答案】
C
【知识点】
平方的非负性；代数式求值
【点评】
本题核心考查平方非负性的应用和代数式的代入求值，解题关键是准确判断出$a^2$取最小值时对应的$a$的值，属于基础类题目，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先利用平方数的性质：任意数的平方都是非负数，即$a^2≥0$，由此可推出$a^2+4$取最小值时$a$的取值，再将该值代入代数式$-a-1$计算即可得到结果。
【解析】
根据平方的非负性可知，对任意有理数$a$，都有$a^2≥0$，因此$a^2$的最小值为0，当且仅当$a=0$时，$a^2=0$，此时代数式$a^2+4$取得最小值。
将$a=0$代入$-a-1$得：
$-0 -1 = -1$
所以应选C选项。
【答案】
C
【知识点】
平方的非负性；代数式求值
【点评】
本题核心考查平方非负性的应用和代数式的代入求值，解题关键是准确判断出$a^2$取最小值时对应的$a$的值，属于基础类题目，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 求代数式的值：
（1）当$x=\frac{1}{4}, y=-3$时，求代数式$32x^2 + y$的值；
（2）如果$|a+2| + (b-1)^2 = 0$，求代数式$(a+b)^{2025}$的值。
（1）当$x=\frac{1}{4}, y=-3$时，求代数式$32x^2 + y$的值；
（2）如果$|a+2| + (b-1)^2 = 0$，求代数式$(a+b)^{2025}$的值。
答案
(1) $-1$ (2) $-1$
解析
【分析】
（1）本题是直接代入求代数式值的基础问题，解题思路为将已知的x、y的取值代入代数式，按照先算乘方、再算乘法、最后算加法的运算顺序计算即可。
（2）本题需要先推导未知数的值再代入计算，根据绝对值和平方的非负性：两个非负数的和为0时，这两个非负数各自为0，据此列等式求出a、b的值，再代入代数式计算乘方即可，计算时注意负数的奇次幂为负。
【解析】
（1）将$x=\frac{1}{4}, y=-3$代入$32x^2 + y$得：
$\begin{aligned}原式&=32×(\frac{1}{4})^2 + (-3)\\&=32×\frac{1}{16} -3\\&=2-3\\&=-1\end{aligned}$
（2）$\because |a+2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$|a+2| + (b-1)^2 = 0$
$\therefore a+2=0$，$b-1=0$
解得$a=-2$，$b=1$
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2025}$得：
$\begin{aligned}原式&=(-2+1)^{2025}\\&=(-1)^{2025}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 代数式代入求值
2. 非负数的性质
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，第一问考察代数式的直接代入运算，只要注意运算顺序即可正确解答；第二问结合了非负数的性质，需要先推导未知数的取值再代入，计算乘方时要注意判断幂的符号，整体侧重对基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.8
（1）本题是直接代入求代数式值的基础问题，解题思路为将已知的x、y的取值代入代数式，按照先算乘方、再算乘法、最后算加法的运算顺序计算即可。
（2）本题需要先推导未知数的值再代入计算，根据绝对值和平方的非负性：两个非负数的和为0时，这两个非负数各自为0，据此列等式求出a、b的值，再代入代数式计算乘方即可，计算时注意负数的奇次幂为负。
【解析】
（1）将$x=\frac{1}{4}, y=-3$代入$32x^2 + y$得：
$\begin{aligned}原式&=32×(\frac{1}{4})^2 + (-3)\\&=32×\frac{1}{16} -3\\&=2-3\\&=-1\end{aligned}$
（2）$\because |a+2|≥0$，$(b-1)^2≥0$，且$|a+2| + (b-1)^2 = 0$
$\therefore a+2=0$，$b-1=0$
解得$a=-2$，$b=1$
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2025}$得：
$\begin{aligned}原式&=(-2+1)^{2025}\\&=(-1)^{2025}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{-1}$
【知识点】
1. 代数式代入求值
2. 非负数的性质
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，第一问考察代数式的直接代入运算，只要注意运算顺序即可正确解答；第二问结合了非负数的性质，需要先推导未知数的取值再代入，计算乘方时要注意判断幂的符号，整体侧重对基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.8
12. 已知$a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$m$的绝对值是4，求$\dfrac{|a+b|}{2m^2 +1} +3m -2cd$的值.
答案
10或$-14$
解析
【分析】
解题时首先根据相反数、倒数、绝对值的定义，先求出$a+b$、$cd$、$m$的取值，再将这些值代入所求代数式计算即可。注意$m$的绝对值为4时，$m$有正负两个取值，需要分两种情况计算，避免漏解。
【解析】
解：
∵$a$、$b$互为相反数，
∴$a+b=0$
∵$c$、$d$互为倒数，
∴$cd=1$
∵$m$的绝对值是4，
∴$|m|=4$，即$m=4$或$m=-4$，且$m^2=16$
将上述值代入代数式：
第一项$\dfrac{|a+b|}{2m^2 +1}=\dfrac{|0|}{2×16 +1}=\dfrac{0}{33}=0$
因此原式可化简为：$0 + 3m - 2×1=3m-2$
①当$m=4$时，原式$=3×4 -2=12-2=10$
②当$m=-4$时，原式$=3×(-4)-2=-12-2=-14$
综上，代数式的值为10或$-14$。
【答案】
10或$-14$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题考查代数式求值，解题核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的基本概念，计算时注意绝对值对应两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据相反数、倒数、绝对值的定义，先求出$a+b$、$cd$、$m$的取值，再将这些值代入所求代数式计算即可。注意$m$的绝对值为4时，$m$有正负两个取值，需要分两种情况计算，避免漏解。
【解析】
解：
∵$a$、$b$互为相反数，
∴$a+b=0$
∵$c$、$d$互为倒数，
∴$cd=1$
∵$m$的绝对值是4，
∴$|m|=4$，即$m=4$或$m=-4$，且$m^2=16$
将上述值代入代数式：
第一项$\dfrac{|a+b|}{2m^2 +1}=\dfrac{|0|}{2×16 +1}=\dfrac{0}{33}=0$
因此原式可化简为：$0 + 3m - 2×1=3m-2$
①当$m=4$时，原式$=3×4 -2=12-2=10$
②当$m=-4$时，原式$=3×(-4)-2=-12-2=-14$
综上，代数式的值为10或$-14$。
【答案】
10或$-14$
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，绝对值的性质
【点评】
本题考查代数式求值，解题核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的基本概念，计算时注意绝对值对应两个取值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 已知$1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+n^2=\frac{1}{6}(2n+1)(n+1)n$，求：
（1）$1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+50^2$的值；
（2）$26^2+27^2+28^2+29^2+\dots+50^2$的值。
（1）$1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+50^2$的值；
（2）$26^2+27^2+28^2+29^2+\dots+50^2$的值。
答案
13. (1) 42925 (2) 37400
解析
【分析】
（1）题目已经直接给出从1到n的平方和计算公式，要求1到50的平方和，只需将公式中的n替换为50，代入后按照有理数运算规则计算即可。
（2）要求26到50的平方和，直接逐项计算运算量过大，可采用“整体减部分”的思路：26到50的平方和等于1到50的平方和减去1到25的平方和，先代入公式算出1到25的平方和，再用第（1）问的结果减去该值就能得到答案。
【解析】
（1）根据给定公式$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$，取$n=50$代入：
$\begin{aligned}1^2+2^2+\dots+50^2&=\frac{1}{6}×50×(50+1)×(2×50+1)\\&=\frac{1}{6}×50×51×101\\&=42925\end{aligned}$
（2）先计算$1^2+2^2+\dots+25^2$的值，取$n=25$代入公式：
$\begin{aligned}1^2+2^2+\dots+25^2&=\frac{1}{6}×25×(25+1)×(2×25+1)\\&=\frac{1}{6}×25×26×51\\&=5525\end{aligned}$
因此$26^2+27^2+\dots+50^2=(1^2+2^2+\dots+50^2)-(1^2+2^2+\dots+25^2)=42925-5525=37400$
【答案】
（1）$\boxed{42925}$；（2）$\boxed{37400}$
【知识点】
代数式代入求值，平方和公式应用，转化思想
【点评】
本题考查对给定新公式的理解和灵活运用能力，第二问通过转化为两个可直接计算的平方和的差简化运算，能有效锻炼学生的转化思维和运算准确性。
【难度系数】
0.7
（1）题目已经直接给出从1到n的平方和计算公式，要求1到50的平方和，只需将公式中的n替换为50，代入后按照有理数运算规则计算即可。
（2）要求26到50的平方和，直接逐项计算运算量过大，可采用“整体减部分”的思路：26到50的平方和等于1到50的平方和减去1到25的平方和，先代入公式算出1到25的平方和，再用第（1）问的结果减去该值就能得到答案。
【解析】
（1）根据给定公式$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$，取$n=50$代入：
$\begin{aligned}1^2+2^2+\dots+50^2&=\frac{1}{6}×50×(50+1)×(2×50+1)\\&=\frac{1}{6}×50×51×101\\&=42925\end{aligned}$
（2）先计算$1^2+2^2+\dots+25^2$的值，取$n=25$代入公式：
$\begin{aligned}1^2+2^2+\dots+25^2&=\frac{1}{6}×25×(25+1)×(2×25+1)\\&=\frac{1}{6}×25×26×51\\&=5525\end{aligned}$
因此$26^2+27^2+\dots+50^2=(1^2+2^2+\dots+50^2)-(1^2+2^2+\dots+25^2)=42925-5525=37400$
【答案】
（1）$\boxed{42925}$；（2）$\boxed{37400}$
【知识点】
代数式代入求值，平方和公式应用，转化思想
【点评】
本题考查对给定新公式的理解和灵活运用能力，第二问通过转化为两个可直接计算的平方和的差简化运算，能有效锻炼学生的转化思维和运算准确性。
【难度系数】
0.7
