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8. 如图1-2-6，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC=160 m，BC=120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠。
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B；
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A，B进行修筑。
(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)；
(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明。
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B；
乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A，B进行修筑。
(1)请判断△ABC的形状(要求写出推理过程)；
(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明。
答案
8. 解:(1)$△ABC$ 是直角三角形；
推理过程如下：
因为 $AC^2 + BC^2 = 160^2 + 120^2 = 40\ 000, AB^2 = 200^2 = 40\ 000$，
所以 $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
所以$△ABC$ 是直角三角形,$∠ACB=90°$。
(2)甲方案所修的水渠较短。
理由如下：
因为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CH=\frac{1}{2}AC·BC$，
所以 $CH=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{160×120}{200}=96(\mathrm{m})$。
因为 $AC+BC=280\ \mathrm{m}, CH+AH+BH=CH+AB=296\ \mathrm{m}$，
所以 $AC+BC＜CH+AH+BH$，
所以甲方案所修的水渠较短。
推理过程如下：
因为 $AC^2 + BC^2 = 160^2 + 120^2 = 40\ 000, AB^2 = 200^2 = 40\ 000$，
所以 $AC^2 + BC^2 = AB^2$，
所以$△ABC$ 是直角三角形,$∠ACB=90°$。
(2)甲方案所修的水渠较短。
理由如下：
因为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CH=\frac{1}{2}AC·BC$，
所以 $CH=\frac{AC·BC}{AB}=\frac{160×120}{200}=96(\mathrm{m})$。
因为 $AC+BC=280\ \mathrm{m}, CH+AH+BH=CH+AB=296\ \mathrm{m}$，
所以 $AC+BC＜CH+AH+BH$，
所以甲方案所修的水渠较短。
解析
【分析】
(1)判断三角形形状已知三边长度时，优先考虑勾股定理的逆定理：计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，若二者相等则为直角三角形。
(2)比较两种方案水渠长度，先明确两种方案的总长度构成：甲方案总长度为AC与BC的和；乙方案总长度为CH+AH+BH，其中AH+BH等于AB，因此只需要先求出CH的长度即可。CH是直角三角形斜边上的高，可通过等面积法，即利用直角三角形面积的两种计算方式列等式求解，最后计算两个方案的总长度比较大小即可。
【解析】
(1) $△ ABC$是直角三角形，推理过程如下：
已知$AC=160\ \mathrm{m}$，$BC=120\ \mathrm{m}$，$AB=200\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2 + BC^2 = 160^2 + 120^2 = 25600 + 14400 = 40000$，
$AB^2 = 200^2 = 40000$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
(2) 甲方案所修的水渠较短，计算说明如下：
利用直角三角形面积的两种计算方法求CH：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
代入数值解得：$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{160×120}{200}=96(\mathrm{m})$。
分别计算两种方案的总长度：
甲方案总长度：$AC+BC=160+120=280(\mathrm{m})$，
乙方案总长度：$CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(\mathrm{m})$，
因为$280＜296$，即$AC+BC＜CH+AH+BH$，因此甲方案所修的水渠较短。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$；
(2) 甲方案所修的水渠较短。
【知识点】
勾股定理的逆定理；等面积法求高；方案优劣比较
【点评】
本题结合实际应用场景考查几何知识，将直角三角形的判定、线段长度计算和实际方案选择结合，贴合生活实际，解题思路清晰，能很好地考查学生对基础知识点的掌握程度和应用数学解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1)判断三角形形状已知三边长度时，优先考虑勾股定理的逆定理：计算两条短边的平方和，与最长边的平方对比，若二者相等则为直角三角形。
(2)比较两种方案水渠长度，先明确两种方案的总长度构成：甲方案总长度为AC与BC的和；乙方案总长度为CH+AH+BH，其中AH+BH等于AB，因此只需要先求出CH的长度即可。CH是直角三角形斜边上的高，可通过等面积法，即利用直角三角形面积的两种计算方式列等式求解，最后计算两个方案的总长度比较大小即可。
【解析】
(1) $△ ABC$是直角三角形，推理过程如下：
已知$AC=160\ \mathrm{m}$，$BC=120\ \mathrm{m}$，$AB=200\ \mathrm{m}$，
计算得：$AC^2 + BC^2 = 160^2 + 120^2 = 25600 + 14400 = 40000$，
$AB^2 = 200^2 = 40000$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
(2) 甲方案所修的水渠较短，计算说明如下：
利用直角三角形面积的两种计算方法求CH：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
代入数值解得：$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{160×120}{200}=96(\mathrm{m})$。
分别计算两种方案的总长度：
甲方案总长度：$AC+BC=160+120=280(\mathrm{m})$，
乙方案总长度：$CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296(\mathrm{m})$，
因为$280＜296$，即$AC+BC＜CH+AH+BH$，因此甲方案所修的水渠较短。
【答案】
(1) $△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$；
(2) 甲方案所修的水渠较短。
【知识点】
勾股定理的逆定理；等面积法求高；方案优劣比较
【点评】
本题结合实际应用场景考查几何知识，将直角三角形的判定、线段长度计算和实际方案选择结合，贴合生活实际，解题思路清晰，能很好地考查学生对基础知识点的掌握程度和应用数学解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 如图1-2-7,在$△ ABC$中,E为AB边上的一点,连接CE并延长,过点A作$AD ⊥ CE$,垂足为D,若$AD = 7$,$AB = 20$,$BC = 15$,$DC=24$。
(1)试说明$∠ B$为直角;
(2)记$△ ADE$的面积为$S_1$,$△ BCE$的面积为$S_2$,则$S_2 - S_1$的值为
9. 如图1-2-7,在$△ ABC$中,E为AB边上的一点,连接CE并延长,过点A作$AD ⊥ CE$,垂足为D,若$AD = 7$,$AB = 20$,$BC = 15$,$DC=24$。
(1)试说明$∠ B$为直角;
(2)记$△ ADE$的面积为$S_1$,$△ BCE$的面积为$S_2$,则$S_2 - S_1$的值为
66
。答案
9. (1)解:因为 $AD⊥CE$，
所以$∠D=90°$。
因为 $AD=7,DC=24$，
所以 $AC^2=AD^2+DC^2=625=25^2$。
因为 $AB=20,BC=15,20^2+15^2=25^2$，
所以 $AB^2+BC^2=AC^2$，
所以$△ABC$ 是直角三角形,且$∠B$ 为直角。
(2) 66
所以$∠D=90°$。
因为 $AD=7,DC=24$，
所以 $AC^2=AD^2+DC^2=625=25^2$。
因为 $AB=20,BC=15,20^2+15^2=25^2$，
所以 $AB^2+BC^2=AC^2$，
所以$△ABC$ 是直角三角形,且$∠B$ 为直角。
(2) 66
解析
【分析】
(1) 要证明∠B为直角，可利用勾股定理的逆定理，只要证明△ABC的三边满足$AB^2 + BC^2 = AC^2$即可。首先在Rt△ADC中用勾股定理算出AC的长度，再验证AB、BC、AC的数量关系即可完成证明。
(2) 直接计算$S_1$和$S_2$缺少必要的边长条件，可通过面积转化简化计算：$S_2 - S_1 = (S_2 + S_{△ AEC}) - (S_1 + S_{△ AEC}) = S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$，分别计算两个直角三角形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD ⊥ CE$，
∴ $∠ D = 90°$，
在Rt△ADC中，$AD=7$，$DC=24$，
由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，
又
∵ $AB=20$，$BC=15$，
∴ $AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 = AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且$∠ B$为直角。
(2) 解：
根据图形的面积关系可得：
$S_2 - S_1 = (S_{△ BCE} + S_{△ ACE}) - (S_{△ ADE} + S_{△ ACE}) = S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$，
∵ △ABC是直角三角形，$∠ B=90°$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$，
∵ △ADC是直角三角形，$∠ D=90°$，
∴ $S_{△ ADC} = \frac{1}{2} × AD × DC = \frac{1}{2} ×7 ×24 = 84$，
∴ $S_2 - S_1 = 150 - 84 = 66$。
【答案】
(1) 见上述证明过程；(2) 66
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，面积和差转化
【点评】
本题综合考查勾股定理及其逆定理的应用，第二问通过整体转化的思想处理面积差，避免了求解未知边的繁琐，对灵活运用图形面积关系的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明∠B为直角，可利用勾股定理的逆定理，只要证明△ABC的三边满足$AB^2 + BC^2 = AC^2$即可。首先在Rt△ADC中用勾股定理算出AC的长度，再验证AB、BC、AC的数量关系即可完成证明。
(2) 直接计算$S_1$和$S_2$缺少必要的边长条件，可通过面积转化简化计算：$S_2 - S_1 = (S_2 + S_{△ AEC}) - (S_1 + S_{△ AEC}) = S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$，分别计算两个直角三角形的面积再作差即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AD ⊥ CE$，
∴ $∠ D = 90°$，
在Rt△ADC中，$AD=7$，$DC=24$，
由勾股定理得：$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，
又
∵ $AB=20$，$BC=15$，
∴ $AB^2 + BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 = AC^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且$∠ B$为直角。
(2) 解：
根据图形的面积关系可得：
$S_2 - S_1 = (S_{△ BCE} + S_{△ ACE}) - (S_{△ ADE} + S_{△ ACE}) = S_{△ ABC} - S_{△ ADC}$，
∵ △ABC是直角三角形，$∠ B=90°$，
∴ $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 20 × 15 = 150$，
∵ △ADC是直角三角形，$∠ D=90°$，
∴ $S_{△ ADC} = \frac{1}{2} × AD × DC = \frac{1}{2} ×7 ×24 = 84$，
∴ $S_2 - S_1 = 150 - 84 = 66$。
【答案】
(1) 见上述证明过程；(2) 66
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，面积和差转化
【点评】
本题综合考查勾股定理及其逆定理的应用，第二问通过整体转化的思想处理面积差，避免了求解未知边的繁琐，对灵活运用图形面积关系的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. 根据表1-2-1回答问题：
表1-2-1
(1)请你用含n的代数式写出：a=
(2)以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？说明理由。
表1-2-1
(1)请你用含n的代数式写出：a=
$n^2-1$
, b=$2n$
,c=$n^2+1$
。(2)以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？说明理由。
答案
10. (1) $n^2-1$ $2n$ $n^2+1$
(2)解:以 $a ,b ,c$ 为边长的三角形是直角三角形。
理由:因为 $a = n^2-1 ,b = 2n ,c = n^2+1$，
所以 $a^2 + b^2 = (n^2-1)^2 + (2n)^2 = n^4-2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$，
$c^2=(n^2+1)^2$，
所以 $a^2 + b^2 = c^2$，
所以以 $a ,b ,c$ 为边长的三角形是直角三角形。
(2)解:以 $a ,b ,c$ 为边长的三角形是直角三角形。
理由:因为 $a = n^2-1 ,b = 2n ,c = n^2+1$，
所以 $a^2 + b^2 = (n^2-1)^2 + (2n)^2 = n^4-2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4+2n^2+1=(n^2+1)^2$，
$c^2=(n^2+1)^2$，
所以 $a^2 + b^2 = c^2$，
所以以 $a ,b ,c$ 为边长的三角形是直角三角形。
解析
【分析】
(1) 解决第一问需分别观察a、b、c三列数值和对应n的关系：将每一行的n代入尝试计算，对比对应a、b、c的结果，即可总结出通用的代数式；(2) 解决第二问需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，因此只需计算a²+b²和c²，验证二者是否相等即可。
【解析】
(1) 观察表格数值：
当n=2时，a=3=2²-1，b=4=2×2，c=5=2²+1；
当n=3时，a=8=3²-1，b=6=2×3，c=10=3²+1；
当n=4时，a=15=4²-1，b=8=2×4，c=17=4²+1；
代入其余n值验证均成立，因此可得a=n²-1，b=2n，c=n²+1。
(2) 以a,b,c为边长的三角形是直角三角形，理由如下：
已知a = n²-1，b=2n，c=n²+1，
先计算a² + b²：
$\begin{split}a^2 + b^2&=(n^2-1)^2 + (2n)^2\\&=n^4-2n^2 + 1 + 4n^2\\&=n^4+2n^2+1\\&=(n^2+1)^2\end{split}$
再计算c²：$c^2=(n^2+1)^2$，
因此$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(2) 是直角三角形，理由见解析。
【知识点】
规律探究，勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题结合规律探究和几何判定知识，先通过特殊值归纳出代数式，再通过代数运算验证三角形形状，既考查了观察归纳能力，也考查了公式运算和定理应用能力，计算时需注意完全平方展开的正确性。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问需分别观察a、b、c三列数值和对应n的关系：将每一行的n代入尝试计算，对比对应a、b、c的结果，即可总结出通用的代数式；(2) 解决第二问需用到勾股定理的逆定理：若三角形三边满足两条短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，因此只需计算a²+b²和c²，验证二者是否相等即可。
【解析】
(1) 观察表格数值：
当n=2时，a=3=2²-1，b=4=2×2，c=5=2²+1；
当n=3时，a=8=3²-1，b=6=2×3，c=10=3²+1；
当n=4时，a=15=4²-1，b=8=2×4，c=17=4²+1；
代入其余n值验证均成立，因此可得a=n²-1，b=2n，c=n²+1。
(2) 以a,b,c为边长的三角形是直角三角形，理由如下：
已知a = n²-1，b=2n，c=n²+1，
先计算a² + b²：
$\begin{split}a^2 + b^2&=(n^2-1)^2 + (2n)^2\\&=n^4-2n^2 + 1 + 4n^2\\&=n^4+2n^2+1\\&=(n^2+1)^2\end{split}$
再计算c²：$c^2=(n^2+1)^2$，
因此$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $n^2-1$；$2n$；$n^2+1$
(2) 是直角三角形，理由见解析。
【知识点】
规律探究，勾股定理的逆定理，完全平方公式
【点评】
本题结合规律探究和几何判定知识，先通过特殊值归纳出代数式，再通过代数运算验证三角形形状，既考查了观察归纳能力，也考查了公式运算和定理应用能力，计算时需注意完全平方展开的正确性。
【难度系数】
0.7
