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3. 图中共有
5
个三角形，以BC为边的三角形共有3
个，以∠E为内角的三角形共有2
个.答案
3.5 3 2
解析
【分析】
解决本题需遵循有序计数的原则，避免重复和遗漏：①数所有三角形时，可按从小到大分类或固定顶点的方式逐个列举；②找以BC为边的三角形，只需固定B、C两点，匹配不同的第三个顶点即可；③找以∠E为内角的三角形，只需筛选出顶点含E，且∠E属于其内角的三角形即可。
【解析】
1. 统计总三角形个数：逐个列举所有符合条件的三角形，分别为$△ ABD$、$△ ABC$、$△ BCD$、$△ BCE$、$△ CDE$，共5个；
2. 统计以BC为边的三角形：固定边BC，第三个顶点可选择A、D、E，对应三角形为$△ ABC$、$△ BCD$、$△ BCE$，共3个；
3. 统计以$∠ E$为内角的三角形：$∠ E$是$△ BCE$和$△ CDE$的内角，共2个。
【答案】
5；3；2
【知识点】
三角形的定义；三角形的边与内角；图形计数
【点评】
本题是三角形概念的基础题型，核心考查有序计数的能力，计数时按照固定规律枚举，就能有效避免重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
解决本题需遵循有序计数的原则，避免重复和遗漏：①数所有三角形时，可按从小到大分类或固定顶点的方式逐个列举；②找以BC为边的三角形，只需固定B、C两点，匹配不同的第三个顶点即可；③找以∠E为内角的三角形，只需筛选出顶点含E，且∠E属于其内角的三角形即可。
【解析】
1. 统计总三角形个数：逐个列举所有符合条件的三角形，分别为$△ ABD$、$△ ABC$、$△ BCD$、$△ BCE$、$△ CDE$，共5个；
2. 统计以BC为边的三角形：固定边BC，第三个顶点可选择A、D、E，对应三角形为$△ ABC$、$△ BCD$、$△ BCE$，共3个；
3. 统计以$∠ E$为内角的三角形：$∠ E$是$△ BCE$和$△ CDE$的内角，共2个。
【答案】
5；3；2
【知识点】
三角形的定义；三角形的边与内角；图形计数
【点评】
本题是三角形概念的基础题型，核心考查有序计数的能力，计数时按照固定规律枚举，就能有效避免重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.8
4.由房屋屋顶的框架抽象出的几何图形如图所示,则该几何图形中一共有多少个三角形?写出这些三角形.
答案
4.【解】题图中共有 10 个三角形,分别是△BDF,△BDA, △BEA, △BCA, △DFA, △EDA,△EGA,△CGE,△ACE,△ACD.
解析
【分析】
要数出图形中所有三角形，需遵循“有序计数、不重不漏”的原则，我们可以采用分类计数的方法：先固定顶点A，数出另外两个顶点都在BC边上的三角形；再分别数包含AB边上点F、AC边上点G的剩余三角形，最后汇总数量即可。
【解析】
我们按分类计数的方法逐一计数：
1. 固定顶点A，另外两个顶点均在BC边上的三角形：
分别取BC边上的两点组合，得到△BDA、△BEA、△BCA、△EDA、△ACD、△ACE，共6个；
2. 包含AB边上点F的三角形：
得到△BDF、△DFA，共2个；
3. 包含AC边上点G的三角形：
得到△CGE、△EGA，共2个。
总数量为$6+2+2=10$个。
【答案】
共有10个三角形，分别是$△ BDF$，$△ BDA$，$△ BEA$，$△ BCA$，$△ DFA$，$△ EDA$，$△ EGA$，$△ CGE$，$△ ACE$，$△ ACD$。
【知识点】
三角形的定义；图形分类计数
【点评】
本题考查三角形的识别与图形计数能力，解题的核心是掌握有序分类的计数方法，避免计数时出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
要数出图形中所有三角形，需遵循“有序计数、不重不漏”的原则，我们可以采用分类计数的方法：先固定顶点A，数出另外两个顶点都在BC边上的三角形；再分别数包含AB边上点F、AC边上点G的剩余三角形，最后汇总数量即可。
【解析】
我们按分类计数的方法逐一计数：
1. 固定顶点A，另外两个顶点均在BC边上的三角形：
分别取BC边上的两点组合，得到△BDA、△BEA、△BCA、△EDA、△ACD、△ACE，共6个；
2. 包含AB边上点F的三角形：
得到△BDF、△DFA，共2个；
3. 包含AC边上点G的三角形：
得到△CGE、△EGA，共2个。
总数量为$6+2+2=10$个。
【答案】
共有10个三角形，分别是$△ BDF$，$△ BDA$，$△ BEA$，$△ BCA$，$△ DFA$，$△ EDA$，$△ EGA$，$△ CGE$，$△ ACE$，$△ ACD$。
【知识点】
三角形的定义；图形分类计数
【点评】
本题考查三角形的识别与图形计数能力，解题的核心是掌握有序分类的计数方法，避免计数时出现重复或遗漏的问题。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在直角三角形ABC中,$∠ A=90°$,$∠ B=30°$.动点P从点C出发,沿边CB,BA向点A运动.在点P运动过程中,$△ PAC$可能成为的特殊三角形依次是 （
A.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D.等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
C
）A.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形
B.等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形
C.直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
D.等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形
答案
5.C
解析
【分析】
首先明确△ABC的内角度数：∠BAC=90°，∠B=30°，因此可推出∠C=60°。动点P的运动分为两个阶段：第一阶段沿CB从C向B运动，第二阶段沿BA从B向A运动。解题时需逐阶段梳理P运动到不同特殊位置时△PAC的形状，结合特殊三角形的判定条件依次判断即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°-90°-30°=60°，分阶段分析如下：
1. P在CB边上向B运动时，当AP⊥BC，∠APC=90°，此时△PAC是直角三角形；
2. 继续移动到CP=AC时，已知∠C=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△PAC是等边三角形；
3. 当P移动到与B点重合时，△PAC即为△ABC，∠PAC=90°，此时△PAC是直角三角形；
4. 后续P沿BA边向A运动，
∵AB⊥AC，
∴∠PAC始终为90°，当AP=AC时，△PAC两条直角边相等，是等腰直角三角形；
5. P继续向A运动直至到达A点前，∠PAC始终为90°，△PAC仍是直角三角形。
综上，△PAC依次成为的特殊三角形为：直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊三角形判定，直角三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题结合动点运动场景考查特殊三角形的判定，解题的关键是梳理清楚动点的运动分段，找准每个特殊三角形对应的节点位置，熟记各类特殊三角形的判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.6
首先明确△ABC的内角度数：∠BAC=90°，∠B=30°，因此可推出∠C=60°。动点P的运动分为两个阶段：第一阶段沿CB从C向B运动，第二阶段沿BA从B向A运动。解题时需逐阶段梳理P运动到不同特殊位置时△PAC的形状，结合特殊三角形的判定条件依次判断即可。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°-90°-30°=60°，分阶段分析如下：
1. P在CB边上向B运动时，当AP⊥BC，∠APC=90°，此时△PAC是直角三角形；
2. 继续移动到CP=AC时，已知∠C=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△PAC是等边三角形；
3. 当P移动到与B点重合时，△PAC即为△ABC，∠PAC=90°，此时△PAC是直角三角形；
4. 后续P沿BA边向A运动，
∵AB⊥AC，
∴∠PAC始终为90°，当AP=AC时，△PAC两条直角边相等，是等腰直角三角形；
5. P继续向A运动直至到达A点前，∠PAC始终为90°，△PAC仍是直角三角形。
综上，△PAC依次成为的特殊三角形为：直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
特殊三角形判定，直角三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题结合动点运动场景考查特殊三角形的判定，解题的关键是梳理清楚动点的运动分段，找准每个特殊三角形对应的节点位置，熟记各类特殊三角形的判定条件即可快速解题。
【难度系数】
0.6
6. 如图,在方格纸中,过A,B,C,D,E五个格点中任意三点画三角形.
(1)请写出以点D,E,C为顶点的三角形的内角.
(2)以AB为边能画出哪几个三角形?
(3)分别指出(2)中的等腰三角形和钝角三角形.
(1)请写出以点D,E,C为顶点的三角形的内角.
(2)以AB为边能画出哪几个三角形?
(3)分别指出(2)中的等腰三角形和钝角三角形.
答案
6.【解】(1)∠EDC,∠DEC,∠ECD.
(2)如图,以 AB 为边可以画出 3 个三角形:△ABE,△ABD,△ABC.
(3)如图,△ABD 是等腰三角形,△ABE 与△ABC 是钝角三角形.
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，结合三角形内角的定义：三角形相邻两边所夹的内部角就是三角形的内角，只需分别以D、E、C三个顶点为角的顶点，依次找出对应内角即可。
(2) 求解第二问时，以AB为边的三角形，只需确定除A、B外的第三个顶点，剩余格点为E、D、C，每个点均可与AB组成一个三角形，逐一枚举即可。
(3) 求解第三问时，设小方格边长为1，用勾股定理计算各三角形的边长：有两边相等的三角形为等腰三角形；再用勾股定理逆定理，若最长边的平方大于另外两边的平方和，则该三角形为钝角三角形，据此判断即可。
【解析】
(1) 以D、E、C为顶点的三角形为△EDC，它的三个内角分别是顶点D处的∠EDC、顶点E处的∠DEC、顶点C处的∠ECD。
(2) 以AB为公共边，第三个顶点分别取E、D、C，可得到3个三角形，分别为△ABE、△ABD、△ABC，如下图：
(3) 设每个小方格边长为1：
① △ABD中，计算得AB=BD，有两边相等，因此△ABD是等腰三角形；
② △ABE中，最长边的平方大于另外两边平方和，最大角为钝角，因此△ABE是钝角三角形；△ABC中，最长边的平方大于另外两边平方和，最大角为钝角，因此△ABC是钝角三角形。
【答案】
(1)∠EDC,∠DEC,∠ECD.
(2)以 AB 为边可以画出 3 个三角形:△ABE,△ABD,△ABC.
(3)△ABD 是等腰三角形,△ABE 与△ABC 是钝角三角形.
【知识点】
三角形内角概念，三角形的构成，特殊三角形判定
【点评】
本题属于三角形概念的基础题型，结合格点背景考查基础概念的应用，需要学生掌握枚举法以及利用勾股定理判断特殊三角形的方法，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 求解第一问时，结合三角形内角的定义：三角形相邻两边所夹的内部角就是三角形的内角，只需分别以D、E、C三个顶点为角的顶点，依次找出对应内角即可。
(2) 求解第二问时，以AB为边的三角形，只需确定除A、B外的第三个顶点，剩余格点为E、D、C，每个点均可与AB组成一个三角形，逐一枚举即可。
(3) 求解第三问时，设小方格边长为1，用勾股定理计算各三角形的边长：有两边相等的三角形为等腰三角形；再用勾股定理逆定理，若最长边的平方大于另外两边的平方和，则该三角形为钝角三角形，据此判断即可。
【解析】
(1) 以D、E、C为顶点的三角形为△EDC，它的三个内角分别是顶点D处的∠EDC、顶点E处的∠DEC、顶点C处的∠ECD。
(2) 以AB为公共边，第三个顶点分别取E、D、C，可得到3个三角形，分别为△ABE、△ABD、△ABC，如下图：
(3) 设每个小方格边长为1：
① △ABD中，计算得AB=BD，有两边相等，因此△ABD是等腰三角形；
② △ABE中，最长边的平方大于另外两边平方和，最大角为钝角，因此△ABE是钝角三角形；△ABC中，最长边的平方大于另外两边平方和，最大角为钝角，因此△ABC是钝角三角形。
【答案】
(1)∠EDC,∠DEC,∠ECD.
(2)以 AB 为边可以画出 3 个三角形:△ABE,△ABD,△ABC.
(3)△ABD 是等腰三角形,△ABE 与△ABC 是钝角三角形.
【知识点】
三角形内角概念，三角形的构成，特殊三角形判定
【点评】
本题属于三角形概念的基础题型，结合格点背景考查基础概念的应用，需要学生掌握枚举法以及利用勾股定理判断特殊三角形的方法，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
7.三角形纸片内有200个点，连同三角形的顶点共203个点，其中任意三点都不共线.若以这些点为顶点连接线段画三角形（线段之间除顶点外无其他交点），并把纸片剪成小三角形，剪出的小三角形的个数是（
A.399
B.401
C.405
D.407
B
）A.399
B.401
C.405
D.407
答案
7.B 【解析】根据题意可以得到当三角形纸片内有1个点时,可剪出 3 个小三角形;当有 2 个点时,可剪出 5 个小三角形;当有 3 个点时,可剪出 7 个小三角形,以此类推,当有$n$个点时,可剪出$(2n+1)$个小三角形.根据题意,当三角形纸片内有 200 个点时,可剪出的小三角形的个数为$2n+1=2×200+1=401$.
解析
【分析】
本题属于三角形内点的计数问题，直接计算200个点的情况过于繁琐，因此采用从特殊到一般的解题思路：先枚举三角形内点数较少时的小三角形个数，观察数字特征总结通用规律，再将n=200代入规律公式计算最终结果。
【解析】
我们先从点数少的情况入手找规律：
1. 当三角形内有1个点时，可剪出3个小三角形，满足3=2×1+1；
2. 当三角形内有2个点时，可剪出5个小三角形，满足5=2×2+1；
3. 当三角形内有3个点时，可剪出7个小三角形，满足7=2×3+1。
由此可归纳出规律：当三角形内有n个点时，剪出的小三角形个数为$\boldsymbol{2n+1}$个。
将n=200代入公式得：$2×200+1=401$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；三角形计数
【点评】
本题重点考查通过简单情形推导通用规律的能力，解题的关键是避开直接枚举大量点的繁琐操作，通过少量案例找到计数规律，快速求解问题。
【难度系数】
0.65
本题属于三角形内点的计数问题，直接计算200个点的情况过于繁琐，因此采用从特殊到一般的解题思路：先枚举三角形内点数较少时的小三角形个数，观察数字特征总结通用规律，再将n=200代入规律公式计算最终结果。
【解析】
我们先从点数少的情况入手找规律：
1. 当三角形内有1个点时，可剪出3个小三角形，满足3=2×1+1；
2. 当三角形内有2个点时，可剪出5个小三角形，满足5=2×2+1；
3. 当三角形内有3个点时，可剪出7个小三角形，满足7=2×3+1。
由此可归纳出规律：当三角形内有n个点时，剪出的小三角形个数为$\boldsymbol{2n+1}$个。
将n=200代入公式得：$2×200+1=401$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究；三角形计数
【点评】
本题重点考查通过简单情形推导通用规律的能力，解题的关键是避开直接枚举大量点的繁琐操作，通过少量案例找到计数规律，快速求解问题。
【难度系数】
0.65
