登录
9.已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过$(-1,0)$，$(0,-3)$，$(2,3)$三点.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
答案
9. 解:(1)把(-1,0),(0,-3),(2,3)代入$ y=ax^2+bx+c,$得
$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=-3,\\4a+2b+c=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2,\\b=-1,\\c=-3.\end{cases}$
∴这个抛物线的表达式为$ y=2x^2-x-3.(2)y=2x^2-x-3=2(x-\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{25}{8}.$
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线$ x=\dfrac{1}{4},$顶点坐标为$ (\dfrac{1}{4},-\dfrac{25}{8}).$
$\begin{cases}a-b+c=0,\\c=-3,\\4a+2b+c=3,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=2,\\b=-1,\\c=-3.\end{cases}$
∴这个抛物线的表达式为$ y=2x^2-x-3.(2)y=2x^2-x-3=2(x-\dfrac{1}{4})^2-\dfrac{25}{8}.$
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线$ x=\dfrac{1}{4},$顶点坐标为$ (\dfrac{1}{4},-\dfrac{25}{8}).$
解析
【分析】
(1) 已知抛物线上三个普通点的坐标，适合用待定系数法求解表达式：将三个点坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解出三个系数即可确定解析式。
(2) 求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，可将第一问得到的一般式通过配方法转化为顶点式，根据二次项系数的正负判断开口方向，从顶点式中直接读取对称轴和顶点坐标，符合九年级的知识要求。
【解析】
(1) 把$(-1,0)$、$(0,-3)$、$(2,3)$三点代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a-b+c=0\\c=-3\\4a+2b+c=3\end{cases}$
将$c=-3$代入剩余两个方程，化简得$\begin{cases}a-b=3\\2a+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2\\b=-1\\c=-3\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=2x^2-x-3$。
(2) 将一般式配方为顶点式：
$y=2x^2-x-3=2(x^2-\frac{1}{2}x)-3=2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{25}{8}$
$\because$二次项系数$a=2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上；
由顶点式可得对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},-\frac{25}{8})$。
【答案】
(1) $y=2x^2-x-3$；
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{1}{4}$，顶点坐标为$(\dfrac{1}{4},-\dfrac{25}{8})$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数性质，配方法
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，主要考察待定系数法的应用和二次函数基本性质的掌握，解题思路清晰，只要熟练掌握代入列方程组、配方法的运算步骤即可顺利求解，是二次函数模块必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线上三个普通点的坐标，适合用待定系数法求解表达式：将三个点坐标代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解出三个系数即可确定解析式。
(2) 求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，可将第一问得到的一般式通过配方法转化为顶点式，根据二次项系数的正负判断开口方向，从顶点式中直接读取对称轴和顶点坐标，符合九年级的知识要求。
【解析】
(1) 把$(-1,0)$、$(0,-3)$、$(2,3)$三点代入$y=ax^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}a-b+c=0\\c=-3\\4a+2b+c=3\end{cases}$
将$c=-3$代入剩余两个方程，化简得$\begin{cases}a-b=3\\2a+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=2\\b=-1\\c=-3\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=2x^2-x-3$。
(2) 将一般式配方为顶点式：
$y=2x^2-x-3=2(x^2-\frac{1}{2}x)-3=2(x-\frac{1}{4})^2-\frac{25}{8}$
$\because$二次项系数$a=2＞0$，$\therefore$抛物线开口向上；
由顶点式可得对称轴为直线$x=\frac{1}{4}$，顶点坐标为$(\frac{1}{4},-\frac{25}{8})$。
【答案】
(1) $y=2x^2-x-3$；
(2) 开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{1}{4}$，顶点坐标为$(\dfrac{1}{4},-\dfrac{25}{8})$。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数性质，配方法
【点评】
本题是二次函数的基础常规题，主要考察待定系数法的应用和二次函数基本性质的掌握，解题思路清晰，只要熟练掌握代入列方程组、配方法的运算步骤即可顺利求解，是二次函数模块必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
10. (2026 淄博期末)在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2 -1$ 与 $x$ 轴的交点个数为
（
A.3
B.2
C.1
D.0
（
D
）A.3
B.2
C.1
D.0
答案
10. D
解析
【分析】
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与x轴的交点对应y=0时一元二次方程的实数根，交点个数由一元二次方程根的判别式Δ的符号决定：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时没有交点。解题时先令y=0得到对应的一元二次方程，再计算判别式判断符号即可。
【解析】
令抛物线解析式中y=0，可得方程：
$-x^2 - 1 = 0$
整理得：$x^2 + 1 = 0$
其中$a=1$，$b=0$，$c=1$，代入根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$
说明该一元二次方程无实数根，因此抛物线$y=-x^2 -1$与x轴没有交点，交点个数为0。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象和一元二次方程的对应关系，牢记判别式符号和交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断抛物线与x轴的交点个数，可利用二次函数与一元二次方程的关系：抛物线与x轴的交点对应y=0时一元二次方程的实数根，交点个数由一元二次方程根的判别式Δ的符号决定：Δ＞0时有2个交点，Δ=0时有1个交点，Δ＜0时没有交点。解题时先令y=0得到对应的一元二次方程，再计算判别式判断符号即可。
【解析】
令抛物线解析式中y=0，可得方程：
$-x^2 - 1 = 0$
整理得：$x^2 + 1 = 0$
其中$a=1$，$b=0$，$c=1$，代入根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4×1×1 = -4 ＜ 0$
说明该一元二次方程无实数根，因此抛物线$y=-x^2 -1$与x轴没有交点，交点个数为0。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数图象和一元二次方程的对应关系，牢记判别式符号和交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
11. (2025兴化一模)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=1$，若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的一个根为$x=6$，则另一个根为
$x=-4$
。答案
11. $x=-4$
解析
【分析】
解题时可结合二次函数与一元二次方程的联系思考：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标，二次函数图像关于对称轴对称，因此两个交点也关于对称轴$x=1$对称，即对称轴是两个根的中点，我们可以利用中点公式或者韦达定理求出另一个根。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
设方程$ax^2+bx+c=0$的另一个根为$x_1$，根据二次函数的对称性，两个根关于对称轴$x=1$对称，因此两个根的平均值等于对称轴的横坐标，可得：
$\frac{x_1 + 6}{2} = 1$
解方程：
$x_1 + 6 = 2$
$x_1 = 2 - 6 = -4$
方法二：利用韦达定理求解
已知二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$-\frac{b}{a}=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，设另一个根为$x_1$，可得：
$x_1 + 6 = -\frac{b}{a} = 2$
解得$x_1 = 2 - 6 = -4$
【答案】
$x=-4$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数性质与对应一元二次方程的关联，两种解法都较为简便，熟练掌握相关性质可以快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时可结合二次函数与一元二次方程的联系思考：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交点的横坐标，二次函数图像关于对称轴对称，因此两个交点也关于对称轴$x=1$对称，即对称轴是两个根的中点，我们可以利用中点公式或者韦达定理求出另一个根。
【解析】
方法一：利用二次函数对称性求解
设方程$ax^2+bx+c=0$的另一个根为$x_1$，根据二次函数的对称性，两个根关于对称轴$x=1$对称，因此两个根的平均值等于对称轴的横坐标，可得：
$\frac{x_1 + 6}{2} = 1$
解方程：
$x_1 + 6 = 2$
$x_1 = 2 - 6 = -4$
方法二：利用韦达定理求解
已知二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$-\frac{b}{a}=2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，设另一个根为$x_1$，可得：
$x_1 + 6 = -\frac{b}{a} = 2$
解得$x_1 = 2 - 6 = -4$
【答案】
$x=-4$
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程的联系，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，重点考察二次函数性质与对应一元二次方程的关联，两种解法都较为简便，熟练掌握相关性质可以快速得出结果。
【难度系数】
0.8
12.已知二次函数$y=x^2+x-m$.
(1)若二次函数图象与$x$轴有两个不同的交点,求$m$的取值范围;
(2)二次函数$y=x^2+x-m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^2+x-m=0$的解.
(1)若二次函数图象与$x$轴有两个不同的交点,求$m$的取值范围;
(2)二次函数$y=x^2+x-m$的部分图象如图所示,求一元二次方程$x^2+x-m=0$的解.
答案
12. 解:(1)
∵二次函数 $y=x^2+x-m$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点,即一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 有两个不相等的实数根,
∴$\Delta＞0$,即 $1+4m＞0$.
解得 $m＞-\dfrac{1}{4}$.
(2)二次函数 $y=x^2+x-m$ 图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,
∴抛物线与 $x$ 轴两个交点关于直线 $x=-\dfrac{1}{2}$ 对称.
由题图可知抛物线与 $x$ 轴的一个交点为$(1,0)$,
∴另一个交点为$(-2,0)$,
∴一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 的解为 $x_1=1,x_2=-2$.
∵二次函数 $y=x^2+x-m$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点,即一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 有两个不相等的实数根,
∴$\Delta＞0$,即 $1+4m＞0$.
解得 $m＞-\dfrac{1}{4}$.
(2)二次函数 $y=x^2+x-m$ 图象的对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,
∴抛物线与 $x$ 轴两个交点关于直线 $x=-\dfrac{1}{2}$ 对称.
由题图可知抛物线与 $x$ 轴的一个交点为$(1,0)$,
∴另一个交点为$(-2,0)$,
∴一元二次方程 $x^2+x-m=0$ 的解为 $x_1=1,x_2=-2$.
解析
【分析】
（1）要确定m的取值范围，可利用二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的个数的对应关系：图象与x轴有2个不同交点，说明方程有2个不相等的实数根，因此用判别式Δ＞0列不等式求解即可。
（2）一元二次方程$x^2+x-m=0$的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。已知抛物线是轴对称图形，先求出二次函数的对称轴，再利用两个交点关于对称轴对称的性质，结合已知的一个交点$(1,0)$，即可求出另一个交点的横坐标，得到方程的解。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=x^2+x-m$的图象与x轴有两个不同的交点，
∴对应的一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta＞0$，
其中$a=1,b=1,c=-m$，代入得：$\Delta=1^2-4×1×(-m)=1+4m＞0$，
解得$m＞-\dfrac{1}{4}$。
(2) 二次函数$y=x^2+x-m$的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2×1}=-\dfrac{1}{2}$，
∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=-\dfrac{1}{2}$对称，
由题图可知抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，
则$\dfrac{1+x}{2}=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，
∴一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1,x_2=-2$。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{4}$
(2) $x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，解题的核心是熟练掌握二次函数图象性质与对应一元二次方程的关联，是考试中常见的基础考点。
【难度系数】
0.7
（1）要确定m的取值范围，可利用二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的个数的对应关系：图象与x轴有2个不同交点，说明方程有2个不相等的实数根，因此用判别式Δ＞0列不等式求解即可。
（2）一元二次方程$x^2+x-m=0$的解就是二次函数图象与x轴交点的横坐标。已知抛物线是轴对称图形，先求出二次函数的对称轴，再利用两个交点关于对称轴对称的性质，结合已知的一个交点$(1,0)$，即可求出另一个交点的横坐标，得到方程的解。
【解析】
(1)
∵二次函数$y=x^2+x-m$的图象与x轴有两个不同的交点，
∴对应的一元二次方程$x^2+x-m=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta＞0$，
其中$a=1,b=1,c=-m$，代入得：$\Delta=1^2-4×1×(-m)=1+4m＞0$，
解得$m＞-\dfrac{1}{4}$。
(2) 二次函数$y=x^2+x-m$的对称轴为直线$x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2×1}=-\dfrac{1}{2}$，
∵抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=-\dfrac{1}{2}$对称，
由题图可知抛物线与x轴的一个交点为$(1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，
则$\dfrac{1+x}{2}=-\dfrac{1}{2}$，解得$x=-2$，即另一个交点为$(-2,0)$，
∴一元二次方程$x^2+x-m=0$的解为$x_1=1,x_2=-2$。
【答案】
(1) $m＞-\dfrac{1}{4}$
(2) $x_1=1,x_2=-2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的对称性
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题，解题的核心是熟练掌握二次函数图象性质与对应一元二次方程的关联，是考试中常见的基础考点。
【难度系数】
0.7
13. 如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面,其形状可以用抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2 +8$ 表示,施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG,点D,G在抛物线上,若 $DE:EF=3:2$,则脚手架DE的高度为
6
m.答案
13. 6
解析
【分析】
首先观察到抛物线的对称轴为y轴，位于大棚正中的矩形DEFG也关于y轴对称，可利用对称性设出相关点的坐标，结合DE与EF的比例关系，用同一个未知数表示D点的横纵坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式列方程求解，即可得到DE的高度。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$的对称轴为y轴，矩形DEFG搭建在大棚正中，
∴ 矩形DEFG关于y轴对称。
设点F的坐标为$(x,0)$（$x＞0$），则点E坐标为$(-x,0)$，
∴ $EF = x - (-x) = 2x$。
∵ $DE:EF=3:2$，
∴ $DE = \frac{3}{2} × EF = \frac{3}{2} × 2x = 3x$，
∴ 点D的坐标为$(-x, 3x)$。
∵ 点D在抛物线上，将$(-x, 3x)$代入$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$得：
$3x = -\frac{1}{2}(-x)^2 + 8$
整理得：$x^2 + 6x - 16 = 0$
因式分解得：$(x+8)(x-2)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-8$（不符合$x＞0$的要求，舍去）
∴ $DE=3x=3×2=6$（m）
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质
【点评】
本题是二次函数的实际应用题型，解题核心是利用抛物线和矩形的对称性简化点坐标的设定，结合函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质列方程求解，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察到抛物线的对称轴为y轴，位于大棚正中的矩形DEFG也关于y轴对称，可利用对称性设出相关点的坐标，结合DE与EF的比例关系，用同一个未知数表示D点的横纵坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式列方程求解，即可得到DE的高度。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$的对称轴为y轴，矩形DEFG搭建在大棚正中，
∴ 矩形DEFG关于y轴对称。
设点F的坐标为$(x,0)$（$x＞0$），则点E坐标为$(-x,0)$，
∴ $EF = x - (-x) = 2x$。
∵ $DE:EF=3:2$，
∴ $DE = \frac{3}{2} × EF = \frac{3}{2} × 2x = 3x$，
∴ 点D的坐标为$(-x, 3x)$。
∵ 点D在抛物线上，将$(-x, 3x)$代入$y=-\frac{1}{2}x^2 +8$得：
$3x = -\frac{1}{2}(-x)^2 + 8$
整理得：$x^2 + 6x - 16 = 0$
因式分解得：$(x+8)(x-2)=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=-8$（不符合$x＞0$的要求，舍去）
∴ $DE=3x=3×2=6$（m）
【答案】
6
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质
【点评】
本题是二次函数的实际应用题型，解题核心是利用抛物线和矩形的对称性简化点坐标的设定，结合函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质列方程求解，较好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
