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14. (2026宜春期末)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处$(OA=1\ \mathrm{m})$弹跳到人梯顶端B处，借助其弹性可以将演员弹跳到离地面最高处点$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{19}{4})$。
(1)若其身体(看成一个点)的运动路线为抛物线的一部分，求抛物线的表达式。
(2)在一次表演中，已知人梯高$BC=3.4\ \mathrm{m}$，演员弹跳到最高点P处后恰好落到人梯上端，为了使这次表演成功，该人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明理由。
(1)若其身体(看成一个点)的运动路线为抛物线的一部分，求抛物线的表达式。
(2)在一次表演中，已知人梯高$BC=3.4\ \mathrm{m}$，演员弹跳到最高点P处后恰好落到人梯上端，为了使这次表演成功，该人梯离起跳点A的水平距离OC是多少米？请说明理由。
答案
14. 解:(1)
∵$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{19}{4})$,
∴设抛物线的表达式为 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$.
∵$OA=1$,
∴把 $A(0,1)$ 代入 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
得 $1=a(0-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
解得 $a=-\dfrac{3}{5}$.
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$.
(2)该人梯离起跳点A的水平距离OC是4 m.理由如下:
把 $y=3.4$ 代入 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
得 $3.4=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
解得 $x_1=4,x_2=1$(不合题意,舍去),
∴人梯到起跳点A的水平距离是4 m时,这次表演是成功的.
∵$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{19}{4})$,
∴设抛物线的表达式为 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$.
∵$OA=1$,
∴把 $A(0,1)$ 代入 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
得 $1=a(0-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
解得 $a=-\dfrac{3}{5}$.
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$.
(2)该人梯离起跳点A的水平距离OC是4 m.理由如下:
把 $y=3.4$ 代入 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
得 $3.4=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$,
解得 $x_1=4,x_2=1$(不合题意,舍去),
∴人梯到起跳点A的水平距离是4 m时,这次表演是成功的.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线的顶点坐标，优先采用顶点式设解析式，仅需要代入1个已知点即可求出未知系数。由OA=1可得A点坐标为(0,1)，将A点代入顶点式求出参数a，即可得到抛物线表达式。
(2) 人梯高BC=3.4m即B点纵坐标为3.4，将y=3.4代入第一问求出的解析式中解一元二次方程，结合演员落在最高点右侧的实际情况，舍去不符合要求的解，剩下的x值就是OC的长度，即所求水平距离。
【解析】
(1)
∵抛物线顶点为$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{19}{4})$，
∴设抛物线的表达式为 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$。
∵$OA=1\ \mathrm{m}$，
∴点A的坐标为$(0,1)$，将$A(0,1)$代入解析式得：
$1=a(0-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$
解得 $a=-\dfrac{3}{5}$，
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$。
(2) 人梯离起跳点A的水平距离OC是4 m，理由如下：
将$y=3.4$代入$y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$得：
$3.4=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$
解得 $x_1=4$，$x_2=1$，
由于B点在最高点P右侧，即$x＞\dfrac{5}{2}=2.5$，因此$x_2=1$不符合题意，舍去，
故OC的长度为4 m，即人梯离起跳点A的水平距离是4 m。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$
(2) $4\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题关键是根据顶点坐标选择合适的解析式形式，同时要结合实际意义对解进行取舍，属于二次函数的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线的顶点坐标，优先采用顶点式设解析式，仅需要代入1个已知点即可求出未知系数。由OA=1可得A点坐标为(0,1)，将A点代入顶点式求出参数a，即可得到抛物线表达式。
(2) 人梯高BC=3.4m即B点纵坐标为3.4，将y=3.4代入第一问求出的解析式中解一元二次方程，结合演员落在最高点右侧的实际情况，舍去不符合要求的解，剩下的x值就是OC的长度，即所求水平距离。
【解析】
(1)
∵抛物线顶点为$P(\dfrac{5}{2},\dfrac{19}{4})$，
∴设抛物线的表达式为 $y=a(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$。
∵$OA=1\ \mathrm{m}$，
∴点A的坐标为$(0,1)$，将$A(0,1)$代入解析式得：
$1=a(0-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$
解得 $a=-\dfrac{3}{5}$，
∴抛物线的表达式为 $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$。
(2) 人梯离起跳点A的水平距离OC是4 m，理由如下：
将$y=3.4$代入$y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$得：
$3.4=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$
解得 $x_1=4$，$x_2=1$，
由于B点在最高点P右侧，即$x＞\dfrac{5}{2}=2.5$，因此$x_2=1$不符合题意，舍去，
故OC的长度为4 m，即人梯离起跳点A的水平距离是4 m。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{3}{5}(x-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{19}{4}$
(2) $4\ \mathrm{m}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，一元二次方程求解
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，解题关键是根据顶点坐标选择合适的解析式形式，同时要结合实际意义对解进行取舍，属于二次函数的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
15.如图,抛物线$y=-(x-m)^2+9$交$x$轴于$A,B$两点,点$A$在点$B$的左侧,点$C$的坐标为$(6,0)$,$AC＜BC$,过点$C$作$CD⊥x$轴交抛物线于点$D$,过点$D$作$DE⊥CD$交抛物线于点$E$.
(1)若点$A$的坐标为$(4,0)$,求$DE$的长;
(2)当$DE=\frac{1}{2}AB$时,求$m$的值.
(1)若点$A$的坐标为$(4,0)$,求$DE$的长;
(2)当$DE=\frac{1}{2}AB$时,求$m$的值.
答案
15. 解:(1)把 $A(4,0)$ 代入 $y=-(x-m)^2+9$,得$-(4-m)^2+9=0$,解得 $m=1$ 或 $m=7$.
∵点A在点B的左侧,
∴$m=7$,
即抛物线的对称轴为直线 $x=7$.
∵$CD⊥x$轴,$DE⊥CD$,
∴点E与点D关于直线 $x=7$ 对称.
而点D的横坐标为6,
∴$DE=2×(7-6)=2$.
(2)当 $y=0$ 时,$-(x-m)^2+9=0$,
解得 $x_1=m-3,x_2=m+3$,
∴$A(m-3,0),B(m+3,0)$,
∴$AB=m+3-(m-3)=6$,
∴$DE=\dfrac{1}{2}AB=3$.
∵点D的横坐标为6,
∴$2(m-6)=3$,
∴$m=\dfrac{15}{2}$.
∵点A在点B的左侧,
∴$m=7$,
即抛物线的对称轴为直线 $x=7$.
∵$CD⊥x$轴,$DE⊥CD$,
∴点E与点D关于直线 $x=7$ 对称.
而点D的横坐标为6,
∴$DE=2×(7-6)=2$.
(2)当 $y=0$ 时,$-(x-m)^2+9=0$,
解得 $x_1=m-3,x_2=m+3$,
∴$A(m-3,0),B(m+3,0)$,
∴$AB=m+3-(m-3)=6$,
∴$DE=\dfrac{1}{2}AB=3$.
∵点D的横坐标为6,
∴$2(m-6)=3$,
∴$m=\dfrac{15}{2}$.
解析
【分析】
(1) 已知点A在抛物线上，先将A点坐标代入抛物线解析式求出参数m的可能值，再结合“点A在点B左侧、AC＜BC”的条件确定m的正确取值，得到抛物线的对称轴；由CD垂直x轴、DE垂直CD可知DE是水平线段，抛物线上水平线段的两个端点关于抛物线的对称轴对称，因此DE的长度等于点D到对称轴水平距离的2倍，代入D点横坐标（即C点横坐标6）即可计算DE的长。
(2) 先令抛物线解析式中y=0，求出抛物线与x轴交点A、B的坐标，计算出AB的长度，结合题设条件得到DE的长度；再利用二次函数的对称性，可知点D到对称轴的水平距离为DE长度的一半，结合D点横坐标列方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 将$A(4,0)$代入$y=-(x-m)^2+9$，得：
$-(4-m)^2+9=0$
解得 $m=1$ 或 $m=7$。
∵点A在点B的左侧，且$AC＜BC$，若$m=1$，则抛物线对称轴为$x=1$，此时A点坐标应为$(-2,0)$，与已知$A(4,0)$矛盾，故$m=7$，即抛物线对称轴为直线$x=7$。
∵$CD⊥x$轴，$DE⊥CD$，
∴DE为水平线段，点D、E关于对称轴$x=7$对称。
∵点D的横坐标等于点C的横坐标6，
∴点D到对称轴的水平距离为$7-6=1$，因此$DE=2×1=2$。
(2) 令$y=0$，则$-(x-m)^2+9=0$，
解得 $x_1=m-3$，$x_2=m+3$，
∴$A(m-3,0)$，$B(m+3,0)$，
∴$AB=(m+3)-(m-3)=6$。
由题得$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
∵点D横坐标为6，且点D、E关于对称轴$x=m$对称，
∴点D到对称轴的水平距离为$\frac{DE}{2}=\frac{3}{2}$，又$AC＜BC$，可知对称轴在点C右侧，即$m＞6$，
∴$m-6=\frac{3}{2}$，解得$m=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $DE$的长为$\boxed{2}$；
(2) $m$的值为$\boxed{\dfrac{15}{2}}$。
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与坐标轴的交点；二次函数顶点式的应用
【点评】
本题围绕二次函数的性质设计，解题核心是利用抛物线的轴对称性处理水平线段长度的问题，既考查了二次函数解析式参数求解、与坐标轴交点计算的基础能力，也考查了数形结合的思想，是二次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知点A在抛物线上，先将A点坐标代入抛物线解析式求出参数m的可能值，再结合“点A在点B左侧、AC＜BC”的条件确定m的正确取值，得到抛物线的对称轴；由CD垂直x轴、DE垂直CD可知DE是水平线段，抛物线上水平线段的两个端点关于抛物线的对称轴对称，因此DE的长度等于点D到对称轴水平距离的2倍，代入D点横坐标（即C点横坐标6）即可计算DE的长。
(2) 先令抛物线解析式中y=0，求出抛物线与x轴交点A、B的坐标，计算出AB的长度，结合题设条件得到DE的长度；再利用二次函数的对称性，可知点D到对称轴的水平距离为DE长度的一半，结合D点横坐标列方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 将$A(4,0)$代入$y=-(x-m)^2+9$，得：
$-(4-m)^2+9=0$
解得 $m=1$ 或 $m=7$。
∵点A在点B的左侧，且$AC＜BC$，若$m=1$，则抛物线对称轴为$x=1$，此时A点坐标应为$(-2,0)$，与已知$A(4,0)$矛盾，故$m=7$，即抛物线对称轴为直线$x=7$。
∵$CD⊥x$轴，$DE⊥CD$，
∴DE为水平线段，点D、E关于对称轴$x=7$对称。
∵点D的横坐标等于点C的横坐标6，
∴点D到对称轴的水平距离为$7-6=1$，因此$DE=2×1=2$。
(2) 令$y=0$，则$-(x-m)^2+9=0$，
解得 $x_1=m-3$，$x_2=m+3$，
∴$A(m-3,0)$，$B(m+3,0)$，
∴$AB=(m+3)-(m-3)=6$。
由题得$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
∵点D横坐标为6，且点D、E关于对称轴$x=m$对称，
∴点D到对称轴的水平距离为$\frac{DE}{2}=\frac{3}{2}$，又$AC＜BC$，可知对称轴在点C右侧，即$m＞6$，
∴$m-6=\frac{3}{2}$，解得$m=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $DE$的长为$\boxed{2}$；
(2) $m$的值为$\boxed{\dfrac{15}{2}}$。
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与坐标轴的交点；二次函数顶点式的应用
【点评】
本题围绕二次函数的性质设计，解题核心是利用抛物线的轴对称性处理水平线段长度的问题，既考查了二次函数解析式参数求解、与坐标轴交点计算的基础能力，也考查了数形结合的思想，是二次函数章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
