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12. 小林大学毕业后回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，据售后统计，盆景平均每盆利润是160元，花卉平均每盆利润是19元。经市场调研，得出如下结论：
小林计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售罄后的利润分别为$W_1,W_2$(单位：元)。
（1）用含x的代数式分别表示$W_1,W_2$。
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大？最大总利润是多少？
小林计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售罄后的利润分别为$W_1,W_2$(单位：元)。
（1）用含x的代数式分别表示$W_1,W_2$。
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大？最大总利润是多少？
答案
12. （1）$W_1=(50+x)(160-2x)=-2x^2+60x+8\,000(0＜x≤50$,且$x$为整数),
$W_2=19(50-x)=-19x+950(0＜x≤50$,且$x$为整数)。
（2）$W=W_1+W_2=-2x^2+41x+8\,950(0＜x≤50$,且$x$为整数)。当$0＜x≤\frac{41}{4}$时,$y$随$x$的增大而增大;当$\frac{41}{4}＜x≤50$时,$y$随$x$的增大而减小。又$x$为整数,故当$x=10$时,$W$最大,为9 160元。
$W_2=19(50-x)=-19x+950(0＜x≤50$,且$x$为整数)。
（2）$W=W_1+W_2=-2x^2+41x+8\,950(0＜x≤50$,且$x$为整数)。当$0＜x≤\frac{41}{4}$时,$y$随$x$的增大而增大;当$\frac{41}{4}＜x≤50$时,$y$随$x$的增大而减小。又$x$为整数,故当$x=10$时,$W$最大,为9 160元。
解析
【分析】
（1）先确定第二期盆景、花卉的培植数量，再结合单盆利润的变化规律，依据“总利润=单盆利润×培植数量”即可推导W₁、W₂的表达式，同时要结合实际意义确定x的取值范围：增加的盆景数为正，花卉培植数不能为负，且x为整数。
（2）总利润W为W₁与W₂的和，整理可得到W关于x的二次函数表达式，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，再结合x为整数的限制，即可求出对应的x值和最大总利润。
【解析】
（1）由题意得，第二期盆景的培植数量为$(50+x)$盆，
已知盆景每增加1盆单盆利润减少2元，此时盆景单盆利润为$(160-2x)$元，
因此$W_1=(50+x)(160-2x)=-2x^2+60x+8000$。
第二期盆景和花卉共100盆，因此花卉的培植数量为$100-(50+x)=50-x$盆，
花卉单盆利润固定为19元，因此$W_2=19(50-x)=-19x+950$。
结合实际意义，$x＞0$且$50-x≥0$，且x为整数，因此x的取值范围为$0＜x≤50$，且x为整数。
（2）总利润$W=W_1+W_2$，代入表达式整理得：
$W=-2x^2+60x+8000-19x+950=-2x^2+41x+8950$
该二次函数$a=-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{41}{4}=10.25$。
由二次函数性质可得：当$0＜x≤10.25$时，W随x的增大而增大；当$10.25＜x≤50$时，W随x的增大而减小。
由于x为整数，距离对称轴最近的整数为$x=10$，代入计算得：
$W=-2×10^2+41×10+8950=9160$元。
【答案】
（1）$W_1=-2x^2+60x+8000(0＜x≤50$，且$x$为整数)，$W_2=-19x+950(0＜x≤50$，且$x$为整数)；
（2）当$x=10$时，总利润最大，最大总利润为9160元。
【知识点】
二次函数的实际应用，列代数式，二次函数的最值
【点评】
本题属于常见的利润类实际应用题，解题核心是理清数量关系，正确列出利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，需注意自变量的实际取值限制（x为整数），避免直接取对称轴非整数值导致错误。
【难度系数】
0.65
（1）先确定第二期盆景、花卉的培植数量，再结合单盆利润的变化规律，依据“总利润=单盆利润×培植数量”即可推导W₁、W₂的表达式，同时要结合实际意义确定x的取值范围：增加的盆景数为正，花卉培植数不能为负，且x为整数。
（2）总利润W为W₁与W₂的和，整理可得到W关于x的二次函数表达式，开口向下的二次函数在对称轴处取得最大值，再结合x为整数的限制，即可求出对应的x值和最大总利润。
【解析】
（1）由题意得，第二期盆景的培植数量为$(50+x)$盆，
已知盆景每增加1盆单盆利润减少2元，此时盆景单盆利润为$(160-2x)$元，
因此$W_1=(50+x)(160-2x)=-2x^2+60x+8000$。
第二期盆景和花卉共100盆，因此花卉的培植数量为$100-(50+x)=50-x$盆，
花卉单盆利润固定为19元，因此$W_2=19(50-x)=-19x+950$。
结合实际意义，$x＞0$且$50-x≥0$，且x为整数，因此x的取值范围为$0＜x≤50$，且x为整数。
（2）总利润$W=W_1+W_2$，代入表达式整理得：
$W=-2x^2+60x+8000-19x+950=-2x^2+41x+8950$
该二次函数$a=-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{41}{4}=10.25$。
由二次函数性质可得：当$0＜x≤10.25$时，W随x的增大而增大；当$10.25＜x≤50$时，W随x的增大而减小。
由于x为整数，距离对称轴最近的整数为$x=10$，代入计算得：
$W=-2×10^2+41×10+8950=9160$元。
【答案】
（1）$W_1=-2x^2+60x+8000(0＜x≤50$，且$x$为整数)，$W_2=-19x+950(0＜x≤50$，且$x$为整数)；
（2）当$x=10$时，总利润最大，最大总利润为9160元。
【知识点】
二次函数的实际应用，列代数式，二次函数的最值
【点评】
本题属于常见的利润类实际应用题，解题核心是理清数量关系，正确列出利润的函数表达式，再结合二次函数的性质求解最值，需注意自变量的实际取值限制（x为整数），避免直接取对称轴非整数值导致错误。
【难度系数】
0.65
13. 已知:如图,AB是△ABC的外接圆⊙O的直径,D为⊙O上一点,且DE⊥CD,交BC于点E。求证:$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$。
答案
13. 因为AB是$\odot O$的直径,所以$∠ ADB=90°$。而$∠ CDE=90°$,
所以$∠ ADB=∠ CDE$,所以$∠ BDE=∠ ADC$。
又因为$∠ CAD=∠ EBD$,所以$△ CAD∽△ EBD$,所以$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$。
所以$∠ ADB=∠ CDE$,所以$∠ BDE=∠ ADC$。
又因为$∠ CAD=∠ EBD$,所以$△ CAD∽△ EBD$,所以$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$。
解析
【分析】
要证明线段成比例，通常优先考虑证明对应三角形相似。首先观察待证比例式$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$，可对应到△CAD和△EBD两个三角形，接下来推导这两个三角形相似的条件：第一步，利用直径所对圆周角为直角，结合DE⊥CD得到两个90°角，通过等式性质推导出一组对应角∠ADC=∠BDE相等；第二步，利用同弧所对的圆周角相等，得到另一组对应角∠CAD=∠EBD相等，即可证明两三角形相似，最后由相似三角形对应边成比例得到待证结论。
【解析】
证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵DE⊥CD，
∴∠CDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∴∠ADC + ∠CDB = ∠BDE + ∠CDB，
∴∠ADC=∠BDE，
又
∵∠CAD和∠EBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CAD=∠EBD，
∴△CAD∽△EBD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$（相似三角形对应边成比例）。
【答案】
$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的常规题型，核心考查对圆周角相关性质和相似三角形判定、性质的运用能力，解题的突破口是结合直角性质和圆周角定理找到两组相等的对应角，证明三角形相似即可得到结论。
【难度系数】
0.7
要证明线段成比例，通常优先考虑证明对应三角形相似。首先观察待证比例式$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$，可对应到△CAD和△EBD两个三角形，接下来推导这两个三角形相似的条件：第一步，利用直径所对圆周角为直角，结合DE⊥CD得到两个90°角，通过等式性质推导出一组对应角∠ADC=∠BDE相等；第二步，利用同弧所对的圆周角相等，得到另一组对应角∠CAD=∠EBD相等，即可证明两三角形相似，最后由相似三角形对应边成比例得到待证结论。
【解析】
证明：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵DE⊥CD，
∴∠CDE=90°，
∴∠ADB=∠CDE，
∴∠ADC + ∠CDB = ∠BDE + ∠CDB，
∴∠ADC=∠BDE，
又
∵∠CAD和∠EBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠CAD=∠EBD，
∴△CAD∽△EBD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$（相似三角形对应边成比例）。
【答案】
$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{ED}$
【知识点】
圆周角定理，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是圆与相似三角形结合的常规题型，核心考查对圆周角相关性质和相似三角形判定、性质的运用能力，解题的突破口是结合直角性质和圆周角定理找到两组相等的对应角，证明三角形相似即可得到结论。
【难度系数】
0.7
