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7. 勾股定理是证明方法最多的数学定理之一。
图1-1-16是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：$a^2 + b^2 = c^2$。
图1-1-16是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：$a^2 + b^2 = c^2$。
答案
7. 证明:根据梯形的面积可得，
$\frac{(a+b)(a+b)}{2}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
整理得$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，
所以 $a^2 + b^2 = c^2$。
$\frac{(a+b)(a+b)}{2}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$，
整理得$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$，
所以 $a^2 + b^2 = c^2$。
解析
【分析】
要证明$a^2+b^2=c^2$，可采用等面积法：同一个图形的面积用两种不同方式计算，结果必然相等。首先观察图形可知这是直角梯形，第一种计算面积的方式是直接用梯形面积公式：梯形上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$，代入公式即可得到面积表达式；第二种计算面积的方式是将梯形拆分为3个直角三角形：2个直角边为$a$、$b$的小直角三角形，1个直角边为$c$的直角三角形，分别计算三个三角形的面积求和，得到另一个面积表达式。令两个面积表达式相等，化简后即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：该图形为直角梯形，其面积可通过两种方法计算：
根据梯形面积公式，面积$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高=\frac{(a+b)(a+b)}{2}$；
同时梯形面积等于三个直角三角形的面积之和，两个小直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}ab$，中间直角三角形的面积为$\frac{1}{2}c^2$，因此$S=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$。
由于两个式子表示同一图形的面积，因此相等：
$\frac{(a+b)(a+b)}{2}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$
整理得$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同时减去$ab$，再同时乘2，可得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
等面积法，梯形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典证法，利用“同一图形面积的两种表示方法相等”建立等式，推导过程简洁清晰，很好地体现了数形结合的数学思想，是面积法在几何证明中的典型应用。
【难度系数】
0.7
要证明$a^2+b^2=c^2$，可采用等面积法：同一个图形的面积用两种不同方式计算，结果必然相等。首先观察图形可知这是直角梯形，第一种计算面积的方式是直接用梯形面积公式：梯形上底为$a$、下底为$b$、高为$a+b$，代入公式即可得到面积表达式；第二种计算面积的方式是将梯形拆分为3个直角三角形：2个直角边为$a$、$b$的小直角三角形，1个直角边为$c$的直角三角形，分别计算三个三角形的面积求和，得到另一个面积表达式。令两个面积表达式相等，化简后即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：该图形为直角梯形，其面积可通过两种方法计算：
根据梯形面积公式，面积$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高=\frac{(a+b)(a+b)}{2}$；
同时梯形面积等于三个直角三角形的面积之和，两个小直角三角形的面积均为$\frac{1}{2}ab$，中间直角三角形的面积为$\frac{1}{2}c^2$，因此$S=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$。
由于两个式子表示同一图形的面积，因此相等：
$\frac{(a+b)(a+b)}{2}=2×\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2$
整理得$\frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2=ab+\frac{1}{2}c^2$
等式两边同时减去$ab$，再同时乘2，可得$a^2 + b^2 = c^2$。
【答案】
$a^2 + b^2 = c^2$
【知识点】
等面积法，梯形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题是勾股定理的经典证法，利用“同一图形面积的两种表示方法相等”建立等式，推导过程简洁清晰，很好地体现了数形结合的数学思想，是面积法在几何证明中的典型应用。
【难度系数】
0.7
8. 如图1-1-17，房间左右两侧是竖直的墙壁，一根鱼竿斜靠在左墙时，鱼竿底端到左墙的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m。若鱼竿底端位置保持不动，将鱼竿斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5 m，则房间的宽度为多少米？
图1-1-17
图1-1-17
答案
8. 解:由题意可得 $AD^2=0.7^2+2.4^2=6.25,AD=AC$。
在 Rt△ABC 中，
因为∠ABC=90°,BC=1.5 m,$BC^2+AB^2=AC^2$，
所以 $AB^2+1.5^2=6.25$,所以 $AB^2=4$。
因为 AB＞0,所以 AB=2 m。
所以房间的宽度为 0.7+2=2.7(m)。
在 Rt△ABC 中，
因为∠ABC=90°,BC=1.5 m,$BC^2+AB^2=AC^2$，
所以 $AB^2+1.5^2=6.25$,所以 $AB^2=4$。
因为 AB＞0,所以 AB=2 m。
所以房间的宽度为 0.7+2=2.7(m)。
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住鱼竿长度始终不变这一隐含条件。首先，鱼竿斜靠左墙时，鱼竿、左墙、地面可构成直角三角形，已知两条直角边的长度，可通过勾股定理求出鱼竿的长度（即直角三角形的斜边长）；其次，鱼竿斜靠右墙时，鱼竿、右墙、地面构成另一个直角三角形，已知斜边长（鱼竿长度）和竖直直角边长度，可再次利用勾股定理求出鱼竿底端到右墙的水平距离；最后将两个水平距离相加，就能得到房间的总宽度。
【解析】
解：当鱼竿斜靠左墙时，对应直角三角形中由勾股定理可得：
$AD^2=0.7^2+2.4^2=0.49+5.76=6.25$
鱼竿长度不变，因此斜靠右墙时$AC=AD$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$BC=1.5\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AB^2+BC^2=AC^2$
代入数值计算：
$AB^2+1.5^2=6.25$
$AB^2=6.25-2.25=4$
$\because AB＞0$，$\therefore AB=2\ \mathrm{m}$
房间宽度为两个水平距离之和：$0.7+2=2.7\ \mathrm{(m)}$
【答案】
2.7米
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题的关键是找准隐含的等长条件（鱼竿长度不变），通过两次构造直角三角形求解未知边长，能很好地锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住鱼竿长度始终不变这一隐含条件。首先，鱼竿斜靠左墙时，鱼竿、左墙、地面可构成直角三角形，已知两条直角边的长度，可通过勾股定理求出鱼竿的长度（即直角三角形的斜边长）；其次，鱼竿斜靠右墙时，鱼竿、右墙、地面构成另一个直角三角形，已知斜边长（鱼竿长度）和竖直直角边长度，可再次利用勾股定理求出鱼竿底端到右墙的水平距离；最后将两个水平距离相加，就能得到房间的总宽度。
【解析】
解：当鱼竿斜靠左墙时，对应直角三角形中由勾股定理可得：
$AD^2=0.7^2+2.4^2=0.49+5.76=6.25$
鱼竿长度不变，因此斜靠右墙时$AC=AD$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$BC=1.5\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AB^2+BC^2=AC^2$
代入数值计算：
$AB^2+1.5^2=6.25$
$AB^2=6.25-2.25=4$
$\because AB＞0$，$\therefore AB=2\ \mathrm{m}$
房间宽度为两个水平距离之和：$0.7+2=2.7\ \mathrm{(m)}$
【答案】
2.7米
【知识点】
勾股定理；实际问题几何建模
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用，解题的关键是找准隐含的等长条件（鱼竿长度不变），通过两次构造直角三角形求解未知边长，能很好地锻炼学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式。
后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图1-1-18所示的长方形由两个这样的图形拼成，若$a=3$，$b=5$，则长方形的面积为
9. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式。
后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理。如图1-1-18所示的长方形由两个这样的图形拼成，若$a=3$，$b=5$，则长方形的面积为
30
。答案
9. 30
解析
【分析】
首先设小正方形的边长为x，观察图形可得：拼成的长方形的邻边长分别为(x+a)和(x+b)，图中最大直角三角形的两条直角边为(x+a)、(x+b)，斜边长为a+b。我们可以先借助勾股定理列出关于x的等式，整理得到x²+(a+b)x的值，再代入长方形的面积公式整体计算即可，无需单独求解x的取值。
【解析】
设小正方形的边长为x。
由图可知，大直角三角形的斜边长为$a+b=3+5=8$，两条直角边长分别为$x+3$和$x+5$。
根据勾股定理：
$(x+3)^2 + (x+5)^2 = 8^2$
展开并整理等式：
$x^2+6x+9 + x^2+10x+25 = 64$
$2x^2+16x=30$
$x^2+8x=15$
长方形的长为$(x+5)$，宽为$(x+3)$，则面积：
$S=(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$
将$x^2+8x=15$代入上式，得：
$S=15+15=30$
【答案】
30
【知识点】
勾股定理；整式化简；整体代入求值
【点评】
本题结合古代数学研究成果考查勾股定理的应用，解题的核心是合理设元，通过勾股定理建立等量关系，利用整体代入的思想计算面积，避免了求解未知数的繁琐，很好地体现了数学思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.6
首先设小正方形的边长为x，观察图形可得：拼成的长方形的邻边长分别为(x+a)和(x+b)，图中最大直角三角形的两条直角边为(x+a)、(x+b)，斜边长为a+b。我们可以先借助勾股定理列出关于x的等式，整理得到x²+(a+b)x的值，再代入长方形的面积公式整体计算即可，无需单独求解x的取值。
【解析】
设小正方形的边长为x。
由图可知，大直角三角形的斜边长为$a+b=3+5=8$，两条直角边长分别为$x+3$和$x+5$。
根据勾股定理：
$(x+3)^2 + (x+5)^2 = 8^2$
展开并整理等式：
$x^2+6x+9 + x^2+10x+25 = 64$
$2x^2+16x=30$
$x^2+8x=15$
长方形的长为$(x+5)$，宽为$(x+3)$，则面积：
$S=(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$
将$x^2+8x=15$代入上式，得：
$S=15+15=30$
【答案】
30
【知识点】
勾股定理；整式化简；整体代入求值
【点评】
本题结合古代数学研究成果考查勾股定理的应用，解题的核心是合理设元，通过勾股定理建立等量关系，利用整体代入的思想计算面积，避免了求解未知数的繁琐，很好地体现了数学思想在解题中的作用。
【难度系数】
0.6
10. 课本再现:(1)如图1-1-19①,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形,中间空白部分也是正方形。已知直角三角形的两直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$。课堂上老师结合图形,用不同的方式表示大正方形的面积,证明了勾股定理。请证明:$a^2 + b^2 = c^2$。
类比迁移:(2)现将图1-1-19①中的两个直角三角形向内翻折,得到图1-1-19②,若$a=3,b=4$,则空白部分的面积为
方法运用:(3)如图1-1-19③,分别以$Rt△ ABC$的三条边为边向外作三个正方形,连接$EC,BG$,若设$S_{△ EBC}=S_1,S_{△ BCG}=S_2,S_{正方形BCIH}=S_3$,求$S_1,S_2,S_3$之间的关系。
类比迁移:(2)现将图1-1-19①中的两个直角三角形向内翻折,得到图1-1-19②,若$a=3,b=4$,则空白部分的面积为
13
。方法运用:(3)如图1-1-19③,分别以$Rt△ ABC$的三条边为边向外作三个正方形,连接$EC,BG$,若设$S_{△ EBC}=S_1,S_{△ BCG}=S_2,S_{正方形BCIH}=S_3$,求$S_1,S_2,S_3$之间的关系。
答案
10. (1)证明:$S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab+c^2$,$S_{大正方形}=(a+b)^2$，
所以$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab+c^2$，
所以 $a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 13
(3)解:在 Rt△ABC 中,由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
在正方形 ABED 中,AB=BE,AD//BE，
所以 $S_{△EBC}=\frac{1}{2}·BE·AB=\frac{1}{2}AB^2$，
同理 $S_{△BCG}=\frac{1}{2}AC^2$。
因为 $S_{正方形BCIH}=BC^2$ 且 $AB^2+AC^2=BC^2$，
所以 $2S_1+2S_2=S_3$。
所以$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab+c^2$，
所以 $a^2 + b^2 = c^2$。
(2) 13
(3)解:在 Rt△ABC 中,由勾股定理得$AB^2+AC^2=BC^2$，
在正方形 ABED 中,AB=BE,AD//BE，
所以 $S_{△EBC}=\frac{1}{2}·BE·AB=\frac{1}{2}AB^2$，
同理 $S_{△BCG}=\frac{1}{2}AC^2$。
因为 $S_{正方形BCIH}=BC^2$ 且 $AB^2+AC^2=BC^2$，
所以 $2S_1+2S_2=S_3$。
解析
【分析】
(1) 本问采用等积法证明勾股定理：大正方形的面积有两种表示方法，一是直接用边长$(a+b)$计算，二是用4个全等直角三角形的面积加中间空白正方形的面积，两个表达式相等后化简即可证得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 先由勾股定理求出斜边$c$的长度，观察图②可知，空白部分的面积等于边长为$c$的正方形面积减去2个向内翻折的直角三角形的面积，代入数值计算即可得到结果。
(3) 结合正方形的性质，分别推出$S_1$等于$AB^2$的一半，$S_2$等于$AC^2$的一半，$S_3$等于$BC^2$，再利用勾股定理中$AB^2+AC^2=BC^2$的关系，代入整理即可得到三个面积的数量关系。
【解析】
(1) 证明：大正方形的边长为$(a+b)$，因此其面积可表示为$\boldsymbol{S_{大正方形}=(a+b)^2}$；
同时，大正方形的面积也等于4个全等直角三角形的面积加上中间空白小正方形的面积，即$\boldsymbol{S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab + c^2}$；
联立两个表达式得：$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab + c^2$，
展开左边：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
两边同时减去$2ab$，即可得$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
(2) 解：已知$a=3$，$b=4$，由勾股定理得斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
观察图②，向内翻折2个直角三角形后，空白部分的面积 = 边长为$c$的正方形面积 - 2个直角三角形的面积，
代入数值计算：$S_{空白}=c^2 - 2×\frac{1}{2}ab = 25 - 3×4 = 13$。
(3) 解：在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$\boldsymbol{AB^2+AC^2=BC^2}$；
在正方形$ABED$中，$AB=BE$，且$AB⊥ BE$，因此$△ EBC$以$BE$为底时，对应的高长度等于$AB$，
故$S_1=S_{△ EBC}=\frac{1}{2}· BE· AB=\frac{1}{2}AB^2$，即$AB^2=2S_1$；
同理，在正方形$ACGF$中，$AC=CG$，且$AC⊥ CG$，因此$△ BCG$以$CG$为底时，对应的高长度等于$AC$，
故$S_2=S_{△ BCG}=\frac{1}{2}· CG· AC=\frac{1}{2}AC^2$，即$AC^2=2S_2$；
又因为正方形$BCIH$的面积$S_3=BC^2$，将$AB^2=2S_1$、$AC^2=2S_2$代入勾股定理的表达式得：
$2S_1 + 2S_2 = S_3$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{13}$；(3) $\boldsymbol{2S_1 + 2S_2 = S_3}$
【知识点】
勾股定理；等积法求面积；正方形的性质
【点评】
本题围绕勾股定理设置了三层递进的问题，从基础的定理证明到类比迁移计算，再到结合正方形性质的综合运用，很好地考查了几何图形分析能力和知识迁移能力，其中等积法是解决这类问题的核心方法。
【难度系数】
0.7
(1) 本问采用等积法证明勾股定理：大正方形的面积有两种表示方法，一是直接用边长$(a+b)$计算，二是用4个全等直角三角形的面积加中间空白正方形的面积，两个表达式相等后化简即可证得$a^2+b^2=c^2$。
(2) 先由勾股定理求出斜边$c$的长度，观察图②可知，空白部分的面积等于边长为$c$的正方形面积减去2个向内翻折的直角三角形的面积，代入数值计算即可得到结果。
(3) 结合正方形的性质，分别推出$S_1$等于$AB^2$的一半，$S_2$等于$AC^2$的一半，$S_3$等于$BC^2$，再利用勾股定理中$AB^2+AC^2=BC^2$的关系，代入整理即可得到三个面积的数量关系。
【解析】
(1) 证明：大正方形的边长为$(a+b)$，因此其面积可表示为$\boldsymbol{S_{大正方形}=(a+b)^2}$；
同时，大正方形的面积也等于4个全等直角三角形的面积加上中间空白小正方形的面积，即$\boldsymbol{S_{大正方形}=4×\frac{1}{2}ab + c^2}$；
联立两个表达式得：$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab + c^2$，
展开左边：$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，
两边同时减去$2ab$，即可得$a^2 + b^2 = c^2$，勾股定理得证。
(2) 解：已知$a=3$，$b=4$，由勾股定理得斜边$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$；
观察图②，向内翻折2个直角三角形后，空白部分的面积 = 边长为$c$的正方形面积 - 2个直角三角形的面积，
代入数值计算：$S_{空白}=c^2 - 2×\frac{1}{2}ab = 25 - 3×4 = 13$。
(3) 解：在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$\boldsymbol{AB^2+AC^2=BC^2}$；
在正方形$ABED$中，$AB=BE$，且$AB⊥ BE$，因此$△ EBC$以$BE$为底时，对应的高长度等于$AB$，
故$S_1=S_{△ EBC}=\frac{1}{2}· BE· AB=\frac{1}{2}AB^2$，即$AB^2=2S_1$；
同理，在正方形$ACGF$中，$AC=CG$，且$AC⊥ CG$，因此$△ BCG$以$CG$为底时，对应的高长度等于$AC$，
故$S_2=S_{△ BCG}=\frac{1}{2}· CG· AC=\frac{1}{2}AC^2$，即$AC^2=2S_2$；
又因为正方形$BCIH$的面积$S_3=BC^2$，将$AB^2=2S_1$、$AC^2=2S_2$代入勾股定理的表达式得：
$2S_1 + 2S_2 = S_3$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{13}$；(3) $\boldsymbol{2S_1 + 2S_2 = S_3}$
【知识点】
勾股定理；等积法求面积；正方形的性质
【点评】
本题围绕勾股定理设置了三层递进的问题，从基础的定理证明到类比迁移计算，再到结合正方形性质的综合运用，很好地考查了几何图形分析能力和知识迁移能力，其中等积法是解决这类问题的核心方法。
【难度系数】
0.7
