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8. (2026深圳月考)根据以下素材，完成探索任务.
如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案
素材一
2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式.该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送
与收藏的热门之选
素材二
该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量$y$(套)与销售单价$x$(元/套)之间的关系如图所示：
续表
问题解决
任务一 确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量$y$(套)关于销售单价$x$(元/套)的函数表达式
任务二 计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？
任务三 拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？
如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案
素材一
2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式.该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送
与收藏的热门之选素材二
该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量$y$(套)与销售单价$x$(元/套)之间的关系如图所示：
续表
问题解决
任务一 确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量$y$(套)关于销售单价$x$(元/套)的函数表达式
任务二 计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？
任务三 拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？
答案
解:任务一:设y关于x的函数表达式为y=kx+b，将点(50,400),(60,300)代入y=kx+b中，得{50k+b=400, 60k+b=300, 解得{k=-10, b=900,
∴y关于x的函数表达式为y=-10x+900(40≤x≤90)。
任务二:根据题意，得每套利润为(x-40)元，月销售量为(-10x+900)套，可列方程(x-40)(-10x+900)=6000，解得x₁=60,x₂=70，
∵要尽可能让利于顾客，
∴选择较低定价。答:每套吉祥物套装应定价60元。
任务三:设每月销售利润为w元，w=(x-40)(-10x+900)=-10x²+1300x-36000，整理,得w=-10(x-65)²+6250(40≤x≤90)，
∵a=-10＜0，二次函数图象的开口向下，
∴当x=65时，w取得最大值，此时，最大利润为w=6250元。答:当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元。
∴y关于x的函数表达式为y=-10x+900(40≤x≤90)。
任务二:根据题意，得每套利润为(x-40)元，月销售量为(-10x+900)套，可列方程(x-40)(-10x+900)=6000，解得x₁=60,x₂=70，
∵要尽可能让利于顾客，
∴选择较低定价。答:每套吉祥物套装应定价60元。
任务三:设每月销售利润为w元，w=(x-40)(-10x+900)=-10x²+1300x-36000，整理,得w=-10(x-65)²+6250(40≤x≤90)，
∵a=-10＜0，二次函数图象的开口向下，
∴当x=65时，w取得最大值，此时，最大利润为w=6250元。答:当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元。
解析
【分析】
1. 任务一：由题意可知销售量y与销售单价x呈一次函数关系，因此采用待定系数法，将已知的两个点坐标代入一次函数通式求解系数，再结合成本限制、销量非负的实际要求确定自变量x的取值范围，即可得到函数表达式。
2. 任务二：销售总利润=每套利润×月销售量，其中每套利润为(x-40)元，月销售量可直接代入任务一得到的表达式，令总利润等于6000列一元二次方程，求解后结合“尽可能让利于顾客”的要求选择较低的定价即可。
3. 任务三：将总利润w表示为关于x的二次函数，通过配方转化为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求得最大利润及对应的销售单价。
【解析】
任务一
设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(50,400)$、$(60,300)$代入得：
$\begin{cases}50k+b=400 \\60k+b=300 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10 \\b=900 \end{cases}$
结合实际意义，销售单价不低于成本40元，且销量不能为负，即$-10x+900≥0$，得$x≤90$，因此函数表达式为$y=-10x+900(40≤x≤90)$。
任务二
由题意得，每套利润为$(x-40)$元，月销售量为$(-10x+900)$套，总利润为6000元，列方程：
$(x-40)(-10x+900)=6000$
整理得$x^2-130x+4200=0$，解得$x_1=60$，$x_2=70$。
∵要尽可能让利于顾客，应选择更低的定价，
∴$x=60$。
任务三
设每月销售利润为$w$元，根据总利润公式得：
$w=(x-40)(-10x+900)$
展开整理得：$w=-10x^2+1300x-36000$
配方得：$w=-10(x-65)^2+6250(40≤x≤90)$
∵$a=-10＜0$，二次函数图象开口向下，
∴当$x=65$时，$w$取得最大值，最大值为6250元。
【答案】
任务一：$y=-10x+900(40≤x≤90)$
任务二：60元
任务三：销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，二次函数最值应用
【点评】
本题结合商品销售的实际场景，综合考查函数与方程的建模及应用能力，解题时要注意结合实际约束条件（如让利于顾客、销量非负等）对计算结果进行筛选，是典型的代数综合应用型题目。
【难度系数】
0.65
1. 任务一：由题意可知销售量y与销售单价x呈一次函数关系，因此采用待定系数法，将已知的两个点坐标代入一次函数通式求解系数，再结合成本限制、销量非负的实际要求确定自变量x的取值范围，即可得到函数表达式。
2. 任务二：销售总利润=每套利润×月销售量，其中每套利润为(x-40)元，月销售量可直接代入任务一得到的表达式，令总利润等于6000列一元二次方程，求解后结合“尽可能让利于顾客”的要求选择较低的定价即可。
3. 任务三：将总利润w表示为关于x的二次函数，通过配方转化为顶点式，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求得最大利润及对应的销售单价。
【解析】
任务一
设y关于x的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(50,400)$、$(60,300)$代入得：
$\begin{cases}50k+b=400 \\60k+b=300 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10 \\b=900 \end{cases}$
结合实际意义，销售单价不低于成本40元，且销量不能为负，即$-10x+900≥0$，得$x≤90$，因此函数表达式为$y=-10x+900(40≤x≤90)$。
任务二
由题意得，每套利润为$(x-40)$元，月销售量为$(-10x+900)$套，总利润为6000元，列方程：
$(x-40)(-10x+900)=6000$
整理得$x^2-130x+4200=0$，解得$x_1=60$，$x_2=70$。
∵要尽可能让利于顾客，应选择更低的定价，
∴$x=60$。
任务三
设每月销售利润为$w$元，根据总利润公式得：
$w=(x-40)(-10x+900)$
展开整理得：$w=-10x^2+1300x-36000$
配方得：$w=-10(x-65)^2+6250(40≤x≤90)$
∵$a=-10＜0$，二次函数图象开口向下，
∴当$x=65$时，$w$取得最大值，最大值为6250元。
【答案】
任务一：$y=-10x+900(40≤x≤90)$
任务二：60元
任务三：销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元
【知识点】
一次函数应用，一元二次方程应用，二次函数最值应用
【点评】
本题结合商品销售的实际场景，综合考查函数与方程的建模及应用能力，解题时要注意结合实际约束条件（如让利于顾客、销量非负等）对计算结果进行筛选，是典型的代数综合应用型题目。
【难度系数】
0.65
