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1. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是（
A.1,3,4
B.2,2,7
C.4,5,7
D.3,3,6
C
）A.1,3,4
B.2,2,7
C.4,5,7
D.3,3,6
答案
1. C 【解析】1+3=4,2+2＜7,4+5＞7,3+3=6,故选项中只有长度为4,5,7的三条线段能组成三角形,故选C.
解析
【分析】
要判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需验证较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可，若满足则能组成三角形，反之则不能，接下来逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断方法为比较较短两边之和与最长边的大小：
A选项：较短两边为1和3，最长边为4，1+3=4，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B选项：较短两边为2和2，最长边为7，2+2=4＜7，不满足，不能组成三角形；
C选项：较短两边为4和5，最长边为7，4+5=9＞7，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：较短两边为3和3，最长边为6，3+3=6，不满足，不能组成三角形。
综上，只有C选项的三条线段能组成三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，掌握“比较较短两边之和与最长边大小”的简便判断方法，能够快速准确完成这类题目的解答。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否组成三角形，需依据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了简化计算，我们只需验证较短两条线段的长度之和是否大于最长线段的长度即可，若满足则能组成三角形，反之则不能，接下来逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，简便判断方法为比较较短两边之和与最长边的大小：
A选项：较短两边为1和3，最长边为4，1+3=4，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B选项：较短两边为2和2，最长边为7，2+2=4＜7，不满足，不能组成三角形；
C选项：较短两边为4和5，最长边为7，4+5=9＞7，满足三边关系，可以组成三角形；
D选项：较短两边为3和3，最长边为6，3+3=6，不满足，不能组成三角形。
综上，只有C选项的三条线段能组成三角形。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形三边关系的应用，掌握“比较较短两边之和与最长边大小”的简便判断方法，能够快速准确完成这类题目的解答。
【难度系数】
0.9
2. 已知三角形的三边长分别是$3,x,9$，化简$|x-5|+|x-13|=$
8
.答案
2. 8 【解析】由三角形三边的关系,得6＜x＜12,所以x-5＞0,x-13＜0,故$|x-5|+|x-13|=x-5+13-x=8$.
解析
【分析】
要化简含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负性，而x的取值范围可通过三角形三边关系求得：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。求出x的范围后，分别判断x-5和x-13的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$9-3 ＜ x ＜ 9+3$，即$6 ＜ x ＜ 12$。
因为$6 ＜ x ＜ 12$，所以$x-5 ＞ 6-5=1＞0$，$x-13 ＜ 12-13=-1＜0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|x-5|=x-5$，$|x-13|=13-x$。
因此$|x-5|+|x-13|=(x-5)+(13-x)=x-5+13-x=8$。
【答案】
8
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简的综合基础题，解题核心是先通过三角形三边关系确定未知数的取值范围，再结合绝对值的性质去符号计算，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要化简含绝对值的式子，首先需要判断绝对值内代数式的正负性，而x的取值范围可通过三角形三边关系求得：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。求出x的范围后，分别判断x-5和x-13的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$9-3 ＜ x ＜ 9+3$，即$6 ＜ x ＜ 12$。
因为$6 ＜ x ＜ 12$，所以$x-5 ＞ 6-5=1＞0$，$x-13 ＜ 12-13=-1＜0$。
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|x-5|=x-5$，$|x-13|=13-x$。
因此$|x-5|+|x-13|=(x-5)+(13-x)=x-5+13-x=8$。
【答案】
8
【知识点】
三角形三边关系；绝对值的化简
【点评】
本题是三角形三边关系与绝对值化简的综合基础题，解题核心是先通过三角形三边关系确定未知数的取值范围，再结合绝对值的性质去符号计算，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】下列生活实物图形中,不是运用三角形的稳定性的是 （）
【解析】选项A,B,D中均利用了三角形的稳定性,选项C中利用的原理是两点确定一条直线.
【答案】C
规律方法 三角形的稳定性的实质是三角形的各边的长度确定后,其形状不会再发生改变.现实生活中常常利用这一性质,将原本不稳定的形状转化为三角形,使之稳定.
【解析】选项A,B,D中均利用了三角形的稳定性,选项C中利用的原理是两点确定一条直线.
【答案】C
规律方法 三角形的稳定性的实质是三角形的各边的长度确定后,其形状不会再发生改变.现实生活中常常利用这一性质,将原本不稳定的形状转化为三角形,使之稳定.
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：选出没有运用三角形稳定性的选项。首先回忆两个核心几何原理：①三角形的稳定性：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，多用于需要结构稳固的场景；②两点确定一条直线：固定两个点就能确定唯一一条直线，多用于定位直线的场景。接下来逐一分析四个生活实例对应的原理，对比筛选即可得到答案。
【解析】
三角形具有稳定性，即三角形三边长度确定后，其形状、大小不会发生改变，常被应用在需要结构稳固的设计中：
选项A的栅栏设计有交叉的三角形结构，利用三角形的稳定性提升栅栏的牢固程度，不符合题意；
选项B的空调支架为三角形结构，利用三角形的稳定性承载空调重量，保证支架稳固，不符合题意；
选项C中木匠弹墨线，是通过固定两个端点得到笔直的墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，没有运用三角形的稳定性，符合题意；
选项D的自行车车架包含三角形结构，利用三角形的稳定性避免车架变形，提升使用的安全性，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性，两点确定一条直线
【点评】
本题结合常见的生活场景考查几何原理的实际应用，引导学生关注生活中的数学知识，学会区分不同几何性质的适用场景。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题干要求：选出没有运用三角形稳定性的选项。首先回忆两个核心几何原理：①三角形的稳定性：三角形三边长度确定后，形状和大小就固定不变，多用于需要结构稳固的场景；②两点确定一条直线：固定两个点就能确定唯一一条直线，多用于定位直线的场景。接下来逐一分析四个生活实例对应的原理，对比筛选即可得到答案。
【解析】
三角形具有稳定性，即三角形三边长度确定后，其形状、大小不会发生改变，常被应用在需要结构稳固的设计中：
选项A的栅栏设计有交叉的三角形结构，利用三角形的稳定性提升栅栏的牢固程度，不符合题意；
选项B的空调支架为三角形结构，利用三角形的稳定性承载空调重量，保证支架稳固，不符合题意；
选项C中木匠弹墨线，是通过固定两个端点得到笔直的墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，没有运用三角形的稳定性，符合题意；
选项D的自行车车架包含三角形结构，利用三角形的稳定性避免车架变形，提升使用的安全性，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形的稳定性，两点确定一条直线
【点评】
本题结合常见的生活场景考查几何原理的实际应用，引导学生关注生活中的数学知识，学会区分不同几何性质的适用场景。
【难度系数】
0.9
3.如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是 （
A.三角形的稳定性
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两点之间，线段最短
A
）A.三角形的稳定性
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两点之间，线段最短
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先明确题目场景：人字梯加拉杆的目的是让梯子更稳固，不易变形。接下来回忆各选项对应的几何原理的应用场景：三角形稳定性的核心作用是让结构不易变形；两点确定一条直线多用于固定物体位置；垂线段最短用于求点到直线的最短距离；两点之间线段最短用于求两点间的最短路径。结合拉杆的作用即可匹配到对应的原理。
【解析】
人字梯安装拉杆后，拉杆与两侧的梯腿共同构成了三角形结构。三角形具有稳定性，即三角形的三边长度确定后，它的形状和大小就固定不变，这个特性可以避免人字梯使用时发生变形侧滑，提升使用的安全性。
对各选项分析如下：
A. 三角形的稳定性，符合拉杆设计的原理，该选项正确；
B. 两点确定一条直线的应用场景多为固定物体位置等，与本题加固梯子的需求无关，该选项错误；
C. 垂线段最短描述的是点到直线的距离性质，和本题场景无关，该选项错误；
D. 两点之间线段最短描述的是两点间路径长度的性质，与加固梯子无关，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何基本性质在生活中的应用类题目，考查学生对基础几何概念的理解和结合实际场景的应用能力，只要熟练掌握各基本性质的适用场景就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题目场景：人字梯加拉杆的目的是让梯子更稳固，不易变形。接下来回忆各选项对应的几何原理的应用场景：三角形稳定性的核心作用是让结构不易变形；两点确定一条直线多用于固定物体位置；垂线段最短用于求点到直线的最短距离；两点之间线段最短用于求两点间的最短路径。结合拉杆的作用即可匹配到对应的原理。
【解析】
人字梯安装拉杆后，拉杆与两侧的梯腿共同构成了三角形结构。三角形具有稳定性，即三角形的三边长度确定后，它的形状和大小就固定不变，这个特性可以避免人字梯使用时发生变形侧滑，提升使用的安全性。
对各选项分析如下：
A. 三角形的稳定性，符合拉杆设计的原理，该选项正确；
B. 两点确定一条直线的应用场景多为固定物体位置等，与本题加固梯子的需求无关，该选项错误；
C. 垂线段最短描述的是点到直线的距离性质，和本题场景无关，该选项错误；
D. 两点之间线段最短描述的是两点间路径长度的性质，与加固梯子无关，该选项错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题是几何基本性质在生活中的应用类题目，考查学生对基础几何概念的理解和结合实际场景的应用能力，只要熟练掌握各基本性质的适用场景就能快速解答。
【难度系数】
0.9
1.用一根小木棒与两根长度分别为3 cm，5 cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（
A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm
B
）A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm
答案
1. B 【解析】设第三根小木棒长为x cm,由三角形三边关系,得5-3＜x＜5+3,即2＜x＜8,所给选项中只有7 cm符合题意.故选B.
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确要构成三角形，第三边的长度需要满足“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的规律。我们可以先设第三根小木棒的长度为x cm，利用已知的两根木棒长度，列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，逐一比对选项，选出落在取值范围内的选项即可。
【解析】
设第三根小木棒的长度为x cm，根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得$2 ＜ x ＜ 8$
逐一分析选项：
A选项9cm＞8cm，不符合要求；
B选项7cm满足2＜7＜8，符合要求；
C选项2cm为边界值，此时3+2=5，无法构成三角形，不符合要求；
D选项1cm＜2cm，不符合要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的理解与应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，需注意取值范围为开区间，边界值无法构成三角形，避免误选边界选项。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先明确要构成三角形，第三边的长度需要满足“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的规律。我们可以先设第三根小木棒的长度为x cm，利用已知的两根木棒长度，列出关于x的不等式，求出x的取值范围后，逐一比对选项，选出落在取值范围内的选项即可。
【解析】
设第三根小木棒的长度为x cm，根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$
计算得$2 ＜ x ＜ 8$
逐一分析选项：
A选项9cm＞8cm，不符合要求；
B选项7cm满足2＜7＜8，符合要求；
C选项2cm为边界值，此时3+2=5，无法构成三角形，不符合要求；
D选项1cm＜2cm，不符合要求。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的理解与应用，解题的关键是准确求出第三边的取值范围，需注意取值范围为开区间，边界值无法构成三角形，避免误选边界选项。
【难度系数】
0.8
2. 小冲家和小锐家到学校的直线距离分别是5 km和3 km.那么小冲、小锐两家的直线距离不可能是 （
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
A
）A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
答案
2. A 【解析】当小冲和小锐两家在一条直线上时,小冲和小锐两家的直线距离为2 km或8 km,当小冲和小锐两家不在一条直线上时,设小冲和小锐两家的直线距离为x km,根据三角形三边的关系,得5-3＜x＜5+3,即2＜x＜8,所以小冲和小锐两家的直线距离不可能为1 km.故选A.
解析
【分析】
解题时首先明确小冲家、小锐家、学校三个点的位置关系存在两种情况：三点共线、三点不共线。先计算三点共线时两家距离的两个极端值，再利用三角形三边关系求出三点不共线时的距离范围，综合得到两家距离的所有可能取值，最后对比选项选出不可能的数值即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当小冲家、小锐家、学校三点在同一直线上时：
①若两家在学校的同一侧，两家的直线距离为$5 - 3 = 2\mathrm{km}$；
②若两家在学校的两侧，两家的直线距离为$5 + 3 = 8\mathrm{km}$。
2. 当三点不在同一直线上时，三个点构成三角形，设两家的直线距离为$x\mathrm{km}$，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
综上，小冲、小锐两家的直线距离取值范围是$2\mathrm{km} ≤ x ≤ 8\mathrm{km}$，选项中只有1km不在该范围内，因此不可能是1km。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论思想
【点评】
本题结合生活实际考查三角形三边关系的应用，解题的关键是要考虑到三点共线的特殊情况，准确求出距离的取值范围，避免因忽略边界值而出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确小冲家、小锐家、学校三个点的位置关系存在两种情况：三点共线、三点不共线。先计算三点共线时两家距离的两个极端值，再利用三角形三边关系求出三点不共线时的距离范围，综合得到两家距离的所有可能取值，最后对比选项选出不可能的数值即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当小冲家、小锐家、学校三点在同一直线上时：
①若两家在学校的同一侧，两家的直线距离为$5 - 3 = 2\mathrm{km}$；
②若两家在学校的两侧，两家的直线距离为$5 + 3 = 8\mathrm{km}$。
2. 当三点不在同一直线上时，三个点构成三角形，设两家的直线距离为$x\mathrm{km}$，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$5 - 3 ＜ x ＜ 5 + 3$，即$2 ＜ x ＜ 8$。
综上，小冲、小锐两家的直线距离取值范围是$2\mathrm{km} ≤ x ≤ 8\mathrm{km}$，选项中只有1km不在该范围内，因此不可能是1km。
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 分类讨论思想
【点评】
本题结合生活实际考查三角形三边关系的应用，解题的关键是要考虑到三点共线的特殊情况，准确求出距离的取值范围，避免因忽略边界值而出错。
【难度系数】
0.8
3. 在长度分别为4,5,9,12的四条线段中，
任选三条线段可以组成三角形的个数为
（
A.1
B.2
C.3
D.4
任选三条线段可以组成三角形的个数为
（
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. B 【解析】从四条线段中选三条线段,有四种情况:5,9,12,或4,9,12,或4,5,12,或4,5,9,其中能组成三角形的有5,9,12;4,9,12,共2种.故选B.
解析
【分析】
解决本题的思路很清晰：第一步要先做到不重不漏地列出从四条线段中任选三条的所有组合；第二步回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，为了简化判断，可直接比较两条较短线段的和与最长线段的大小，若前者大于后者即可组成三角形，反之则不能；第三步逐个判断所有组合是否满足条件，统计符合要求的组合数即可得到答案。
【解析】
首先列出从长度为4,5,9,12的四条线段中任选三条的所有组合，共4种：
1. 组合：4，5，9
较短两边和为$4+5=9$，等于最长边9，不满足三角形三边关系，不能组成三角形；
2. 组合：4，5，12
较短两边和为$4+5=9＜12$，小于最长边12，不满足三角形三边关系，不能组成三角形；
3. 组合：4，9，12
较短两边和为$4+9=13＞12$，大于最长边12，满足三角形三边关系，可以组成三角形；
4. 组合：5，9，12
较短两边和为$5+9=14＞12$，大于最长边12，满足三角形三边关系，可以组成三角形。
综上，能组成三角形的组合共有2种，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、分类列举
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题时要注意先完整列举所有可选组合，判断时用较短两边之和与最长边比较的方法更简便，能有效减少计算量、避免出错。
【难度系数】
0.7
解决本题的思路很清晰：第一步要先做到不重不漏地列出从四条线段中任选三条的所有组合；第二步回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，为了简化判断，可直接比较两条较短线段的和与最长线段的大小，若前者大于后者即可组成三角形，反之则不能；第三步逐个判断所有组合是否满足条件，统计符合要求的组合数即可得到答案。
【解析】
首先列出从长度为4,5,9,12的四条线段中任选三条的所有组合，共4种：
1. 组合：4，5，9
较短两边和为$4+5=9$，等于最长边9，不满足三角形三边关系，不能组成三角形；
2. 组合：4，5，12
较短两边和为$4+5=9＜12$，小于最长边12，不满足三角形三边关系，不能组成三角形；
3. 组合：4，9，12
较短两边和为$4+9=13＞12$，大于最长边12，满足三角形三边关系，可以组成三角形；
4. 组合：5，9，12
较短两边和为$5+9=14＞12$，大于最长边12，满足三角形三边关系，可以组成三角形。
综上，能组成三角形的组合共有2种，故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、分类列举
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题，解题时要注意先完整列举所有可选组合，判断时用较短两边之和与最长边比较的方法更简便，能有效减少计算量、避免出错。
【难度系数】
0.7
4. 四边形ABCD的边长如图所示，线段AC的长度随四边形形状的改变而变化. 当$△ ABC$为等腰三角形时，AC的长为（
A.2
B.3
C.4
D.5
B
）A.2
B.3
C.4
D.5
答案
4. B 【解析】在△ACD中,AD=CD=2,所以2-2＜AC＜2+2,即0＜AC＜4.当AC=BC=4时,不满足上述条件,舍去;当AC=AB=3时,△ABC为等腰三角形.故选B.
解析
【分析】
解题时首先要明确线段AC是△ACD和△ABC的公共边，因此AC的长度需要同时满足两个三角形的三边要求。第一步先根据△ACD的已知边长，利用三角形三边关系求出AC的取值范围；再结合△ABC为等腰三角形的条件，列举所有可能的等腰情况，逐一验证是否符合AC的取值范围，排除不符合的情况后即可得到正确结果。
【解析】
首先在△ACD中，已知AD=2，CD=2，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$2-2 ＜ AC ＜ 2+2$，即$0 ＜ AC ＜ 4$。
已知△ABC中AB=3，BC=4，若△ABC为等腰三角形，分情况讨论：
1. 若$AC=BC=4$：此时$AC=4$不满足$0 ＜ AC ＜ 4$的条件，舍去；
2. 若$AC=AB=3$：此时$AC=3$在$0 ＜ AC ＜ 4$的范围内，符合要求；
3. 若$AB=BC$：$AB=3$，$BC=4$，显然不成立。
因此AC的长为3。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、等腰三角形的定义
【点评】
本题是典型的几何分类讨论题，解题的关键是不要忽略公共边AC同时属于两个三角形，需先确定其取值范围，再结合等腰三角形的条件筛选，避免因漏看约束条件直接判断等腰情况导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确线段AC是△ACD和△ABC的公共边，因此AC的长度需要同时满足两个三角形的三边要求。第一步先根据△ACD的已知边长，利用三角形三边关系求出AC的取值范围；再结合△ABC为等腰三角形的条件，列举所有可能的等腰情况，逐一验证是否符合AC的取值范围，排除不符合的情况后即可得到正确结果。
【解析】
首先在△ACD中，已知AD=2，CD=2，根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得：
$2-2 ＜ AC ＜ 2+2$，即$0 ＜ AC ＜ 4$。
已知△ABC中AB=3，BC=4，若△ABC为等腰三角形，分情况讨论：
1. 若$AC=BC=4$：此时$AC=4$不满足$0 ＜ AC ＜ 4$的条件，舍去；
2. 若$AC=AB=3$：此时$AC=3$在$0 ＜ AC ＜ 4$的范围内，符合要求；
3. 若$AB=BC$：$AB=3$，$BC=4$，显然不成立。
因此AC的长为3。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、等腰三角形的定义
【点评】
本题是典型的几何分类讨论题，解题的关键是不要忽略公共边AC同时属于两个三角形，需先确定其取值范围，再结合等腰三角形的条件筛选，避免因漏看约束条件直接判断等腰情况导致出错。
【难度系数】
0.7
