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1. 将下列长度的三条线段首尾顺次相接后，能组成直角三角形的是(
A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$1,2,3$
C.$4,6,8$
D.$7,24,25$
D
)。A.$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$
B.$1,2,3$
C.$4,6,8$
D.$7,24,25$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断三条线段首尾顺次相接能否组成直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理，解题思路如下：首先将三条线段的长度按从小到大排序，确定最长边；先验证两条较短边的和是否大于最长边，若不满足则无法构成三角形，直接排除；若满足三角形三边关系，再计算两条较短边的平方和、最长边的平方，若二者相等则可以组成直角三角形，反之不能。
【解析】
我们结合勾股定理的逆定理逐个分析选项：
A选项：三条线段长为$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$。计算得两条短边的平方和为$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，最长边的平方为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能组成直角三角形。
B选项：三条线段长为1,2,3，因为$1+2=3$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除。
C选项：三条线段长为4,6,8，最长边为8。两条短边的平方和为$4^2+6^2=16+36=52$，最长边的平方为$8^2=64$，$52≠64$，不能组成直角三角形。
D选项：三条线段长为7,24,25，最长边为25。两条短边的平方和为$7^2+24^2=49+576=625$，最长边的平方为$25^2=625$，二者相等，满足勾股定理的逆定理，可以组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题关键是先确定最长边，再验证平方关系，同时可先通过三边关系排除无法构成三角形的选项，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
要判断三条线段首尾顺次相接能否组成直角三角形，核心依据是勾股定理的逆定理，解题思路如下：首先将三条线段的长度按从小到大排序，确定最长边；先验证两条较短边的和是否大于最长边，若不满足则无法构成三角形，直接排除；若满足三角形三边关系，再计算两条较短边的平方和、最长边的平方，若二者相等则可以组成直角三角形，反之不能。
【解析】
我们结合勾股定理的逆定理逐个分析选项：
A选项：三条线段长为$\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}$，最长边为$\frac{1}{3}$。计算得两条短边的平方和为$(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{5})^2=\frac{1}{16}+\frac{1}{25}=\frac{41}{400}$，最长边的平方为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，$\frac{41}{400}≠\frac{1}{9}$，不能组成直角三角形。
B选项：三条线段长为1,2,3，因为$1+2=3$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，排除。
C选项：三条线段长为4,6,8，最长边为8。两条短边的平方和为$4^2+6^2=16+36=52$，最长边的平方为$8^2=64$，$52≠64$，不能组成直角三角形。
D选项：三条线段长为7,24,25，最长边为25。两条短边的平方和为$7^2+24^2=49+576=625$，最长边的平方为$25^2=625$，二者相等，满足勾股定理的逆定理，可以组成直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理、三角形三边关系
【点评】
本题是直角三角形判定的基础题型，解题关键是先确定最长边，再验证平方关系，同时可先通过三边关系排除无法构成三角形的选项，提升解题速度。
【难度系数】
0.8
2. 下列各组数是勾股数的是(
A.$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$
B.$5,12,13$
C.$1.5,2,2.5$
D.$3a,4a,5a$
B
)。A.$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$
B.$5,12,13$
C.$1.5,2,2.5$
D.$3a,4a,5a$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断一组数是不是勾股数，首先要牢记勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先按照第一个条件排除不符合的选项，再对剩余选项验证是否满足勾股定理，最终选出正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足勾股定理（两个较小数的平方和等于最大数的平方）的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$都是分数，不属于正整数，不符合勾股数的定义，排除；
B选项：5、12、13均为正整数，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足勾股定理，符合勾股数的要求；
C选项：1.5、2.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的定义，排除；
D选项：当$a$不是正整数时（如$a=0.1$），$3a、4a、5a$为小数，不属于正整数，不符合勾股数的定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念；勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题的关键是不要忽略勾股数必须为正整数的前提，避免只验证平方和关系而误选C、D选项，做题时要先判断数的类型，再验证勾股定理是否成立。
【难度系数】
0.7
要判断一组数是不是勾股数，首先要牢记勾股数的两个必备条件：①三个数都必须是正整数；②满足两个较小数的平方和等于最大数的平方。解题时先按照第一个条件排除不符合的选项，再对剩余选项验证是否满足勾股定理，最终选出正确答案。
【解析】
勾股数的定义为：满足勾股定理（两个较小数的平方和等于最大数的平方）的三个正整数，称为勾股数。我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{1}{6},\frac{1}{8},\frac{1}{10}$都是分数，不属于正整数，不符合勾股数的定义，排除；
B选项：5、12、13均为正整数，且$5^2+12^2=25+144=169=13^2$，满足勾股定理，符合勾股数的要求；
C选项：1.5、2.5是小数，不属于正整数，不符合勾股数的定义，排除；
D选项：当$a$不是正整数时（如$a=0.1$），$3a、4a、5a$为小数，不属于正整数，不符合勾股数的定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股数的概念；勾股定理
【点评】
本题考查勾股数的判定，解题的关键是不要忽略勾股数必须为正整数的前提，避免只验证平方和关系而误选C、D选项，做题时要先判断数的类型，再验证勾股定理是否成立。
【难度系数】
0.7
3. 如图1-2-1，在小正方形组成的网格中，有AB，CD，EF，GH四条线段，下列选项中，能组成直角三角形的三条线段是(
A.AB,CD,EF
B.AB,CD,GH
C.AB,EF,GH
D.CD,EF,GH
B
)。A.AB,CD,EF
B.AB,CD,GH
C.AB,EF,GH
D.CD,EF,GH
答案
3. B
解析
【分析】
要判断哪三条线段能组成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出4条线段长度的平方，再逐一验证各选项中的三条线段是否满足勾股定理的逆定理即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度的平方：
$AB^2=1^2+2^2=5$，
$CD^2=3^2+2^2=13$，
$EF^2=1^2+3^2=10$，
$GH^2=2^2+2^2=8$。
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A选项：$AB^2+EF^2=5+10=15≠13=CD^2$，不符合要求；
B选项：$AB^2+GH^2=5+8=13=CD^2$，满足勾股定理的逆定理，可组成直角三角形；
C选项：$AB^2+GH^2=5+8=13≠10=EF^2$，不符合要求；
D选项：$EF^2+GH^2=10+8=18≠13=CD^2$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，解题核心是先通过网格特征结合勾股定理求出各线段长度的平方，再用逆定理验证，计算时注意准确数出线段对应的横向、纵向格数，避免因计数错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要判断哪三条线段能组成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形。首先设每个小正方形的边长为1，利用勾股定理分别求出4条线段长度的平方，再逐一验证各选项中的三条线段是否满足勾股定理的逆定理即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理计算各线段长度的平方：
$AB^2=1^2+2^2=5$，
$CD^2=3^2+2^2=13$，
$EF^2=1^2+3^2=10$，
$GH^2=2^2+2^2=8$。
根据勾股定理的逆定理逐一验证选项：
A选项：$AB^2+EF^2=5+10=15≠13=CD^2$，不符合要求；
B选项：$AB^2+GH^2=5+8=13=CD^2$，满足勾股定理的逆定理，可组成直角三角形；
C选项：$AB^2+GH^2=5+8=13≠10=EF^2$，不符合要求；
D选项：$EF^2+GH^2=10+8=18≠13=CD^2$，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形判定
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的典型应用题型，解题核心是先通过网格特征结合勾股定理求出各线段长度的平方，再用逆定理验证，计算时注意准确数出线段对应的横向、纵向格数，避免因计数错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
4. 如图1-2-2，在$5×8$的正方形网格中，$△ ABC$的顶点均在格点上（网格线的交点称为格点）。若每个小正方形的边长均为1，则$△ ABC$的形状为
图1-2-2
图1-2-3
直角三角形
。图1-2-2
图1-2-3
答案
4. 直角三角形
解析
【分析】
要判断格点中三角形的形状，首先可通过勾股定理计算出三角形三边长度的平方（计算平方可避免开方运算，简化步骤），再利用勾股定理的逆定理，验证是否存在两边的平方和等于第三边的平方，若满足该条件则三角形为直角三角形。
【解析】
根据勾股定理，分别计算$△ ABC$三边的平方：
$AC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$，
$BC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，
$AB^2 = 1^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65$，
因为$52 + 13 = 65$，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查格点三角形形状的判定，解题时通过计算边长的平方代替直接求边长，可简化运算过程，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解决这类题目的关键。
【难度系数】
0.8
要判断格点中三角形的形状，首先可通过勾股定理计算出三角形三边长度的平方（计算平方可避免开方运算，简化步骤），再利用勾股定理的逆定理，验证是否存在两边的平方和等于第三边的平方，若满足该条件则三角形为直角三角形。
【解析】
根据勾股定理，分别计算$△ ABC$三边的平方：
$AC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$，
$BC^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，
$AB^2 = 1^2 + 8^2 = 1 + 64 = 65$，
因为$52 + 13 = 65$，即$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可知$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题考查格点三角形形状的判定，解题时通过计算边长的平方代替直接求边长，可简化运算过程，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解决这类题目的关键。
【难度系数】
0.8
5. 如图1-2-3，在“4×4”的正方形网格中，∠1+∠2的度数为
45°
。答案
5. 45°
解析
【分析】
要计算网格中∠1和∠2的度数和，直接单独求两个角的难度较大，我们可以通过全等三角形实现角的转化求解。首先设每个小正方形边长为1，找到分别包含∠1、∠2的两个直角三角形，通过边长关系证明两个三角形全等，得到角的等量关系，再结合网格中特殊角的特征计算两角之和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察网格可知：包含∠1的直角三角形两条直角边长分别为1和3，包含∠2的直角三角形两条直角边长也为1和3。
两个三角形都是直角三角形，直角相等，且夹直角的两组边对应相等，根据SAS全等判定定理，可证这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可得：∠1与第二个三角形中和∠2相邻的锐角（记为∠3）相等，即∠1=∠3。
结合网格特征可知∠3+∠2是正方形对角线分出的锐角，度数为45°，因此∠1+∠2=∠3+∠2=45°。
【答案】
45°
【知识点】
全等三角形的判定与性质；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是网格角度计算的典型题型，解题核心是利用全等三角形转化分散的未知角，结合网格中正方形对角线的特殊角度特征快速求解，解题时需注意观察网格内三角形的边长对应关系。
【难度系数】
0.7
要计算网格中∠1和∠2的度数和，直接单独求两个角的难度较大，我们可以通过全等三角形实现角的转化求解。首先设每个小正方形边长为1，找到分别包含∠1、∠2的两个直角三角形，通过边长关系证明两个三角形全等，得到角的等量关系，再结合网格中特殊角的特征计算两角之和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
观察网格可知：包含∠1的直角三角形两条直角边长分别为1和3，包含∠2的直角三角形两条直角边长也为1和3。
两个三角形都是直角三角形，直角相等，且夹直角的两组边对应相等，根据SAS全等判定定理，可证这两个直角三角形全等。
由全等三角形对应角相等可得：∠1与第二个三角形中和∠2相邻的锐角（记为∠3）相等，即∠1=∠3。
结合网格特征可知∠3+∠2是正方形对角线分出的锐角，度数为45°，因此∠1+∠2=∠3+∠2=45°。
【答案】
45°
【知识点】
全等三角形的判定与性质；特殊直角三角形的性质
【点评】
本题是网格角度计算的典型题型，解题核心是利用全等三角形转化分散的未知角，结合网格中正方形对角线的特殊角度特征快速求解，解题时需注意观察网格内三角形的边长对应关系。
【难度系数】
0.7
6. 如图1-2-4，已知$∠ ADC=90°$，$AD=4$，$CD=3$，$AB=13$，$BC=12$。求阴影部分的面积。
图1-2-4
图1-2-4
答案
6. 解:因为∠ADC=90°，
所以由勾股定理得 $AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$。
因为 $AB^2 = 13^2 = 169, CB^2 = 12^2 = 144$，
所以 $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
所以$△ABC$ 是直角三角形。
所以 $S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{△ADC}$
$=\frac{1}{2}×AC×BC-\frac{1}{2}×AD×CD$
$=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3$
$=24$。
所以由勾股定理得 $AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$。
因为 $AB^2 = 13^2 = 169, CB^2 = 12^2 = 144$，
所以 $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
所以$△ABC$ 是直角三角形。
所以 $S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{△ADC}$
$=\frac{1}{2}×AC×BC-\frac{1}{2}×AD×CD$
$=\frac{1}{2}×5×12-\frac{1}{2}×4×3$
$=24$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件，△ADC是直角三角形且已知两条直角边长度，第一步可以利用勾股定理求出斜边AC的长度；得到AC长度后，已知△ABC的三条边长度，可利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；若△ABC是直角三角形，阴影部分的面积就可以用△ABC的面积减去Rt△ADC的面积计算得到。
【解析】
解：
∵∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
∴$AC=5$（边长取正值）。
又
∵$AB^2 = 13^2 = 169$，$BC^2 = 12^2 = 144$，
∴$AC^2 + BC^2 = 25 + 144 = 169 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
∴阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{△ADC}$
$=\frac{1}{2}×AC×BC - \frac{1}{2}×AD×CD$
$=\frac{1}{2}×5×12 - \frac{1}{2}×4×3$
$=30 - 6$
$=24$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的基础应用题型，解题的核心是先通过勾股定理求得公共边AC的长度，再利用逆定理判定大三角形为直角三角形，最终用面积差计算阴影部分面积，解题思路清晰，计算时注意避免运算错误即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件，△ADC是直角三角形且已知两条直角边长度，第一步可以利用勾股定理求出斜边AC的长度；得到AC长度后，已知△ABC的三条边长度，可利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形；若△ABC是直角三角形，阴影部分的面积就可以用△ABC的面积减去Rt△ADC的面积计算得到。
【解析】
解：
∵∠ADC=90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，
∴$AC=5$（边长取正值）。
又
∵$AB^2 = 13^2 = 169$，$BC^2 = 12^2 = 144$，
∴$AC^2 + BC^2 = 25 + 144 = 169 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
∴阴影部分的面积为：
$S_{阴影}=S_{△ABC}-S_{△ADC}$
$=\frac{1}{2}×AC×BC - \frac{1}{2}×AD×CD$
$=\frac{1}{2}×5×12 - \frac{1}{2}×4×3$
$=30 - 6$
$=24$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理与其逆定理的基础应用题型，解题的核心是先通过勾股定理求得公共边AC的长度，再利用逆定理判定大三角形为直角三角形，最终用面积差计算阴影部分面积，解题思路清晰，计算时注意避免运算错误即可。
【难度系数】
0.7
7. 如图1-2-5，在大型定向越野比赛中，选手A和选手B从起点P同时出发，选手A以每小时7.5千米的速度沿北偏东65°方向前进，选手B以每小时4千米的速度沿另一方向前进，2小时后选手A，B分别到达打卡点R，Q，此时两名选手相距17千米，试确定选手B的前进方向。
图1-2-5
图1-2-5
答案
7. 解:因为选手 A 以每小时 7.5 千米的速度沿北偏东 65°方向前进,选手 B 以每小时 4 千米的速度沿另一方向前进,2小时后选手 A,B 分别到达打卡点 R,Q，
所以 $PR=7.5×2=15$(千米)，
$PQ=4×2=8$(千米)。
因为 $15^2 + 8^2 = 289 = 17^2$，
即 $PR^2 + PQ^2 = RQ^2$，
所以$∠RPQ=90°$。
因为 R 在 P 的北偏东 65°方向，
所以 $90°-65°=25°$，
所以 Q 在 P 的南偏东 25°方向，
所以选手 B 的前进方向是南偏东 25°方向。
所以 $PR=7.5×2=15$(千米)，
$PQ=4×2=8$(千米)。
因为 $15^2 + 8^2 = 289 = 17^2$，
即 $PR^2 + PQ^2 = RQ^2$，
所以$∠RPQ=90°$。
因为 R 在 P 的北偏东 65°方向，
所以 $90°-65°=25°$，
所以 Q 在 P 的南偏东 25°方向，
所以选手 B 的前进方向是南偏东 25°方向。
解析
【分析】
解题首先结合行程问题“路程=速度×时间”的基本公式，计算出PR、PQ两条线段的长度；再观察三条边的长度关系，运用勾股定理的逆定理判断△RPQ是否为直角三角形，确定∠RPQ的度数；最后结合已知的R点方位角，计算出Q点相对于P点的方位角，即可得到选手B的前进方向。
【解析】
解：根据路程=速度×时间，可得：
$PR=7.5×2=15$（千米），
$PQ=4×2=8$（千米）。
$\because 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2$，即$PR^2 + PQ^2 = RQ^2$，
$\therefore △ RPQ$是直角三角形，且$∠ RPQ=90°$。
$\because$ R在P的北偏东$65°$方向，
$\therefore$ Q相对于P的方位角为$90° - 65° = 25°$，即Q在P的南偏东$25°$方向。
【答案】
选手B的前进方向是南偏东25°方向。
【知识点】
勾股定理逆定理；方位角应用；行程问题计算
【点评】
本题是几何和实际生活结合的应用题，将勾股定理逆定理、方位角知识和行程问题融合，既考查基础知识点的掌握程度，也考查将实际问题转化为数学模型的能力，解题的关键是通过边长关系判断出直角。
【难度系数】
0.7
解题首先结合行程问题“路程=速度×时间”的基本公式，计算出PR、PQ两条线段的长度；再观察三条边的长度关系，运用勾股定理的逆定理判断△RPQ是否为直角三角形，确定∠RPQ的度数；最后结合已知的R点方位角，计算出Q点相对于P点的方位角，即可得到选手B的前进方向。
【解析】
解：根据路程=速度×时间，可得：
$PR=7.5×2=15$（千米），
$PQ=4×2=8$（千米）。
$\because 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 = 17^2$，即$PR^2 + PQ^2 = RQ^2$，
$\therefore △ RPQ$是直角三角形，且$∠ RPQ=90°$。
$\because$ R在P的北偏东$65°$方向，
$\therefore$ Q相对于P的方位角为$90° - 65° = 25°$，即Q在P的南偏东$25°$方向。
【答案】
选手B的前进方向是南偏东25°方向。
【知识点】
勾股定理逆定理；方位角应用；行程问题计算
【点评】
本题是几何和实际生活结合的应用题，将勾股定理逆定理、方位角知识和行程问题融合，既考查基础知识点的掌握程度，也考查将实际问题转化为数学模型的能力，解题的关键是通过边长关系判断出直角。
【难度系数】
0.7
