登录
14. 对于一个函数，当$-1≤ x≤1$时，函数有最大值与最小值，且最大值与最小值的和为0，则称这个函数为平衡函数。请结合上述定义，探究下列关于函数$y=x^2-2ax-1$的问题。
（1）当$a=1$时，求该函数的最值，并判断该函数是不是平衡函数，说明理由。
（2）若函数$y=x^2-2ax-1$是平衡函数，求$a$的取值范围。
（1）当$a=1$时，求该函数的最值，并判断该函数是不是平衡函数，说明理由。
（2）若函数$y=x^2-2ax-1$是平衡函数，求$a$的取值范围。
答案
14. （1）当$a=1$时,$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$。
函数图象的对称轴是直线$x=1$,开口向上,当$-1≤ x≤1$时,$y$随着$x$的增大而减小,
所以当$x=-1$时,$y_{\mathrm{最大值}}=2$;当$x=1$时,$y_{\mathrm{最小值}}=-2$。
因为$y_{\mathrm{最小值}}+y_{\mathrm{最大值}}=-2+2=0$,所以该函数是平衡函数。
（2）因为$y=x^2-2ax-1=(x-a)^2-a^2-1$,所以函数图象的对称轴是直线$x=a$,开口向上。因为$-1≤ x≤1$,所以就$a$的范围可以分下列几种情况：
①当$a≤-1$时,$y$随着$x$的增大而增大,$y$在$x=-1$处取最小值,$y_{\mathrm{最小值}}=2a$;$y$在$x=1$处取最大值,$y_{\mathrm{最大值}}=-2a$。因为$y_{\mathrm{最小值}}+y_{\mathrm{最大值}}=-2a+2a=0$,所以$a≤-1$满足题意。
②当$a＞-1$且$1-a≥ a-(-1)$,即当$-1＜a≤0$时,$y$在$x=a$处取最小值,$y_{\mathrm{最小值}}=-a^2-1$;$y$在$x=1$处取最大值,$y_{\mathrm{最大值}}=-2a$。因为该函数是平衡函数,所以$-a^2-1-2a=0$,解得$a=-1$(不合题意,舍去)。
③当$a＜1$且$1-a＜a-(-1)$,即当$0＜a＜1$时,$y$在$x=a$处取最小值,$y_{\mathrm{最小值}}=-a^2-1$;$y$在$x=-1$处取最大值,$y_{\mathrm{最大值}}=2a$。因为该函数是平衡函数,所以$-a^2-1+2a=0$,解得$a=1$(不合题意,舍去)。
④当$a≥1$时,$y$随着$x$的增大而减小。$y$在$x=-1$处取最大值,$y_{\mathrm{最大值}}=2a$;$y$在$x=1$处取最小值,$y_{\mathrm{最小值}}=-2a$。因为$y_{\mathrm{最小值}}+y_{\mathrm{最大值}}=-2a+2a=0$,所以满足题意。
综上所述,$a≤-1$或$a≥1$。
函数图象的对称轴是直线$x=1$,开口向上,当$-1≤ x≤1$时,$y$随着$x$的增大而减小,
所以当$x=-1$时,$y_{\mathrm{最大值}}=2$;当$x=1$时,$y_{\mathrm{最小值}}=-2$。
因为$y_{\mathrm{最小值}}+y_{\mathrm{最大值}}=-2+2=0$,所以该函数是平衡函数。
（2）因为$y=x^2-2ax-1=(x-a)^2-a^2-1$,所以函数图象的对称轴是直线$x=a$,开口向上。因为$-1≤ x≤1$,所以就$a$的范围可以分下列几种情况：
①当$a≤-1$时,$y$随着$x$的增大而增大,$y$在$x=-1$处取最小值,$y_{\mathrm{最小值}}=2a$;$y$在$x=1$处取最大值,$y_{\mathrm{最大值}}=-2a$。因为$y_{\mathrm{最小值}}+y_{\mathrm{最大值}}=-2a+2a=0$,所以$a≤-1$满足题意。
②当$a＞-1$且$1-a≥ a-(-1)$,即当$-1＜a≤0$时,$y$在$x=a$处取最小值,$y_{\mathrm{最小值}}=-a^2-1$;$y$在$x=1$处取最大值,$y_{\mathrm{最大值}}=-2a$。因为该函数是平衡函数,所以$-a^2-1-2a=0$,解得$a=-1$(不合题意,舍去)。
③当$a＜1$且$1-a＜a-(-1)$,即当$0＜a＜1$时,$y$在$x=a$处取最小值,$y_{\mathrm{最小值}}=-a^2-1$;$y$在$x=-1$处取最大值,$y_{\mathrm{最大值}}=2a$。因为该函数是平衡函数,所以$-a^2-1+2a=0$,解得$a=1$(不合题意,舍去)。
④当$a≥1$时,$y$随着$x$的增大而减小。$y$在$x=-1$处取最大值,$y_{\mathrm{最大值}}=2a$;$y$在$x=1$处取最小值,$y_{\mathrm{最小值}}=-2a$。因为$y_{\mathrm{最小值}}+y_{\mathrm{最大值}}=-2a+2a=0$,所以满足题意。
综上所述,$a≤-1$或$a≥1$。
解析
【分析】
（1）先将$a=1$代入函数解析式，化为顶点式确定开口方向和对称轴，再根据二次函数在区间$[-1,1]$上的单调性求出最大值和最小值，最后对照平衡函数的定义判断即可。
（2）先将函数化为顶点式，确定对称轴为直线$x=a$、开口向上，再分4种情况讨论对称轴和区间$[-1,1]$的位置关系，分别求出对应情况下的最大值和最小值，令两者之和为0求解$a$，舍去不符合对应区间范围的解，最终汇总符合条件的$a$的取值范围。
【解析】
（1）当$a=1$时，$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$，
函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，
当$-1≤ x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=(-1-1)^2-2=2$；
当$x=1$时，$y_{\mathrm{最小值}}=(1-1)^2-2=-2$。
∵$y_{\mathrm{最大值}}+y_{\mathrm{最小值}}=2+(-2)=0$，符合平衡函数的定义，
∴该函数是平衡函数。
（2）将函数解析式化为顶点式得$y=x^2-2ax-1=(x-a)^2-a^2-1$，
函数图象开口向上，对称轴为直线$x=a$，结合区间$-1≤x≤1$，分情况讨论：
①当$a≤-1$时，在$-1≤x≤1$范围内，$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最小值}}=(-1)^2-2a×(-1)-1=2a$；
当$x=1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=1^2-2a×1-1=-2a$，
∵$y_{\mathrm{最大值}}+y_{\mathrm{最小值}}=-2a+2a=0$，符合要求，故$a≤-1$成立；
②当$-1＜a≤0$时，对称轴在区间内，且右端点$x=1$到对称轴的距离大于等于左端点$x=-1$到对称轴的距离，
∴当$x=a$时，$y_{\mathrm{最小值}}=-a^2-1$；当$x=1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=-2a$，
由平衡函数定义得：$-a^2-1+(-2a)=0$，即$a^2+2a+1=0$，解得$a=-1$，不符合$-1＜a≤0$的范围，舍去；
③当$0＜a＜1$时，对称轴在区间内，且左端点$x=-1$到对称轴的距离大于右端点$x=1$到对称轴的距离，
∴当$x=a$时，$y_{\mathrm{最小值}}=-a^2-1$；当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=2a$，
由平衡函数定义得：$-a^2-1+2a=0$，即$a^2-2a+1=0$，解得$a=1$，不符合$0＜a＜1$的范围，舍去；
④当$a≥1$时，在$-1≤x≤1$范围内，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=1$时，$y_{\mathrm{最小值}}=1-2a-1=-2a$；当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=1+2a-1=2a$，
∵$y_{\mathrm{最大值}}+y_{\mathrm{最小值}}=2a+(-2a)=0$，符合要求，故$a≥1$成立。
综上，$a$的取值范围是$a≤-1$或$a≥1$。
【答案】
（1）最大值为2，最小值为-2，该函数是平衡函数；
（2）$a≤-1$或$a≥1$
【知识点】
二次函数的最值；新定义问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查二次函数在闭区间上的最值求解，解题核心是根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，求解参数后要注意验证结果是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
（1）先将$a=1$代入函数解析式，化为顶点式确定开口方向和对称轴，再根据二次函数在区间$[-1,1]$上的单调性求出最大值和最小值，最后对照平衡函数的定义判断即可。
（2）先将函数化为顶点式，确定对称轴为直线$x=a$、开口向上，再分4种情况讨论对称轴和区间$[-1,1]$的位置关系，分别求出对应情况下的最大值和最小值，令两者之和为0求解$a$，舍去不符合对应区间范围的解，最终汇总符合条件的$a$的取值范围。
【解析】
（1）当$a=1$时，$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$，
函数图象开口向上，对称轴为直线$x=1$，
当$-1≤ x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=(-1-1)^2-2=2$；
当$x=1$时，$y_{\mathrm{最小值}}=(1-1)^2-2=-2$。
∵$y_{\mathrm{最大值}}+y_{\mathrm{最小值}}=2+(-2)=0$，符合平衡函数的定义，
∴该函数是平衡函数。
（2）将函数解析式化为顶点式得$y=x^2-2ax-1=(x-a)^2-a^2-1$，
函数图象开口向上，对称轴为直线$x=a$，结合区间$-1≤x≤1$，分情况讨论：
①当$a≤-1$时，在$-1≤x≤1$范围内，$y$随$x$的增大而增大，
∴当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最小值}}=(-1)^2-2a×(-1)-1=2a$；
当$x=1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=1^2-2a×1-1=-2a$，
∵$y_{\mathrm{最大值}}+y_{\mathrm{最小值}}=-2a+2a=0$，符合要求，故$a≤-1$成立；
②当$-1＜a≤0$时，对称轴在区间内，且右端点$x=1$到对称轴的距离大于等于左端点$x=-1$到对称轴的距离，
∴当$x=a$时，$y_{\mathrm{最小值}}=-a^2-1$；当$x=1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=-2a$，
由平衡函数定义得：$-a^2-1+(-2a)=0$，即$a^2+2a+1=0$，解得$a=-1$，不符合$-1＜a≤0$的范围，舍去；
③当$0＜a＜1$时，对称轴在区间内，且左端点$x=-1$到对称轴的距离大于右端点$x=1$到对称轴的距离，
∴当$x=a$时，$y_{\mathrm{最小值}}=-a^2-1$；当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=2a$，
由平衡函数定义得：$-a^2-1+2a=0$，即$a^2-2a+1=0$，解得$a=1$，不符合$0＜a＜1$的范围，舍去；
④当$a≥1$时，在$-1≤x≤1$范围内，$y$随$x$的增大而减小，
∴当$x=1$时，$y_{\mathrm{最小值}}=1-2a-1=-2a$；当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最大值}}=1+2a-1=2a$，
∵$y_{\mathrm{最大值}}+y_{\mathrm{最小值}}=2a+(-2a)=0$，符合要求，故$a≥1$成立。
综上，$a$的取值范围是$a≤-1$或$a≥1$。
【答案】
（1）最大值为2，最小值为-2，该函数是平衡函数；
（2）$a≤-1$或$a≥1$
【知识点】
二次函数的最值；新定义问题；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查二次函数在闭区间上的最值求解，解题核心是根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论，求解参数后要注意验证结果是否符合对应分类的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
