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7. 已知$\odot O$的半径为5 cm，在圆心O的同侧有两条互相平行的弦，长度分别为6 cm和8 cm，则这两条平行弦之间的距离是(
A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
A
)。A.1 cm
B.2 cm
C.3 cm
D.4 cm
答案
7. A
解析
【分析】
解决本题的核心思路是利用垂径定理构造直角三角形求解弦心距：首先过圆心作两条平行弦的垂线，根据垂径定理，垂线会平分两条弦，此时半径、半弦长、弦心距可构成直角三角形，用勾股定理分别算出两条弦到圆心的距离，再结合“两条弦在圆心同侧”的条件，将两个弦心距作差即可得到两弦的距离。
【解析】
过圆心O作两条平行弦的公垂线，根据垂径定理，垂线与两条弦的交点分别为两条弦的中点，因此两条弦的半长分别为：
1. 长度为8cm的弦，半弦长$=8÷2=4\mathrm{cm}$，由勾股定理得该弦的弦心距$d_1=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$；
2. 长度为6cm的弦，半弦长$=6÷2=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得该弦的弦心距$d_2=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$。
因为两条弦在圆心同侧，所以两平行弦之间的距离为$d_2-d_1=4-3=1\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题的关键是作弦心距构造直角三角形，审题时要注意区分两条弦在圆心的同侧还是异侧，避免因看错条件导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心思路是利用垂径定理构造直角三角形求解弦心距：首先过圆心作两条平行弦的垂线，根据垂径定理，垂线会平分两条弦，此时半径、半弦长、弦心距可构成直角三角形，用勾股定理分别算出两条弦到圆心的距离，再结合“两条弦在圆心同侧”的条件，将两个弦心距作差即可得到两弦的距离。
【解析】
过圆心O作两条平行弦的公垂线，根据垂径定理，垂线与两条弦的交点分别为两条弦的中点，因此两条弦的半长分别为：
1. 长度为8cm的弦，半弦长$=8÷2=4\mathrm{cm}$，由勾股定理得该弦的弦心距$d_1=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\mathrm{cm}$；
2. 长度为6cm的弦，半弦长$=6÷2=3\mathrm{cm}$，由勾股定理得该弦的弦心距$d_2=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\mathrm{cm}$。
因为两条弦在圆心同侧，所以两平行弦之间的距离为$d_2-d_1=4-3=1\mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题的关键是作弦心距构造直角三角形，审题时要注意区分两条弦在圆心的同侧还是异侧，避免因看错条件导致计算错误。
【难度系数】
0.8
8. 如图,正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形,连结AE,⊙O的半径为2 cm。
(1) 求∠AED的度数和弧AB的长。
(2) 求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比。
(1) 求∠AED的度数和弧AB的长。
(2) 求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比。
答案
8. （1）$90°,\frac{2}{3}π\ \mathrm{cm}$ （2）$3\sqrt{3}:2π$
解析
【分析】
解题思路：（1）先利用正六边形的性质，得出外接圆中每段劣弧对应的圆心角均为60°，进而判断出AD为⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角即可求出∠AED的度数；再代入弧长公式，结合弧AB对应的圆心角和半径即可求出弧长。（2）正六边形可分割为6个全等的、边长等于外接圆半径的正三角形，先求出6个正三角形的面积之和得到正六边形的面积，再计算圆的面积，最后作比化简即可。
【解析】
（1）
∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形
∴每段劣弧的度数为$ 360° ÷ 6 = 60° $，即弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FA的度数均为$ 60° $
则弧AD的度数为$ 60° × 3 = 180° $，可知AD是⊙O的直径
∵直径所对的圆周角为直角，
∴$ ∠ AED = 90° $
已知⊙O半径$ r=2\mathrm{cm} $，弧AB对应的圆心角为$ 60° $，根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $
得弧AB的长：$ l_{AB} = \frac{60π × 2}{180} = \frac{2}{3}π \ \mathrm{cm} $
（2）正六边形的边长等于⊙O的半径，即边长为2cm
正六边形可分割为6个全等的边长为2cm的正三角形，单个正三角形的面积为：$ S_{△} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 2^2 = \sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2 $
∴正六边形ABCDEF的面积：$ S_{正六边形} = 6 × \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2 $
⊙O的面积：$ S_{\odot O} = π r^2 = π × 2^2 = 4π \ \mathrm{cm}^2 $
∴正六边形与⊙O的面积之比为：$ 6\sqrt{3}:4π = 3\sqrt{3}:2π $
【答案】
（1）$ ∠ AED = 90° $，弧AB的长为$ \frac{2}{3}π \ \mathrm{cm} $；（2）$ 3\sqrt{3}:2π $
【知识点】
正多边形和圆；弧长计算；圆周角定理
【点评】
本题考查正六边形的性质及相关计算，解题核心是掌握正六边形边长等于外接圆半径、可拆分为6个全等正三角形的特点，结合圆周角定理和面积、弧长公式即可求解。
【难度系数】
0.7
解题思路：（1）先利用正六边形的性质，得出外接圆中每段劣弧对应的圆心角均为60°，进而判断出AD为⊙O的直径，根据直径所对圆周角为直角即可求出∠AED的度数；再代入弧长公式，结合弧AB对应的圆心角和半径即可求出弧长。（2）正六边形可分割为6个全等的、边长等于外接圆半径的正三角形，先求出6个正三角形的面积之和得到正六边形的面积，再计算圆的面积，最后作比化简即可。
【解析】
（1）
∵正六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形
∴每段劣弧的度数为$ 360° ÷ 6 = 60° $，即弧AB、弧BC、弧CD、弧DE、弧EF、弧FA的度数均为$ 60° $
则弧AD的度数为$ 60° × 3 = 180° $，可知AD是⊙O的直径
∵直径所对的圆周角为直角，
∴$ ∠ AED = 90° $
已知⊙O半径$ r=2\mathrm{cm} $，弧AB对应的圆心角为$ 60° $，根据弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $
得弧AB的长：$ l_{AB} = \frac{60π × 2}{180} = \frac{2}{3}π \ \mathrm{cm} $
（2）正六边形的边长等于⊙O的半径，即边长为2cm
正六边形可分割为6个全等的边长为2cm的正三角形，单个正三角形的面积为：$ S_{△} = \frac{\sqrt{3}}{4} × 2^2 = \sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2 $
∴正六边形ABCDEF的面积：$ S_{正六边形} = 6 × \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2 $
⊙O的面积：$ S_{\odot O} = π r^2 = π × 2^2 = 4π \ \mathrm{cm}^2 $
∴正六边形与⊙O的面积之比为：$ 6\sqrt{3}:4π = 3\sqrt{3}:2π $
【答案】
（1）$ ∠ AED = 90° $，弧AB的长为$ \frac{2}{3}π \ \mathrm{cm} $；（2）$ 3\sqrt{3}:2π $
【知识点】
正多边形和圆；弧长计算；圆周角定理
【点评】
本题考查正六边形的性质及相关计算，解题核心是掌握正六边形边长等于外接圆半径、可拆分为6个全等正三角形的特点，结合圆周角定理和面积、弧长公式即可求解。
【难度系数】
0.7
9. 在摸牌游戏中，第一组4张牌的牌面数字分别是1,2,3,4,第二组3张牌的牌面数字分别是4,5,6,从每组牌中各随机摸出1张牌。求两张牌的牌面数字之积是偶数的概率。
答案
9. $\frac{5}{6}$
解析
【分析】
这是一道古典概型类的概率计算题，解题思路如下：首先明确从两组牌中各摸1张时，所有等可能的结果总数为两组牌的数量乘积；其次，直接计算“乘积为偶数”的情况分类较多，可先计算其对立事件“乘积为奇数”的概率：乘积为奇数的充要条件是两张牌的数字均为奇数，这类情况更少，计算更简便；最后根据对立事件的概率和为1，用1减去“乘积为奇数”的概率即可得到所求结果。
【解析】
解：从第一组4张牌、第二组3张牌中各随机摸出1张，所有等可能的结果共有 $ 4 × 3 = 12 $ 种。
若两张牌的牌面数字之积为奇数，则两张牌的数字都为奇数：
第一组牌中数字为奇数的有1、3，共2种情况；第二组牌中数字为奇数的有5，共1种情况，因此积为奇数的结果共有 $ 2 × 1 = 2 $ 种。
所以积为奇数的概率为 $ P(\mathrm{积为奇数}) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $。
由于“积为偶数”与“积为奇数”是对立事件，因此：
$ P(\mathrm{积为偶数}) = 1 - P(\mathrm{积为奇数}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $。
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
古典概型、概率计算、对立事件概率
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题时灵活运用对立事件的概率关系可简化运算过程，降低枚举计数的出错概率，解题时要注意先确认事件的等可能性，再准确计数相关结果数。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型类的概率计算题，解题思路如下：首先明确从两组牌中各摸1张时，所有等可能的结果总数为两组牌的数量乘积；其次，直接计算“乘积为偶数”的情况分类较多，可先计算其对立事件“乘积为奇数”的概率：乘积为奇数的充要条件是两张牌的数字均为奇数，这类情况更少，计算更简便；最后根据对立事件的概率和为1，用1减去“乘积为奇数”的概率即可得到所求结果。
【解析】
解：从第一组4张牌、第二组3张牌中各随机摸出1张，所有等可能的结果共有 $ 4 × 3 = 12 $ 种。
若两张牌的牌面数字之积为奇数，则两张牌的数字都为奇数：
第一组牌中数字为奇数的有1、3，共2种情况；第二组牌中数字为奇数的有5，共1种情况，因此积为奇数的结果共有 $ 2 × 1 = 2 $ 种。
所以积为奇数的概率为 $ P(\mathrm{积为奇数}) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $。
由于“积为偶数”与“积为奇数”是对立事件，因此：
$ P(\mathrm{积为偶数}) = 1 - P(\mathrm{积为奇数}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} $。
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
古典概型、概率计算、对立事件概率
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题时灵活运用对立事件的概率关系可简化运算过程，降低枚举计数的出错概率，解题时要注意先确认事件的等可能性，再准确计数相关结果数。
【难度系数】
0.7
