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8. 如图1-3-7，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.5 m，将秋千AD往前推送3 m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.5 m，秋千的绳索始终保持拉直的状态。
（1）根据题意，BF=
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千AD的长度。
图1-3-7
（1）根据题意，BF=
1.5
m，BC=3
m，CD=1
m；（2）根据（1）中求得的数据，求秋千AD的长度。
图1-3-7
答案
8.(1) 1.5 3 1
(2) 解:因为BC⊥AC,
所以∠ACB=90°。
设秋千的长度为x m,
则AB=AD=x m,AC=AD-CD=(x-1) m,
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC²+BC²=AB²,
即(x-1)²+3²=x²,
解得x=5,
即秋千AD的长度是5 m。
(2) 解:因为BC⊥AC,
所以∠ACB=90°。
设秋千的长度为x m,
则AB=AD=x m,AC=AD-CD=(x-1) m,
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC²+BC²=AB²,
即(x-1)²+3²=x²,
解得x=5,
即秋千AD的长度是5 m。
解析
【分析】
第（1）问：直接从题干信息提取对应量即可，推送后踏板离地高度就是BF的长度，水平推送的距离就是BC的长度，CD是两次踏板离地高度的差值，用推送后的高度减去静止时的高度计算。第（2）问：秋千绳索长度始终不变，因此AB=AD，设AD的长度为未知数，可表示出直角三角形ACB的三边长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）由题意得，推送后踏板离地垂直高度为1.5 m，因此BF=1.5 m；秋千水平往前推送3 m，因此BC=3 m；静止时踏板离地高度为0.5 m，CD为两次高度的差值，即CD=1.5-0.5=1 m。
（2）解：$\because BC⊥ AC$，
$\therefore ∠ ACB=90°$，$△ ACB$是直角三角形。
设秋千$AD$的长度为$x$ m，因绳索长度不变，故$AB=AD=x$ m，
$AC=AD-CD=(x-1)$ m，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数据得：$(x-1)^2+3^2=x^2$，
展开整理得：$x^2-2x+1+9=x^2$，
解得$x=5$。
【答案】
（1）$\boxed{1.5}$，$\boxed{3}$，$\boxed{1}$
（2）秋千$AD$的长度是$\boxed{5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理的实际应用，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】本题将生活场景转化为几何模型，考查勾股定理的实际应用，解题的核心是找到直角三角形，把已知量和未知量对应到直角三角形的三边，通过建立方程求解，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
第（1）问：直接从题干信息提取对应量即可，推送后踏板离地高度就是BF的长度，水平推送的距离就是BC的长度，CD是两次踏板离地高度的差值，用推送后的高度减去静止时的高度计算。第（2）问：秋千绳索长度始终不变，因此AB=AD，设AD的长度为未知数，可表示出直角三角形ACB的三边长度，再利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
（1）由题意得，推送后踏板离地垂直高度为1.5 m，因此BF=1.5 m；秋千水平往前推送3 m，因此BC=3 m；静止时踏板离地高度为0.5 m，CD为两次高度的差值，即CD=1.5-0.5=1 m。
（2）解：$\because BC⊥ AC$，
$\therefore ∠ ACB=90°$，$△ ACB$是直角三角形。
设秋千$AD$的长度为$x$ m，因绳索长度不变，故$AB=AD=x$ m，
$AC=AD-CD=(x-1)$ m，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理得$AC^2+BC^2=AB^2$，
代入数据得：$(x-1)^2+3^2=x^2$，
展开整理得：$x^2-2x+1+9=x^2$，
解得$x=5$。
【答案】
（1）$\boxed{1.5}$，$\boxed{3}$，$\boxed{1}$
（2）秋千$AD$的长度是$\boxed{5\ \mathrm{m}}$
【知识点】
勾股定理的实际应用，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】本题将生活场景转化为几何模型，考查勾股定理的实际应用，解题的核心是找到直角三角形，把已知量和未知量对应到直角三角形的三边，通过建立方程求解，注重考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图1-3-8所示的隧道，隧道横截面由半圆和长方形构成，则卡车的外形高必须低于
图1-3-8
9. 一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图1-3-8所示的隧道，隧道横截面由半圆和长方形构成，则卡车的外形高必须低于
2.9
米。图1-3-8
答案
9. 2.9
解析
【分析】
要确定卡车可通过的最大高度，需计算卡车最外侧对应位置的隧道高度：卡车宽1.6米，因此距离隧道水平中心线0.8米处的隧道高度即为卡车可通行的最大限高。首先明确上半部半圆的半径，再利用勾股定理求出该位置处半圆部分的高度，最后加上下半部分长方形的高度即可得到结果。
【解析】
解：由图可知，隧道上半部半圆的直径为2米，因此半圆半径$ r=2÷2=1 $米。
卡车宽1.6米，因此卡车侧边距离隧道中心线的水平距离为$ 1.6÷2=0.8 $米。
设距离中心线0.8米处，半圆上的点到半圆圆心（即长方形上边中点）的垂直高度为$ h $，根据勾股定理可得：
$ h^2 + 0.8^2 = 1^2 $
计算得$ h^2=1-0.64=0.36 $，因此$ h=0.6 $米（高度取正值）。
下半部分长方形的高度为2.3米，因此该位置的隧道总高度为$ 2.3+0.6=2.9 $米，即卡车外形高必须低于2.9米。
【答案】
2.9
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是找准卡车通行的临界位置，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，结合圆的半径相等的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
要确定卡车可通过的最大高度，需计算卡车最外侧对应位置的隧道高度：卡车宽1.6米，因此距离隧道水平中心线0.8米处的隧道高度即为卡车可通行的最大限高。首先明确上半部半圆的半径，再利用勾股定理求出该位置处半圆部分的高度，最后加上下半部分长方形的高度即可得到结果。
【解析】
解：由图可知，隧道上半部半圆的直径为2米，因此半圆半径$ r=2÷2=1 $米。
卡车宽1.6米，因此卡车侧边距离隧道中心线的水平距离为$ 1.6÷2=0.8 $米。
设距离中心线0.8米处，半圆上的点到半圆圆心（即长方形上边中点）的垂直高度为$ h $，根据勾股定理可得：
$ h^2 + 0.8^2 = 1^2 $
计算得$ h^2=1-0.64=0.36 $，因此$ h=0.6 $米（高度取正值）。
下半部分长方形的高度为2.3米，因此该位置的隧道总高度为$ 2.3+0.6=2.9 $米，即卡车外形高必须低于2.9米。
【答案】
2.9
【知识点】
勾股定理的应用，圆的基本性质
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的应用，解题关键是找准卡车通行的临界位置，将实际问题转化为直角三角形的计算问题，结合圆的半径相等的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
10. 图1-3-9①是一个直角三角形纸片，两直角边AC=8 cm，BC=6 cm。如图1-3-9②，将Rt△ABC折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD。如图1-3-9③，再将Rt△ABC沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，折痕为DE。求DE²的值。
图1-3-9
图1-3-9
答案
10. 解:因为△ABC是直角三角形,AC=8 cm,BC=6 cm,
所以AB=10 cm。
因为△BDC′由△BCD折叠而成,
所以BC′=BC=6 cm,
所以AC′=AB-BC′=4 cm。
设DC=x cm,则在Rt△ADC′中,DC′=DC=x cm,
AD=AC-DC=(8-x) cm,
所以(8-x)²=x²+4²,解得x=3,
所以DC=3 cm,AD=5 cm。
设AE=m cm,则EC′=AC′-AE=(4-m) cm,A′E=AE=m cm,A′C′=A′D-DC′=AD-DC′=2 cm。
在Rt△A′EC′中,A′E²=EC′²+A′C′²,
所以m²=(4-m)²+2²,
所以m=5/2,则AE=5/2 cm,EC′=3/2 cm。
在Rt△DEC′中,DE²=EC′²+DC′²=45/4。
所以AB=10 cm。
因为△BDC′由△BCD折叠而成,
所以BC′=BC=6 cm,
所以AC′=AB-BC′=4 cm。
设DC=x cm,则在Rt△ADC′中,DC′=DC=x cm,
AD=AC-DC=(8-x) cm,
所以(8-x)²=x²+4²,解得x=3,
所以DC=3 cm,AD=5 cm。
设AE=m cm,则EC′=AC′-AE=(4-m) cm,A′E=AE=m cm,A′C′=A′D-DC′=AD-DC′=2 cm。
在Rt△A′EC′中,A′E²=EC′²+A′C′²,
所以m²=(4-m)²+2²,
所以m=5/2,则AE=5/2 cm,EC′=3/2 cm。
在Rt△DEC′中,DE²=EC′²+DC′²=45/4。
解析
【分析】
这是一道折叠与勾股定理结合的计算题，解题思路如下：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；②根据第一次折叠的性质，得到对应边BC'=BC、DC'=DC，且∠BC'D=∠C=90°，由此算出AC'的长度，设DC为未知数，在Rt△ADC'中用勾股定理列方程，求出DC、AD的长度；③根据第二次折叠的性质，得到对应边A'E=AE、A'D=AD，结合∠BC'D=90°可得∠A'C'E=90°，设AE为未知数，在Rt△A'EC'中用勾股定理列方程求出EC'的长度；④最后在Rt△DEC'中用勾股定理计算DE²即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，AC=8 cm，BC=6 cm，
∴由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$ cm。
∵△BDC′由△BCD折叠而成，
∴$BC'=BC=6$ cm，$DC'=DC$，$∠ BC'D=∠ C=90°$，
∴$AC'=AB-BC'=10-6=4$ cm。
设$DC=x$ cm，则$DC'=x$ cm，$AD=AC-DC=(8-x)$ cm，
在Rt△ADC′中，由勾股定理得$AD^2=DC'^2+AC'^2$，
即$(8-x)^2=x^2+4^2$，解得$x=3$，
∴$DC=DC'=3$ cm，$AD=8-3=5$ cm。
∵沿DE折叠后点A落在DC′延长线上的A′处，
∴$A'E=AE$，$A'D=AD=5$ cm，
∴$A'C'=A'D-DC'=5-3=2$ cm。
设$AE=m$ cm，则$A'E=m$ cm，$EC'=AC'-AE=(4-m)$ cm，
∵$∠ DC'B=90°$，
∴$∠ A'C'E=90°$，
在Rt△A′EC′中，由勾股定理得$A'E^2=EC'^2+A'C'^2$，
即$m^2=(4-m)^2+2^2$，解得$m=\frac{5}{2}$，
∴$EC'=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$ cm。
在Rt△DEC′中，由勾股定理得$DE^2=DC'^2+EC'^2=3^2+(\frac{3}{2})^2=\frac{45}{4}$。
【答案】
$\frac{45}{4}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；方程思想
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是利用折叠前后对应边、对应角相等的性质，挖掘图中的直角三角形，通过设未知数列方程求解，能有效考察数形结合能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
这是一道折叠与勾股定理结合的计算题，解题思路如下：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的斜边AB的长度；②根据第一次折叠的性质，得到对应边BC'=BC、DC'=DC，且∠BC'D=∠C=90°，由此算出AC'的长度，设DC为未知数，在Rt△ADC'中用勾股定理列方程，求出DC、AD的长度；③根据第二次折叠的性质，得到对应边A'E=AE、A'D=AD，结合∠BC'D=90°可得∠A'C'E=90°，设AE为未知数，在Rt△A'EC'中用勾股定理列方程求出EC'的长度；④最后在Rt△DEC'中用勾股定理计算DE²即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，AC=8 cm，BC=6 cm，
∴由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$ cm。
∵△BDC′由△BCD折叠而成，
∴$BC'=BC=6$ cm，$DC'=DC$，$∠ BC'D=∠ C=90°$，
∴$AC'=AB-BC'=10-6=4$ cm。
设$DC=x$ cm，则$DC'=x$ cm，$AD=AC-DC=(8-x)$ cm，
在Rt△ADC′中，由勾股定理得$AD^2=DC'^2+AC'^2$，
即$(8-x)^2=x^2+4^2$，解得$x=3$，
∴$DC=DC'=3$ cm，$AD=8-3=5$ cm。
∵沿DE折叠后点A落在DC′延长线上的A′处，
∴$A'E=AE$，$A'D=AD=5$ cm，
∴$A'C'=A'D-DC'=5-3=2$ cm。
设$AE=m$ cm，则$A'E=m$ cm，$EC'=AC'-AE=(4-m)$ cm，
∵$∠ DC'B=90°$，
∴$∠ A'C'E=90°$，
在Rt△A′EC′中，由勾股定理得$A'E^2=EC'^2+A'C'^2$，
即$m^2=(4-m)^2+2^2$，解得$m=\frac{5}{2}$，
∴$EC'=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$ cm。
在Rt△DEC′中，由勾股定理得$DE^2=DC'^2+EC'^2=3^2+(\frac{3}{2})^2=\frac{45}{4}$。
【答案】
$\frac{45}{4}$
【知识点】
勾股定理；折叠的性质；方程思想
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，核心是利用折叠前后对应边、对应角相等的性质，挖掘图中的直角三角形，通过设未知数列方程求解，能有效考察数形结合能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
