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一、基础性作业
1. 如图1-3-1，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台一侧长5 m、高3 m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3 m，则共需购买红地毯的面积是(
A.$21\ \mathrm{m}^2$
B.$45\ \mathrm{m}^2$
C.$24\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
1. 如图1-3-1，某学校举办元旦联欢会，准备在舞台一侧长5 m、高3 m的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3 m，则共需购买红地毯的面积是(
A
)。A.$21\ \mathrm{m}^2$
B.$45\ \mathrm{m}^2$
C.$24\ \mathrm{m}^2$
D.$12\ \mathrm{m}^2$
答案
1. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以将实际问题转化为几何模型求解：首先明确铺台阶的红地毯长度，可通过平移思想，把所有台阶的水平部分向下平移、竖直部分向左平移，可知地毯总长度等于台阶侧面直角三角形的两条直角边的长度和。首先需要用勾股定理求出台阶的水平长度，再计算地毯总长度，最后结合台阶宽度求出红地毯的面积即可。
【解析】
台阶的侧面可看作直角三角形，其中斜边长为5m，竖直直角边（台阶高度）为3m。
根据勾股定理，水平直角边的长度为：$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m}$。
由平移的性质可知，红地毯的总长度 = 水平直角边长度 + 竖直直角边长度 = $4 + 3 = 7\ \mathrm{m}$。
已知台阶宽（即红地毯的宽度）为3m，因此红地毯的面积为：$7 × 3 = 21\ \mathrm{m^2}$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质，长方形面积计算
【点评】
这道题结合生活场景出题，需要同学们将实际问题转化为几何问题，既考查了勾股定理的基础计算，也考查了平移思想的实际运用，解题时要注意不要误将台阶斜边长度当作地毯长度的一部分计算。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以将实际问题转化为几何模型求解：首先明确铺台阶的红地毯长度，可通过平移思想，把所有台阶的水平部分向下平移、竖直部分向左平移，可知地毯总长度等于台阶侧面直角三角形的两条直角边的长度和。首先需要用勾股定理求出台阶的水平长度，再计算地毯总长度，最后结合台阶宽度求出红地毯的面积即可。
【解析】
台阶的侧面可看作直角三角形，其中斜边长为5m，竖直直角边（台阶高度）为3m。
根据勾股定理，水平直角边的长度为：$\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4\ \mathrm{m}$。
由平移的性质可知，红地毯的总长度 = 水平直角边长度 + 竖直直角边长度 = $4 + 3 = 7\ \mathrm{m}$。
已知台阶宽（即红地毯的宽度）为3m，因此红地毯的面积为：$7 × 3 = 21\ \mathrm{m^2}$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质，长方形面积计算
【点评】
这道题结合生活场景出题，需要同学们将实际问题转化为几何问题，既考查了勾股定理的基础计算，也考查了平移思想的实际运用，解题时要注意不要误将台阶斜边长度当作地毯长度的一部分计算。
【难度系数】
0.7
2.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（
A.$x^2 - 3=(10 - x)^2$
B.$x^2 - 3^2=(10 - x)^2$
C.$x^2 + 3=(10 - x)^2$
D.$x^2 + 3^2=(10 - x)^2$
D
）。A.$x^2 - 3=(10 - x)^2$
B.$x^2 - 3^2=(10 - x)^2$
C.$x^2 + 3=(10 - x)^2$
D.$x^2 + 3^2=(10 - x)^2$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先要从实际问题中抽象出直角三角形模型：竹子折断后，未折断的直立部分、地面水平段、折断的斜段共同构成直角三角形。第一步先明确各边对应的长度：设折断处离地面高度为x尺，则直立段长为x尺，竹子总长10尺，因此折断的斜段长为(10-x)尺，地面水平段的长度是3尺。再根据直角三角形的勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方），即可列出对应的方程，匹配选项得到答案。
【解析】
首先进行单位换算：1丈=10尺。
设折断处离地面的高度为x尺，可知：
1. 直角三角形的一条直角边（直立竹子段）长为x尺；
2. 直角三角形的另一条直角边（地面抵地处到竹子底部的距离）长为3尺；
3. 直角三角形的斜边（折断的斜竹子段）长为$(10-x)$尺。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；列方程
【点评】
本题结合古代数学名著中的问题考查勾股定理的实际使用，核心是学会从实际场景中提炼直角三角形，明确各边对应的长度后套用勾股定理即可解题，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要从实际问题中抽象出直角三角形模型：竹子折断后，未折断的直立部分、地面水平段、折断的斜段共同构成直角三角形。第一步先明确各边对应的长度：设折断处离地面高度为x尺，则直立段长为x尺，竹子总长10尺，因此折断的斜段长为(10-x)尺，地面水平段的长度是3尺。再根据直角三角形的勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方），即可列出对应的方程，匹配选项得到答案。
【解析】
首先进行单位换算：1丈=10尺。
设折断处离地面的高度为x尺，可知：
1. 直角三角形的一条直角边（直立竹子段）长为x尺；
2. 直角三角形的另一条直角边（地面抵地处到竹子底部的距离）长为3尺；
3. 直角三角形的斜边（折断的斜竹子段）长为$(10-x)$尺。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$x^2 + 3^2 = (10 - x)^2$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的应用；列方程
【点评】
本题结合古代数学名著中的问题考查勾股定理的实际使用，核心是学会从实际场景中提炼直角三角形，明确各边对应的长度后套用勾股定理即可解题，是勾股定理应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
3. 图1-3-2是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5 cm，高是12 cm，上底面中心有一个小圆孔，则一根长为17 cm的直吸管露在罐外部分的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)至少是
4 cm
。答案
3. 4 cm
解析
【分析】
要得到直吸管露在罐外的最短长度，需先求出罐内吸管的最大长度：当吸管下端接触到圆柱底面的边缘时，罐内吸管长度最大。此时罐内吸管、圆柱的高、上底面中心到底面边缘的水平距离（即底面半径）构成直角三角形，可利用勾股定理计算罐内吸管的最大长度，再用吸管总长度减去该值即可得到罐外的最短长度。
【解析】
已知圆柱形饮料罐底面半径为5cm，高为12cm。
当罐内吸管长度最长时，吸管在罐内的部分为直角三角形的斜边，两条直角边分别为圆柱的高12cm、底面半径5cm。
根据勾股定理，罐内吸管的最大长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm}$
吸管总长度为17cm，因此露在罐外的最短长度为：
$17 - 13 = 4\ \mathrm{cm}$
【答案】
4 cm
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱的特征
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的关键是明确罐内吸管最长的情况，将立体图形中的长度问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
要得到直吸管露在罐外的最短长度，需先求出罐内吸管的最大长度：当吸管下端接触到圆柱底面的边缘时，罐内吸管长度最大。此时罐内吸管、圆柱的高、上底面中心到底面边缘的水平距离（即底面半径）构成直角三角形，可利用勾股定理计算罐内吸管的最大长度，再用吸管总长度减去该值即可得到罐外的最短长度。
【解析】
已知圆柱形饮料罐底面半径为5cm，高为12cm。
当罐内吸管长度最长时，吸管在罐内的部分为直角三角形的斜边，两条直角边分别为圆柱的高12cm、底面半径5cm。
根据勾股定理，罐内吸管的最大长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\ \mathrm{cm}$
吸管总长度为17cm，因此露在罐外的最短长度为：
$17 - 13 = 4\ \mathrm{cm}$
【答案】
4 cm
【知识点】
勾股定理的应用，圆柱的特征
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题的关键是明确罐内吸管最长的情况，将立体图形中的长度问题转化为平面直角三角形的边长计算问题，体现了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
4. 如图1-3-3，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8 cm，BC=10 cm，则线段BF的长为
图1-3-3 图1-3-4
6 cm
。 图1-3-3 图1-3-4
答案
4. 6 cm
解析
【分析】
解决本题的思路如下：首先，折叠前后图形的对应边相等，因此折叠AD后得到的AF与AD长度相等；其次，长方形的对边相等，可知AD的长度等于BC的长度，由此得到AF的长度；最后，△ABF是直角三角形，已知AB和AF的长度，利用勾股定理即可求出BF的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD=BC=10 cm，∠B=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD=10 cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：$AB^2 + BF^2 = AF^2$，
将AB=8 cm，AF=10 cm代入得：
$8^2 + BF^2 = 10^2$，
即$BF^2 = 100 - 64 = 36$，
∵ BF为线段长度，取正值，
∴ BF=6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
折叠的性质；长方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何基础题，核心考查图形变换中的等量关系转化及勾股定理的应用，解题的关键是通过折叠的性质找到未知边所在直角三角形的已知边长，是勾股定理实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路如下：首先，折叠前后图形的对应边相等，因此折叠AD后得到的AF与AD长度相等；其次，长方形的对边相等，可知AD的长度等于BC的长度，由此得到AF的长度；最后，△ABF是直角三角形，已知AB和AF的长度，利用勾股定理即可求出BF的长度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD=BC=10 cm，∠B=90°，
由折叠的性质可得：AF=AD=10 cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：$AB^2 + BF^2 = AF^2$，
将AB=8 cm，AF=10 cm代入得：
$8^2 + BF^2 = 10^2$，
即$BF^2 = 100 - 64 = 36$，
∵ BF为线段长度，取正值，
∴ BF=6 cm。
【答案】
6 cm
【知识点】
折叠的性质；长方形的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何基础题，核心考查图形变换中的等量关系转化及勾股定理的应用，解题的关键是通过折叠的性质找到未知边所在直角三角形的已知边长，是勾股定理实际应用的常考题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图1-3-4，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地高度AB=2.5 m，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一个身高1.6 m的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2 m的地方时(BC=1.2 m)，感应门自动打开，则AD=
1.5
m。答案
5. 1.5
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要将实际场景转化为几何计算问题，目标是求线段AD的长度，因此考虑构造包含AD的直角三角形，用勾股定理求解。首先过点D向AB作垂线得到直角三角形ADE，再结合已知条件求出直角三角形两条直角边的长度，最后代入勾股定理公式计算即可得到AD的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，DE⊥AB
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=1.2 m，BE=CD=1.6 m，
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9 m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.9^2+1.2^2=0.81+1.44=2.25$，
∵线段长度为正数，
∴$AD=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，需要熟练掌握勾股定理公式和常见的辅助线作法。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要将实际场景转化为几何计算问题，目标是求线段AD的长度，因此考虑构造包含AD的直角三角形，用勾股定理求解。首先过点D向AB作垂线得到直角三角形ADE，再结合已知条件求出直角三角形两条直角边的长度，最后代入勾股定理公式计算即可得到AD的长度。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵AB⊥BC，CD⊥BC，DE⊥AB
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE=BC=1.2 m，BE=CD=1.6 m，
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9 m，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
$AD^2=AE^2+DE^2=0.9^2+1.2^2=0.81+1.44=2.25$，
∵线段长度为正数，
∴$AD=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理，矩形的性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用类题目，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边长计算问题，需要熟练掌握勾股定理公式和常见的辅助线作法。
【难度系数】
0.8
6. 如图1-3-5，在离水面高度为8 m的岸上C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 m，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10 m，船向岸边移动了多少米？
图1-3-5
图1-3-5
答案
6. 解:在Rt△ABC中，
因为∠CAB=90°,BC=17 m,AC=8 m,
所以AB=15 m。
因为CD=10 m,所以AD=6 m,
所以BD=AB-AD=15-6=9(m),
所以船向岸边移动了9 m。
因为∠CAB=90°,BC=17 m,AC=8 m,
所以AB=15 m。
因为CD=10 m,所以AD=6 m,
所以BD=AB-AD=15-6=9(m),
所以船向岸边移动了9 m。
解析
【分析】
首先观察图形可得△CAB和△CAD均为直角三角形，且共享直角边AC=8m。解题思路可分为三步：第一步，先在Rt△ABC中，已知斜边BC和直角边AC的长度，利用勾股定理求出直角边AB的长；第二步，在Rt△ACD中，已知斜边CD和直角边AC的长度，同样用勾股定理求出直角边AD的长；第三步，船向岸边移动的距离为BD的长度，即AB与AD的差值，计算该差值即可得到最终结果。
【解析】
解：由题意可知∠CAB=90°，AC=8 m，BC=17 m，CD=10 m。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$\therefore AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15(m)$
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AD^2 + AC^2 = CD^2$
$\therefore AD=\sqrt{CD^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6(m)$
$\therefore$ 船移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9(m)$
【答案】
船向岸边移动了9 m。
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长计算；实际问题应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用题型，解题核心是准确识别图中的直角三角形，熟练运用勾股定理求解未知边长，再通过线段的和差关系得到所求结果，侧重考察基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.85
首先观察图形可得△CAB和△CAD均为直角三角形，且共享直角边AC=8m。解题思路可分为三步：第一步，先在Rt△ABC中，已知斜边BC和直角边AC的长度，利用勾股定理求出直角边AB的长；第二步，在Rt△ACD中，已知斜边CD和直角边AC的长度，同样用勾股定理求出直角边AD的长；第三步，船向岸边移动的距离为BD的长度，即AB与AD的差值，计算该差值即可得到最终结果。
【解析】
解：由题意可知∠CAB=90°，AC=8 m，BC=17 m，CD=10 m。
在Rt△ABC中，根据勾股定理：
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$\therefore AB=\sqrt{BC^2 - AC^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15(m)$
在Rt△ACD中，根据勾股定理：
$AD^2 + AC^2 = CD^2$
$\therefore AD=\sqrt{CD^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6(m)$
$\therefore$ 船移动的距离$BD=AB-AD=15-6=9(m)$
【答案】
船向岸边移动了9 m。
【知识点】
勾股定理；直角三角形边长计算；实际问题应用
【点评】
本题是勾股定理在生活场景中的基础应用题型，解题核心是准确识别图中的直角三角形，熟练运用勾股定理求解未知边长，再通过线段的和差关系得到所求结果，侧重考察基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.85
7. 如图1-3-6，有一架救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，点C为其中一个着火点，已知AB=500 m，AC=300 m，BC=400 m，飞机中心周围260 m以内会受到洒水影响，若该飞机的速度为14 m/s，则着火点C受到洒水影响多长时间？
图1-3-6
图1-3-6
答案
7. 解:过C作CH⊥AB于H,设M,N在AB上,且CM=CN=260 m,
因为AB=500 m,AC=300 m,BC=400 m,
所以AC²+BC²=AB²,
所以∠ACB=90°,
所以2S△ABC=AC·BC=AB·CH,
所以CH=AC·BC/AB=300×400/500=240(m)。
因为CM=CN=260 m,
所以MH=NH=100 m,
所以MN=200 m,
所以着火点C受到洒水影响的时间为200÷14=100/7(s)。
解析
【分析】
解题时首先观察△ABC的三边长度，300m、400m、500m满足勾股数特征，可先用勾股逆定理判断△ABC为直角三角形；接下来要确定着火点C受洒水影响的飞行路段：洒水影响范围是飞机周围260m，因此当过C作AB的垂线CH时，在AB上取到C距离为260m的两点M、N，线段MN就是飞机会对C产生影响的路段；先通过直角三角形面积相等求出高CH的长度，再用勾股定理求出MH的长度，进而得到MN的总长度，最后用路程除以速度即可求出影响时间。
【解析】
解：过点C作CH⊥AB于H，在AB上取点M、N，使得CM=CN=260 m，
∵AB=500 m，AC=300 m，BC=400 m，
∴$AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 250000 = 500^2 = AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
∴$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240(m)$，
在Rt△CHM中，由勾股定理得$MH=\sqrt{CM^2-CH^2}=\sqrt{260^2-240^2}=100(m)$，
∵CM=CN，CH⊥MN，
∴NH=MH=100 m，MN=200 m，
∴影响时间为$200÷14=\frac{100}{7}(s)$。
【答案】
过C作CH⊥AB于H,设M,N在AB上,且CM=CN=260 m,
因为AB=500 m,AC=300 m,BC=400 m,
所以AC²+BC²=AB²,
所以∠ACB=90°,
所以2S△ABC=AC·BC=AB·CH,
所以CH=AC·BC/AB=300×400/500=240(m)。
因为CM=CN=260 m,
所以MH=NH=100 m,
所以MN=200 m,
所以着火点C受到洒水影响的时间为200÷14=100/7(s)。
【知识点】
勾股逆定理，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，需要将实际问题转化为几何模型求解，既考查了勾股定理及其逆定理的基础运用，也锻炼了学生将实际场景抽象为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察△ABC的三边长度，300m、400m、500m满足勾股数特征，可先用勾股逆定理判断△ABC为直角三角形；接下来要确定着火点C受洒水影响的飞行路段：洒水影响范围是飞机周围260m，因此当过C作AB的垂线CH时，在AB上取到C距离为260m的两点M、N，线段MN就是飞机会对C产生影响的路段；先通过直角三角形面积相等求出高CH的长度，再用勾股定理求出MH的长度，进而得到MN的总长度，最后用路程除以速度即可求出影响时间。
【解析】
解：过点C作CH⊥AB于H，在AB上取点M、N，使得CM=CN=260 m，
∵AB=500 m，AC=300 m，BC=400 m，
∴$AC^2 + BC^2 = 300^2 + 400^2 = 250000 = 500^2 = AB^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∵$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
∴$CH=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{300×400}{500}=240(m)$，
在Rt△CHM中，由勾股定理得$MH=\sqrt{CM^2-CH^2}=\sqrt{260^2-240^2}=100(m)$，
∵CM=CN，CH⊥MN，
∴NH=MH=100 m，MN=200 m，
∴影响时间为$200÷14=\frac{100}{7}(s)$。
【答案】
过C作CH⊥AB于H,设M,N在AB上,且CM=CN=260 m,
因为AB=500 m,AC=300 m,BC=400 m,
所以AC²+BC²=AB²,
所以∠ACB=90°,
所以2S△ABC=AC·BC=AB·CH,
所以CH=AC·BC/AB=300×400/500=240(m)。
因为CM=CN=260 m,
所以MH=NH=100 m,
所以MN=200 m,
所以着火点C受到洒水影响的时间为200÷14=100/7(s)。
【知识点】
勾股逆定理，勾股定理，面积法求高
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，需要将实际问题转化为几何模型求解，既考查了勾股定理及其逆定理的基础运用，也锻炼了学生将实际场景抽象为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
