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10. 如图,用长120 cm的木条制成如图形状的矩形框(矩形框中间有一横档)。设矩形框的一条边AB为x(cm),所围成的面积为S(cm²)。
（1）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围。
（2）要使矩形框的面积为594 cm²,则AB的长为多少?
（3）能围成面积比594 cm²更大的矩形框吗?如果能,求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由。
（1）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围。
（2）要使矩形框的面积为594 cm²,则AB的长为多少?
（3）能围成面积比594 cm²更大的矩形框吗?如果能,求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由。
答案
10. （1）$S=-\frac{3}{2}x^2+60x$,其中$0＜x＜40$。
（2）令$-\frac{3}{2}x^2+60x=594$,解得$x_1=18,x_2=22$,即$AB$的长为18 cm或22 cm。
（3）能,因为$S=-\frac{3}{2}x^2+60x=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$。当$x=20\ \mathrm{cm}$时,所围矩形框的面积最大,为$600\ \mathrm{cm}^2$。
（2）令$-\frac{3}{2}x^2+60x=594$,解得$x_1=18,x_2=22$,即$AB$的长为18 cm或22 cm。
（3）能,因为$S=-\frac{3}{2}x^2+60x=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$。当$x=20\ \mathrm{cm}$时,所围矩形框的面积最大,为$600\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
（1）首先根据木条总长度推导矩形另一条边的长度：图中共有3条长度等于AB的竖边，总长度为3x，剩余长度平均分给上下两条横边，即可得到横边BC的长度；再根据矩形面积=长×宽写出S与x的关系式，结合边长为正数的实际要求即可求出自变量x的取值范围。
（2）将S=594代入第（1）问得到的函数表达式，得到关于x的一元二次方程，求解后验证解是否在自变量取值范围内，即可得到AB的长度。
（3）要判断能否得到更大的面积，只需计算二次函数的最大值，将函数表达式配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断最值情况，再和594比较即可得出结论。
【解析】
（1）已知$AB=x\ \mathrm{cm}$，由图可知矩形框共有3条长度为x的竖边，剩余木条用于制作上下两条水平边，因此水平边的长度为$\frac{120-3x}{2}=60-\frac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式可得：
$S=AB· BC=x(60-\frac{3}{2}x)=-\frac{3}{2}x^2+60x$
由边长为正可得不等式组$\begin{cases}x＞0 \\ 60-\frac{3}{2}x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜40$。
（2）令$S=594$，代入函数表达式得：
$-\frac{3}{2}x^2+60x=594$
方程两边同乘2消去分母得：$-3x^2+120x=1188$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2-40x+396=0$
因式分解得$(x-18)(x-22)=0$，解得$x_1=18$，$x_2=22$，两个解均满足$0＜x＜40$，符合要求。
（3）对函数表达式进行配方求最值：
$S=-\frac{3}{2}x^2+60x=-\frac{3}{2}(x^2-40x)=-\frac{3}{2}[(x-20)^2-400]=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$
由于二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=20$时，S取得最大值600，$600＞594$，故可以围成面积更大的矩形框。
【答案】
（1）$S=-\frac{3}{2}x^2+60x$，其中$0＜x＜40$。
（2）AB的长为18 cm或22 cm。
（3）能，当$x=20\ \mathrm{cm}$时，所围矩形框的面积最大，为$600\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际围建场景考查二次函数相关知识，需要先根据几何关系推导函数解析式，再结合方程和二次函数性质求解，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
（1）首先根据木条总长度推导矩形另一条边的长度：图中共有3条长度等于AB的竖边，总长度为3x，剩余长度平均分给上下两条横边，即可得到横边BC的长度；再根据矩形面积=长×宽写出S与x的关系式，结合边长为正数的实际要求即可求出自变量x的取值范围。
（2）将S=594代入第（1）问得到的函数表达式，得到关于x的一元二次方程，求解后验证解是否在自变量取值范围内，即可得到AB的长度。
（3）要判断能否得到更大的面积，只需计算二次函数的最大值，将函数表达式配方为顶点式，结合二次项系数的正负判断最值情况，再和594比较即可得出结论。
【解析】
（1）已知$AB=x\ \mathrm{cm}$，由图可知矩形框共有3条长度为x的竖边，剩余木条用于制作上下两条水平边，因此水平边的长度为$\frac{120-3x}{2}=60-\frac{3}{2}x\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式可得：
$S=AB· BC=x(60-\frac{3}{2}x)=-\frac{3}{2}x^2+60x$
由边长为正可得不等式组$\begin{cases}x＞0 \\ 60-\frac{3}{2}x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜40$。
（2）令$S=594$，代入函数表达式得：
$-\frac{3}{2}x^2+60x=594$
方程两边同乘2消去分母得：$-3x^2+120x=1188$
整理为标准一元二次方程形式：$x^2-40x+396=0$
因式分解得$(x-18)(x-22)=0$，解得$x_1=18$，$x_2=22$，两个解均满足$0＜x＜40$，符合要求。
（3）对函数表达式进行配方求最值：
$S=-\frac{3}{2}x^2+60x=-\frac{3}{2}(x^2-40x)=-\frac{3}{2}[(x-20)^2-400]=-\frac{3}{2}(x-20)^2+600$
由于二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，抛物线开口向下，因此当$x=20$时，S取得最大值600，$600＞594$，故可以围成面积更大的矩形框。
【答案】
（1）$S=-\frac{3}{2}x^2+60x$，其中$0＜x＜40$。
（2）AB的长为18 cm或22 cm。
（3）能，当$x=20\ \mathrm{cm}$时，所围矩形框的面积最大，为$600\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数的应用；一元二次方程的解法；二次函数的最值
【点评】
本题结合实际围建场景考查二次函数相关知识，需要先根据几何关系推导函数解析式，再结合方程和二次函数性质求解，解题时需注意实际问题中自变量的取值范围，避免出现不符合实际的解。
【难度系数】
0.7
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC。D为△ABC外一点，连结AD，交BC于点E，连结DB。若∠C＝∠D，AE＝8，DE＝2，求AC的长。
（第11题）
（第11题）答案
11. 由已知可得$∠ ABC=∠ C=∠ D$,则$△ ABE∽△ ADB$,
所以$AB^2=AE· AD=80$,得$AC=AB=4\sqrt{5}$。
所以$AB^2=AE· AD=80$,得$AC=AB=4\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时先从已知条件AB=AC入手，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABC=∠C，结合题目给出的∠C=∠D，可推导出∠ABC=∠D；再观察图形，发现△ABE和△ADB有公共角∠BAE，根据两角对应相等可判定两个三角形相似；接着利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AB与AE、AD的数量关系，先计算AD的长度，求出AB后，结合AC=AB即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
在△ABE和△ADB中：
$\begin{cases}∠BAE=∠DAB \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ABE=∠D\end{cases}$
∴△ABE∽△ADB（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，即$AB^2=AE· AD$，
∵AE=8，DE=2，
∴AD=AE+DE=8+2=10，
代入得$AB^2=8×10=80$，
∵线段长度为正数，
∴$AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，
又
∵AC=AB，
∴$AC=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何中典型的线段长度求解题型，解题核心是通过等角转化和公共角证明三角形相似，再借助相似的性质建立线段关系求解，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，是基础的几何综合应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件AB=AC入手，根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠ABC=∠C，结合题目给出的∠C=∠D，可推导出∠ABC=∠D；再观察图形，发现△ABE和△ADB有公共角∠BAE，根据两角对应相等可判定两个三角形相似；接着利用相似三角形对应边成比例的性质，得到AB与AE、AD的数量关系，先计算AD的长度，求出AB后，结合AC=AB即可得到AC的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
又
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
在△ABE和△ADB中：
$\begin{cases}∠BAE=∠DAB \quad (\mathrm{公共角}) \\∠ABE=∠D\end{cases}$
∴△ABE∽△ADB（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}$，即$AB^2=AE· AD$，
∵AE=8，DE=2，
∴AD=AE+DE=8+2=10，
代入得$AB^2=8×10=80$，
∵线段长度为正数，
∴$AB=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$，
又
∵AC=AB，
∴$AC=4\sqrt{5}$。
【答案】
$4\sqrt{5}$
【知识点】
等腰三角形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何中典型的线段长度求解题型，解题核心是通过等角转化和公共角证明三角形相似，再借助相似的性质建立线段关系求解，需要熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，是基础的几何综合应用题。
【难度系数】
0.7
