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1. (2025 北京期中)二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3$ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
A.$\frac{1}{2},-2,-3$
B.$\frac{1}{2},-2,-1$
C.$\frac{1}{2},4,-3$
D.$\frac{1}{2},-4,1$
B
）A.$\frac{1}{2},-2,-3$
B.$\frac{1}{2},-2,-1$
C.$\frac{1}{2},4,-3$
D.$\frac{1}{2},-4,1$
答案
1. B
解析
【分析】
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要把给定的顶点式二次函数转化为一般式 $ y=ax^2+bx+c $（$ a≠0 $）的形式。转化时先利用完全平方公式展开顶点式的平方项，再进行整式的乘法和加减运算化简，最后对应 $ a、b、c $ 的位置就能得到各项系数。
【解析】
首先将二次函数 $ y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3 $ 展开化为一般式：
1. 计算平方项：根据完全平方公式得 $ (x-2)^2 = x^2 -4x +4 $
2. 代入原式做乘法运算：$ y=\frac{1}{2}(x^2 -4x +4) -3 = \frac{1}{2}x^2 -2x +2 -3 $
3. 合并常数项得到一般式：$ y=\frac{1}{2}x^2 -2x -1 $
对照二次函数一般式的定义，二次项系数为 $ \frac{1}{2} $，一次项系数为 $ -2 $，常数项为 $ -1 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数系数识别
2. 完全平方公式
3. 整式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式到一般式的转化方法，解题时要注意完全平方展开的符号正确性，以及整式加减运算时的合并同类项规则，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要把给定的顶点式二次函数转化为一般式 $ y=ax^2+bx+c $（$ a≠0 $）的形式。转化时先利用完全平方公式展开顶点式的平方项，再进行整式的乘法和加减运算化简，最后对应 $ a、b、c $ 的位置就能得到各项系数。
【解析】
首先将二次函数 $ y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3 $ 展开化为一般式：
1. 计算平方项：根据完全平方公式得 $ (x-2)^2 = x^2 -4x +4 $
2. 代入原式做乘法运算：$ y=\frac{1}{2}(x^2 -4x +4) -3 = \frac{1}{2}x^2 -2x +2 -3 $
3. 合并常数项得到一般式：$ y=\frac{1}{2}x^2 -2x -1 $
对照二次函数一般式的定义，二次项系数为 $ \frac{1}{2} $，一次项系数为 $ -2 $，常数项为 $ -1 $，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数系数识别
2. 完全平方公式
3. 整式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握二次函数顶点式到一般式的转化方法，解题时要注意完全平方展开的符号正确性，以及整式加减运算时的合并同类项规则，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8
2. 如果关于 $ x $ 的函数 $ y=(m+1)x^{|m-1|}+2x-1 $ 是二次函数，则 $ m= $
3
。答案
2. 3
解析
【分析】
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件：①自变量x的最高次数为2；②二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列等式和不等式，求解后取公共解即可得到m的值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量最高次数为2：$|m-1|=2$，
解绝对值方程：当$m-1=2$时，$m=3$；当$m-1=-2$时，$m=-1$。
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
结合两个条件，排除$m=-1$，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义；绝对值方程求解；一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致出现多解错误，求解此类问题时要注意两个限定条件需同时满足。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件：①自变量x的最高次数为2；②二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列等式和不等式，求解后取公共解即可得到m的值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得：
1. 自变量最高次数为2：$|m-1|=2$，
解绝对值方程：当$m-1=2$时，$m=3$；当$m-1=-2$时，$m=-1$。
2. 二次项系数不为0：$m+1≠0$，解得$m≠-1$。
结合两个条件，排除$m=-1$，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的定义；绝对值方程求解；一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题的易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，导致出现多解错误，求解此类问题时要注意两个限定条件需同时满足。
【难度系数】
0.7
3. 将抛物线$y=-x^2-2x+3$先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线必定经过点（
A.$(-2,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,6)$
D.$(1,-3)$
B
）A.$(-2,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,6)$
D.$(1,-3)$
答案
3. B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要将原抛物线的一般式转化为顶点式，方便应用二次函数的平移规律（左加右减自变量，上加下减常数项）求出平移后的抛物线解析式，再将各选项中的点坐标逐一代入平移后的解析式验证，若等式成立则该点在抛物线上。
【解析】
第一步：将原抛物线解析式化为顶点式
对$y=-x^2-2x+3$配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2+1+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
第二步：根据平移规则求平移后的解析式
抛物线向右平移1个单位长度，自变量$x$替换为$x-1$；再向下平移2个单位长度，整体减2，可得：
$\begin{aligned}y&=-[(x-1)+1]^2+4-2\\&=-x^2+2\end{aligned}$
第三步：逐一代入选项验证
选项A：把$x=-2$代入$y=-x^2+2$，得$y=-(-2)^2+2=-2≠2$，故不经过$(-2,2)$；
选项B：把$x=-1$代入$y=-x^2+2$，得$y=-(-1)^2+2=1$，与纵坐标相等，故经过$(-1,1)$；
选项C：把$x=0$代入$y=-x^2+2$，得$y=0+2=2≠6$，故不经过$(0,6)$；
选项D：把$x=1$代入$y=-x^2+2$，得$y=-1^2+2=1≠-3$，故不经过$(1,-3)$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数一般式化顶点式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的平移性质及图象上点的坐标特点，核心是掌握平移时“左加右减、上加下减”的规则，注意平移时是针对自变量和函数整体进行调整，避免混淆加减方向。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需要将原抛物线的一般式转化为顶点式，方便应用二次函数的平移规律（左加右减自变量，上加下减常数项）求出平移后的抛物线解析式，再将各选项中的点坐标逐一代入平移后的解析式验证，若等式成立则该点在抛物线上。
【解析】
第一步：将原抛物线解析式化为顶点式
对$y=-x^2-2x+3$配方：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2+1+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
第二步：根据平移规则求平移后的解析式
抛物线向右平移1个单位长度，自变量$x$替换为$x-1$；再向下平移2个单位长度，整体减2，可得：
$\begin{aligned}y&=-[(x-1)+1]^2+4-2\\&=-x^2+2\end{aligned}$
第三步：逐一代入选项验证
选项A：把$x=-2$代入$y=-x^2+2$，得$y=-(-2)^2+2=-2≠2$，故不经过$(-2,2)$；
选项B：把$x=-1$代入$y=-x^2+2$，得$y=-(-1)^2+2=1$，与纵坐标相等，故经过$(-1,1)$；
选项C：把$x=0$代入$y=-x^2+2$，得$y=0+2=2≠6$，故不经过$(0,6)$；
选项D：把$x=1$代入$y=-x^2+2$，得$y=-1^2+2=1≠-3$，故不经过$(1,-3)$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数一般式化顶点式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的平移性质及图象上点的坐标特点，核心是掌握平移时“左加右减、上加下减”的规则，注意平移时是针对自变量和函数整体进行调整，避免混淆加减方向。
【难度系数】
0.7
4.将抛物线$y=ax^2+bx+3$向下平移5个单位长度后，经过点$(-2,4)$，则$6a-3b-7=$
2
.答案
4. 2
解析
【分析】
解题思路分为三步：1. 根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，写出原抛物线向下平移5个单位后的解析式；2. 将已知点(-2,4)代入平移后的解析式，推导得出关于a、b的数量关系；3. 将所求代数式变形为含上述数量关系的形式，整体代入计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线为$y=ax^2+bx+3$，向下平移5个单位长度后，函数值减少5，因此平移后的解析式为：
$y=ax^2+bx+3-5=ax^2+bx-2$
2. 代入点坐标推导a、b的关系：
已知平移后的抛物线经过点$(-2,4)$，将$x=-2$，$y=4$代入平移后的解析式：
$4=a×(-2)^2 + b×(-2) -2$
化简得：$4=4a-2b-2$
移项整理得：$4a-2b=6$，两边同时除以2得：$2a - b=3$
3. 整体代入计算所求代数式的值：
观察所求式子$6a-3b-7$，可变形为$3(2a - b) -7$，将$2a - b=3$代入得：
$3×3 -7=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象平移、待定系数法、整体代入求值
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，核心考查平移规律的应用和整体代入的数学思想，解题时无需单独求解a、b的具体值，通过变形代数式整体代入可简化计算，易错点是平移时符号处理错误、代入坐标计算失误。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：1. 根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，写出原抛物线向下平移5个单位后的解析式；2. 将已知点(-2,4)代入平移后的解析式，推导得出关于a、b的数量关系；3. 将所求代数式变形为含上述数量关系的形式，整体代入计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体值。
【解析】
1. 求平移后的抛物线解析式：
原抛物线为$y=ax^2+bx+3$，向下平移5个单位长度后，函数值减少5，因此平移后的解析式为：
$y=ax^2+bx+3-5=ax^2+bx-2$
2. 代入点坐标推导a、b的关系：
已知平移后的抛物线经过点$(-2,4)$，将$x=-2$，$y=4$代入平移后的解析式：
$4=a×(-2)^2 + b×(-2) -2$
化简得：$4=4a-2b-2$
移项整理得：$4a-2b=6$，两边同时除以2得：$2a - b=3$
3. 整体代入计算所求代数式的值：
观察所求式子$6a-3b-7$，可变形为$3(2a - b) -7$，将$2a - b=3$代入得：
$3×3 -7=9-7=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象平移、待定系数法、整体代入求值
【点评】
本题是二次函数相关的基础常考题，核心考查平移规律的应用和整体代入的数学思想，解题时无需单独求解a、b的具体值，通过变形代数式整体代入可简化计算，易错点是平移时符号处理错误、代入坐标计算失误。
【难度系数】
0.7
5.已知抛物线$y=x^2 -4x +3$，则下列结论错误的是（
A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
D
）A.抛物线开口向上
B.抛物线的对称轴为直线$x=2$
C.抛物线的顶点坐标为$(2,-1)$
D.当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
5. D
解析
【分析】
本题考查二次函数基本性质的判断，解题思路为：先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中各项系数的值，再依次推导开口方向、对称轴、顶点坐标，最后结合开口方向和对称轴分析函数的增减性，逐一验证四个选项即可找出错误结论。
【解析】
对于抛物线$y=x^2-4x+3$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=3$：
1. 验证A选项：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，A选项结论正确，不符合题意；
2. 验证B选项：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，即抛物线对称轴为直线$x=2$，B选项结论正确，不符合题意；
3. 验证C选项：将$x=2$代入抛物线解析式，得$y=2^2-4×2+3=4-8+3=-1$，即顶点坐标为$(2,-1)$，C选项结论正确，不符合题意；
4. 验证D选项：$\because$抛物线开口向上，对称轴为$x=2$，$\therefore$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是熟练掌握从二次函数一般式推导各项性质的方法，只要掌握相关基础知识点，细心判断就能得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数基本性质的判断，解题思路为：先明确二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中各项系数的值，再依次推导开口方向、对称轴、顶点坐标，最后结合开口方向和对称轴分析函数的增减性，逐一验证四个选项即可找出错误结论。
【解析】
对于抛物线$y=x^2-4x+3$，可得$a=1$，$b=-4$，$c=3$：
1. 验证A选项：$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，A选项结论正确，不符合题意；
2. 验证B选项：根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入得$x=-\frac{-4}{2×1}=2$，即抛物线对称轴为直线$x=2$，B选项结论正确，不符合题意；
3. 验证C选项：将$x=2$代入抛物线解析式，得$y=2^2-4×2+3=4-8+3=-1$，即顶点坐标为$(2,-1)$，C选项结论正确，不符合题意；
4. 验证D选项：$\because$抛物线开口向上，对称轴为$x=2$，$\therefore$当$x＜2$时，$y$随$x$的增大而减小，当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，故D选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于二次函数的基础考查题，核心是熟练掌握从二次函数一般式推导各项性质的方法，只要掌握相关基础知识点，细心判断就能得分。
【难度系数】
0.8
6.设$A(-2,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(2,y_3)$是抛物线$y=3(x+1)^2+4m$（$m$为常数）上的三点，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系为（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
A
）A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_2＜y_1＜y_3$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
6. A
解析
【分析】
要比较抛物线上三点的纵坐标大小，首先先明确抛物线的基本性质：先从顶点式解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，由于开口向上的抛物线上的点，横坐标离对称轴越远，对应的纵坐标值越大，因此只需计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=3(x+1)^2+4m$，
∵$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线$x=-1$，
开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，
分别计算三点到对称轴$x=-1$的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$，
点$B(1,y_2)$到对称轴的距离：$|1 - (-1)|=2$，
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离：$|2 - (-1)|=3$，
∵$1＜2＜3$，
∴$y_1＜y_2＜y_3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，抛物线顶点式，函数值比较
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，无需代入计算具体的函数值，利用抛物线的开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小，解题更快捷，需要熟练掌握抛物线顶点式对应的对称轴、开口方向的判断方法。
【难度系数】
0.8
要比较抛物线上三点的纵坐标大小，首先先明确抛物线的基本性质：先从顶点式解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，由于开口向上的抛物线上的点，横坐标离对称轴越远，对应的纵坐标值越大，因此只需计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小即可判断$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系。
【解析】
已知抛物线解析式为$y=3(x+1)^2+4m$，
∵$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线$x=-1$，
开口向上的抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，
分别计算三点到对称轴$x=-1$的距离：
点$A(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2 - (-1)|=1$，
点$B(1,y_2)$到对称轴的距离：$|1 - (-1)|=2$，
点$C(2,y_3)$到对称轴的距离：$|2 - (-1)|=3$，
∵$1＜2＜3$，
∴$y_1＜y_2＜y_3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质，抛物线顶点式，函数值比较
【点评】
本题是二次函数的常考基础题型，无需代入计算具体的函数值，利用抛物线的开口方向和点到对称轴的距离比较函数值大小，解题更快捷，需要熟练掌握抛物线顶点式对应的对称轴、开口方向的判断方法。
【难度系数】
0.8
7.如图，抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-2,0),B(6,0)$，与$y$轴交于点$C$.小红同学得出了以下结论：①$b^2-4ac＞0$；②$4a+b=0$；③当$y＞0$时，$-2＜x＜6$；④$a+b+c＜0$.其中正确的个数为（
A.4
B.3
C.2
D.1
B
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
7. B
解析
【分析】
解决这类二次函数结论判断题，需结合图像性质逐个验证结论：①先根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号；②利用抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，再结合对称轴公式推导a和b的关系；③结合抛物线开口方向和x轴交点，判断y＞0时x的取值范围；④明确a+b+c是x=1时的函数值，结合x=1对应的图像位置判断符号。
【解析】
我们对4个结论逐一分析：
1. 结论①：抛物线与x轴有A、B两个不同的交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，①正确。
2. 结论②：抛物线与x轴交于$A(-2,0)$、$B(6,0)$，则抛物线的对称轴为$x=\frac{-2+6}{2}=2$，又二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，即$4a+b=0$，②正确。
3. 结论③：由图像可知抛物线开口向上，因此当$y＞0$时，图像在x轴上方，对应x的取值范围是$x＜-2$或$x＞6$，而非$-2＜x＜6$，③错误。
4. 结论④：当$x=1$时，函数值$y=a×1^2+b×1+c=a+b+c$，$x=1$在区间$(-2,6)$内，此时函数图像在x轴下方，$y＜0$，因此$a+b+c＜0$，④正确。
综上，正确的结论是①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数图像类的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数的判别式、对称轴、函数值与系数的对应关系，结合图像特征即可快速判断结论正误。
【难度系数】
0.7
解决这类二次函数结论判断题，需结合图像性质逐个验证结论：①先根据抛物线与x轴的交点个数判断判别式的符号；②利用抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，再结合对称轴公式推导a和b的关系；③结合抛物线开口方向和x轴交点，判断y＞0时x的取值范围；④明确a+b+c是x=1时的函数值，结合x=1对应的图像位置判断符号。
【解析】
我们对4个结论逐一分析：
1. 结论①：抛物线与x轴有A、B两个不同的交点，说明一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，①正确。
2. 结论②：抛物线与x轴交于$A(-2,0)$、$B(6,0)$，则抛物线的对称轴为$x=\frac{-2+6}{2}=2$，又二次函数对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，因此$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$，即$4a+b=0$，②正确。
3. 结论③：由图像可知抛物线开口向上，因此当$y＞0$时，图像在x轴上方，对应x的取值范围是$x＜-2$或$x＞6$，而非$-2＜x＜6$，③错误。
4. 结论④：当$x=1$时，函数值$y=a×1^2+b×1+c=a+b+c$，$x=1$在区间$(-2,6)$内，此时函数图像在x轴下方，$y＜0$，因此$a+b+c＜0$，④正确。
综上，正确的结论是①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数图像类的典型题型，核心考查数形结合思想的应用，需要熟练掌握二次函数的判别式、对称轴、函数值与系数的对应关系，结合图像特征即可快速判断结论正误。
【难度系数】
0.7
8. 已知二次函数的图象以A(-1,4)为顶点，且经过点B(2,-5)，则该二次函数的表达式为
$y=-x^2-2x+3$
。答案
8. $y=-x^2-2x+3$
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先采用顶点式设函数表达式可简化计算：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，本题中$h=-1$，$k=4$，先代入顶点坐标写出含参数$a$的表达式，再将点B的坐标代入求解$a$的值，最后整理为一般式即可。
【解析】
设该二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+4$（$a≠0$）。
将点$B(2,-5)$代入表达式，得：
$\begin{aligned}-5&=a×(2+1)^2+4\\-5&=9a+4\\9a&=-9\\a&=-1\end{aligned}$
将$a=-1$代回顶点式，展开整理为一般式：
$\begin{aligned}y&=-(x+1)^2+4\\&=-(x^2+2x+1)+4\\&=-x^2-2x-1+4\\&=-x^2-2x+3\end{aligned}$
【答案】
$y=-x^2-2x+3$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查顶点式的应用，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅减少计算量，熟练掌握待定系数法的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，优先采用顶点式设函数表达式可简化计算：二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$为顶点坐标，本题中$h=-1$，$k=4$，先代入顶点坐标写出含参数$a$的表达式，再将点B的坐标代入求解$a$的值，最后整理为一般式即可。
【解析】
设该二次函数的表达式为$y=a(x+1)^2+4$（$a≠0$）。
将点$B(2,-5)$代入表达式，得：
$\begin{aligned}-5&=a×(2+1)^2+4\\-5&=9a+4\\9a&=-9\\a&=-1\end{aligned}$
将$a=-1$代回顶点式，展开整理为一般式：
$\begin{aligned}y&=-(x+1)^2+4\\&=-(x^2+2x+1)+4\\&=-x^2-2x-1+4\\&=-x^2-2x+3\end{aligned}$
【答案】
$y=-x^2-2x+3$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查顶点式的应用，已知顶点坐标时选用顶点式可大幅减少计算量，熟练掌握待定系数法的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
