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17. (★★)对于有理数$a$和$b(b≠0)$,定义运算“*”如下:$a*b=a×b - a÷b$.分别求下列各式的值:
(1)$(-4)*2$;
(2)$(-2 \frac{2}{3})*\frac{3}{8}$.
(1)$(-4)*2$;
(2)$(-2 \frac{2}{3})*\frac{3}{8}$.
答案
解：
(1) 根据定义的运算规则：
$\begin{aligned}(-4)*2&=(-4)×2 - (-4)÷2\\&=-8 - (-2)\\&=-8 + 2\\&=-6\end{aligned}$
(2) 先将带分数化为假分数：$-2\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}$，代入运算规则：
$\begin{aligned}(-2\frac{2}{3})*\frac{3}{8}&=(-\frac{8}{3})×\frac{3}{8} - (-\frac{8}{3})÷\frac{3}{8}\\&=-1 - (-\frac{8}{3}×\frac{8}{3})\\&=-1 - (-\frac{64}{9})\\&=-1 + \frac{64}{9}\\&=\frac{55}{9}\end{aligned}$
(1) 根据定义的运算规则：
$\begin{aligned}(-4)*2&=(-4)×2 - (-4)÷2\\&=-8 - (-2)\\&=-8 + 2\\&=-6\end{aligned}$
(2) 先将带分数化为假分数：$-2\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}$，代入运算规则：
$\begin{aligned}(-2\frac{2}{3})*\frac{3}{8}&=(-\frac{8}{3})×\frac{3}{8} - (-\frac{8}{3})÷\frac{3}{8}\\&=-1 - (-\frac{8}{3}×\frac{8}{3})\\&=-1 - (-\frac{64}{9})\\&=-1 + \frac{64}{9}\\&=\frac{55}{9}\end{aligned}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的“*”运算规则：$a*b=a×b - a÷b$（$b≠0$）。解题时只需将对应数值代入运算规则，再按照有理数的四则混合运算顺序计算即可。计算第(2)问时，注意先把带分数化为假分数再代入计算，除法运算要转化为乘法运算，同时注意符号的变化。
【解析】
(1) 根据新定义的运算规则，将$a=-4$，$b=2$代入公式得：
$\begin{aligned}(-4)*2&=(-4)×2 - (-4)÷2\\&=-8 - (-2)\\&=-8 + 2\\&=-6\end{aligned}$
(2) 先将带分数$-2\frac{2}{3}$化为假分数：$-2\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}$，再将$a=-\frac{8}{3}$，$b=\frac{3}{8}$代入公式得：
$\begin{aligned}(-2\frac{2}{3})*\frac{3}{8}&=(-\frac{8}{3})×\frac{3}{8} - (-\frac{8}{3})÷\frac{3}{8}\\&=-1 - (-\frac{8}{3}×\frac{8}{3})\\&=-1 - (-\frac{64}{9})\\&=-1 + \frac{64}{9}\\&=\frac{55}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-6}$；(2) $\boxed{\dfrac{55}{9}}$
【知识点】
新定义运算，有理数四则混合运算，带分数化假分数
【点评】
本题属于新定义基础运算题，解题的关键是准确理解新运算的规则，代入数值计算时要注意运算顺序和符号的处理，涉及带分数运算时先化为假分数能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确理解题目给出的“*”运算规则：$a*b=a×b - a÷b$（$b≠0$）。解题时只需将对应数值代入运算规则，再按照有理数的四则混合运算顺序计算即可。计算第(2)问时，注意先把带分数化为假分数再代入计算，除法运算要转化为乘法运算，同时注意符号的变化。
【解析】
(1) 根据新定义的运算规则，将$a=-4$，$b=2$代入公式得：
$\begin{aligned}(-4)*2&=(-4)×2 - (-4)÷2\\&=-8 - (-2)\\&=-8 + 2\\&=-6\end{aligned}$
(2) 先将带分数$-2\frac{2}{3}$化为假分数：$-2\frac{2}{3}=-\frac{8}{3}$，再将$a=-\frac{8}{3}$，$b=\frac{3}{8}$代入公式得：
$\begin{aligned}(-2\frac{2}{3})*\frac{3}{8}&=(-\frac{8}{3})×\frac{3}{8} - (-\frac{8}{3})÷\frac{3}{8}\\&=-1 - (-\frac{8}{3}×\frac{8}{3})\\&=-1 - (-\frac{64}{9})\\&=-1 + \frac{64}{9}\\&=\frac{55}{9}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{-6}$；(2) $\boxed{\dfrac{55}{9}}$
【知识点】
新定义运算，有理数四则混合运算，带分数化假分数
【点评】
本题属于新定义基础运算题，解题的关键是准确理解新运算的规则，代入数值计算时要注意运算顺序和符号的处理，涉及带分数运算时先化为假分数能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.8
18. (★★★)有一种“二十四点”游戏，规则是将四个绝对值小于或等于13的整数进行加减乘除混合运算(每个数都用，且只用一次)，使其结果等于24. 现有3,4,-6,10四个数，请你运用上述规则至少设计三种运算。
答案
解：
运算1：$3×[4+10+(-6)] = 3×8 = 24$
运算2：$10 - 4 - 3×(-6) = 6 + 18 = 24$
运算3：$4 - (-6)×10÷3 = 4 + 20 = 24$
运算1：$3×[4+10+(-6)] = 3×8 = 24$
运算2：$10 - 4 - 3×(-6) = 6 + 18 = 24$
运算3：$4 - (-6)×10÷3 = 4 + 20 = 24$
解析
【分析】
解决“二十四点”问题的核心是先联想结果为24的常见运算组合，比如3×8、18+6、20+4等，再结合给出的3、4、-6、10四个数字调整运算顺序和符号，保证每个数只用一次即可。思路1：已有数字3，尝试凑出因数8，剩下的4、10、-6相加刚好得8，用3乘8即可得到24；思路2：先计算乘法3×(-6)=-18，再用剩下的10和4算得6，6减去-18即可得到24；思路3：先计算(-6)×10÷3=-20，再用4减去-20即可得到24。
【解析】
运算1：先算括号内的加减运算：$4+10+(-6)=8$，再算乘法：$3×8=24$，即$3×[4+10+(-6)] = 24$；
运算2：先算乘法：$3×(-6)=-18$，再从左到右算加减：$10-4=6$，$6-(-18)=24$，即$10 - 4 - 3×(-6) = 24$；
运算3：先算乘除：$(-6)×10=-60$，$-60÷3=-20$，再算加减：$4-(-20)=24$，即$4 - (-6)×10÷3 = 24$。
【答案】
$3×[4+10+(-6)] = 24$
$10 - 4 - 3×(-6) = 24$
$4 - (-6)×10÷3 = 24$
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
有理数混合运算；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】
本题是开放性运算题，需要灵活运用有理数的运算规则，通过尝试不同的运算组合求解，能有效提升运算熟练度和思维灵活性。
【难度系数】
0.5
解决“二十四点”问题的核心是先联想结果为24的常见运算组合，比如3×8、18+6、20+4等，再结合给出的3、4、-6、10四个数字调整运算顺序和符号，保证每个数只用一次即可。思路1：已有数字3，尝试凑出因数8，剩下的4、10、-6相加刚好得8，用3乘8即可得到24；思路2：先计算乘法3×(-6)=-18，再用剩下的10和4算得6，6减去-18即可得到24；思路3：先计算(-6)×10÷3=-20，再用4减去-20即可得到24。
【解析】
运算1：先算括号内的加减运算：$4+10+(-6)=8$，再算乘法：$3×8=24$，即$3×[4+10+(-6)] = 24$；
运算2：先算乘法：$3×(-6)=-18$，再从左到右算加减：$10-4=6$，$6-(-18)=24$，即$10 - 4 - 3×(-6) = 24$；
运算3：先算乘除：$(-6)×10=-60$，$-60÷3=-20$，再算加减：$4-(-20)=24$，即$4 - (-6)×10÷3 = 24$。
【答案】
$3×[4+10+(-6)] = 24$
$10 - 4 - 3×(-6) = 24$
$4 - (-6)×10÷3 = 24$
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
有理数混合运算；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】
本题是开放性运算题，需要灵活运用有理数的运算规则，通过尝试不同的运算组合求解，能有效提升运算熟练度和思维灵活性。
【难度系数】
0.5
